ウィリアムズ・ボルツマン方程式

ウィリアムズ・ボルツマン方程式は、ウィリアムズスプレー方程式とも呼ばれ、流体媒体中の蒸発または燃焼する液滴または固体粒子の統計的進化をモデル化する運動方程式です。1958年にフォーマン・A・ウィリアムズによって導出されました。 ^{[1] [2]ウィリアムズ・ボルツマン方程式は、スプレーの存在を考慮した強制項を含む}ナビエ・ストークス方程式などの流体力学方程式と同時に解かなければなりません。

液滴または化学種を含む固体粒子のスプレーを考えてみましょう。これらはすべて、半径 の球形であると仮定されます。球形であるという仮定は、必要に応じて緩和できます。液滴がほぼ球形であるためには、スプレーが希薄である必要があり（液滴が占める全体積が周囲の流体の体積よりはるかに小さい）、ウェーバー数（ここでは、はガス密度、はスプレー液滴速度、はガス速度、は液体スプレーの表面張力）は である必要があります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle We=2r\rho _{g}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}/\sigma }$${\displaystyle \rho_{g}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle We\ll 10}$

a番目の化学種の液滴/粒子数密度関数は次のよう に表される。${\displaystyle j}$${\displaystyle f_{j}=f_{j}(r,\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,T,t)}$

${\displaystyle f_{j}(r,\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,T,t)\,dr\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {v} \,dT}$

は、半径が から の間、空間範囲が から の間に位置し、速度が から の間、時刻が から の間である化学種の液滴/粒子（全化学種）の確率数を表します。この密度関数の発展に関するスプレー方程式は、[ 3 ]で与えられます^。${\displaystyle j}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r+dr}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} +d\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} +d\mathbf {v} }$${\displaystyle T}$${\displaystyle T+dT}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial t}}+\nabla _{x}\cdot (\mathbf {v} f_{j})+\nabla _{v}\cdot (F_{j}f_{j})=-{\frac {\partial }{\partial r}}(R_{j}f_{j})-{\frac {\partial }{\partial T}}(E_{j}f_{j})+Q_{j}+\Gamma _{j},\quad j=1,2,\ldots ,M.}$

どこ

${\displaystyle F_{j}=\left({\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right)_{j}}$種の噴霧に作用する単位質量あたりの力（噴霧に適用される加速度）${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle R_{j}=\left({\frac {dr}{dt}}\right)_{j}}$種の飛散サイズの変化率である。${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle E_{j}=\left({\frac {dT}{dt}}\right)_{j}}$熱伝達による噴霧種の温度変化率である^[4]${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle Q_{j}}$核形成、液体の分解などによる種の噴霧の数密度関数 の変化率である。${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle \Gamma _{j}}$他の噴霧粒子との衝突による種の噴霧の数密度関数の変化率です。${\displaystyle j^{\text{th}}}$

このロケットモーターのモデルは、Probert、^[5]、 Williams ^[1]、[6]、およびTanasawa [ ^{7]によって開発されました。 [8]}燃焼の大部分が発生する噴霧噴霧器にあまり近くない距離では、を無視するのが妥当です。燃料が噴霧されるに位置する1次元の液体推進剤ロケットモーターを考えてみましょう。 （密度関数は温度なしで定義されるため、それに応じて の寸法が変わります） と を無視すると、平均流が 軸に平行であるという事実により、定常噴霧方程式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle Q_{j},\ \Gamma _{j}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle E_{j}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}(R_{j}f_{j})+{\frac {\partial }{\partial x}}(u_{j}f_{j})+{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}(F_{j}f_{j})=0}$

ここで、方向の速度です。速度について積分すると、次のようになります。 ${\displaystyle u_{j}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}\left(\int R_{j}f_{j}\,du_{j}\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\int u_{j}f_{j}\,du_{j}\right)+[F_{j}f_{j}]_{0}^{\infty }=0}$

最後の項（噴霧加速項）の寄与は、ロケットモーターで典型的に見られるように、 が非常に大きい場合、ゼロになります（発散定理を使用）。液滴サイズ率は、蒸発メカニズムを使用して次のようにモデル化されます。 ${\displaystyle f_{j}\rightarrow 0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle R_{j}}$

${\displaystyle R_{j}=-{\frac {\chi _{j}}{r^{k_{j}}}},\quad \chi _{j}\geq 0,\quad 0\leq k_{j}\leq 1}$

ここで はに依存しませんが、周囲のガスに依存することがあります。単位体積あたりの単位半径あたりの液滴数と速度にわたって平均された平均量を定義すると、 ${\displaystyle \chi _{j}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle G_{j}=\int f_{j}\,du_{j},\quad {\bar {R}}_{j}={\frac {\int R_{j}f_{j}\,du_{j}}{G_{j}}},\quad {\bar {u}}_{j}={\frac {\int u_{j}f_{j}\,du_{j}}{G_{j}}}}$

方程式は

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}({\bar {R}}_{j}G_{j})+{\frac {\partial }{\partial x}}({\bar {u}}_{j}G_{j})=0.}$

さらに、 がと独立であると仮定すると、変換された座標 ${\displaystyle {\bar {u}}_{j}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \eta _{j}=\left[r^{k_{j}+1}+(k_{j}+1)\int _{0}^{x}{\frac {\chi _{j}}{{\bar {u}}_{j}}}\,dx\right]^{1/(k_{j}+1)}}$

燃焼室の断面積が変化すると、噴霧位置の 面積に対する関数が既知であれば、解は次のように表される。${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle A_{o}}$

${\displaystyle G_{j}(\eta _{j})=G_{j,o}(\eta _{j}){\frac {A_{o}{\bar {u}}_{j,o}}{A{\bar {u}}_{j}}}\left({\frac {r}{\eta _{j}}}\right)^{k_{j}}}$。

ここで、 はそれぞれ数分布と平均速度です。 ${\displaystyle G_{j,0}=G_{j}(r,0),\ {\bar {u}}_{j,0}={\bar {u}}_{j}(x=0)}$${\displaystyle x=0}$

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