リウヴィルの定理（ハミルトニアン）

上記の定理は、ポアソン括弧を用いて次のよう に言い換えられることが多い。$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\{H,\rho \}}$$ あるいは、線形リウヴィル演算子またはリウヴィル演算子の観点から言えば、 $${\displaystyle \mathrm {i} {\widehat {\mathbf {L} }}=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]=-\{H,\bullet \}}$$ として $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mathrm {i} {\widehat {\mathbf {L} }}}\rho =0.}$$

エルゴード理論と力学系では、これまで述べてきた物理的考察に触発されて、リウヴィルの定理とも呼ばれる対応する結果があります。ハミルトン力学では、位相空間は滑らかな多様体であり、滑らかな測度（局所的には、この測度は 6 n次元ルベーグ測度）が自然に備わっています。この定理は、この滑らかな測度がハミルトン流の下で不変であることを示しています。より一般的には、滑らかな測度が流の下で不変となるための必要十分条件を記述することができます。^{[ 8 ]}ハミルトンの場合もその系となります。

リウヴィルの定理はシンプレクティック幾何学の観点からも定式化できる。与えられたシステムに対して、位相空間を考えることができる。${\displaystyle (q^{\mu },p_{\mu })}$特定のハミルトニアンの${\displaystyle H}$多様体として${\displaystyle (M,\omega )}$シンプレクティック2形式を備えた

$${\displaystyle \omega =dp_{\mu }\wedge dq^{\mu }.}$$ 我々の多様体の体積形式は、シンプレクティック2形式の最上位の外積であり、上述の位相空間上の測度の別の表現にすぎない。

位相空間シンプレクティック多様体上では、関数によって生成されるハミルトニアンベクトル場を定義することができる。${\displaystyle f(q,p)}$として

$${\displaystyle X_{f}={\frac {\partial f}{\partial p_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}.}$$

具体的には、生成関数がハミルトニアン自体である場合、${\displaystyle f(q,p)=H}$そうすれば

$${\displaystyle X_{H}={\frac {\partial H}{\partial p_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}={\frac {dq^{\mu }}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}+{\frac {dp^{\mu }}{dt}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}={\frac {d}{dt}}}$$

そこでは、ハミルトンの運動方程式と連鎖律の定義を利用した。^{[ 9 ]}

この形式論では、リウヴィルの定理は、体積形式のリー微分が、によって生成される流れに沿ってゼロであることを述べている。${\displaystyle X_{H}}$つまり、${\displaystyle (M,\omega )}$2n次元シンプレクティック多様体、

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}(\omega ^{n})=0.}$$

実際、シンプレクティック構造${\displaystyle \omega }$それ自体が保存され、その最上位の外部パワーだけが保存されるわけではない。つまり、リウヴィルの定理は^{[ 10 ]も与える。}

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}(\omega )=0.}$$

量子力学におけるリウヴィル方程式の類似物は、混合状態の時間発展を記述する。 正準量子化により、この定理の量子力学的バージョンであるフォン・ノイマン方程式が得られる。古典システムの量子類似物を考案するためによく用いられるこの手順では、ハミルトン力学を用いて古典システムを記述する。古典変数は量子演算子として再解釈され、ポアソン括弧は交換子に置き換えられる。この場合、結果として得られる方程式は^{[ 11 ] [ 12 ]である。}$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],}$$ ここでρは密度行列である。

観測量の期待値に適用すると、対応する方程式はエーレンフェストの定理によって与えられ、次の形式をとる。

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,A]\rangle ,}$$

どこ${\displaystyle A}$は観測量です。符号の違いに注意してください。これは、演算子が定常であり、状態が時間依存であるという仮定に基づいています。

量子力学の位相空間定式化では、フォン・ノイマン方程式の位相空間アナログにおいて、ポアソン括弧をモヤル括弧に置き換えると、確率流体の圧縮性が生じ、リウヴィルの定理の非圧縮性が破れる。その結果、意味のある量子軌道を定義することが困難になる。^{[ 13 ]}

を考えて${\displaystyle N}$-3次元の粒子系に焦点を当て、進化のみに注目します。${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {N}}}$粒子。位相空間内では、これらは${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {N}}}$粒子は、次の式で与えられる微小な体積を占める。

$${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma =\displaystyle \prod _{i=1}^{N}d^{3}p_{i}d^{3}q_{i}.}$$

私たちは${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma }}}$時間が経っても変わらないように、${\displaystyle \rho (\Gamma ,t)}$はシステムの軌道に沿って一定です。粒子を微小な時間ステップで進化させると、${\displaystyle \delta t}$すると、各粒子の位相空間の位置が次のように変化することがわかります。

$${\displaystyle {\begin{cases}q_{i}'=q_{i}+{\dot {q_{i}}}\delta t,\\p_{i}'=p_{i}+{\dot {p_{i}}}\delta t,\end{cases}}}$$

どこ${\displaystyle {\dot {q_{i}}}}$そして${\displaystyle {\dot {p_{i}}}}$示す${\displaystyle {\frac {dq_{i}}{dt}}}$そして${\displaystyle {\frac {dp_{i}}{dt}}}$それぞれ、そして、線形項のみを残しました${\displaystyle \delta t}$これを無限小の超立方体に拡張すると${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma }$辺の長さは次のように変化します

$${\displaystyle {\begin{aligned}dq_{i}'=dq_{i}+{\tfrac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}dq_{i}\delta t,\\[2pt]dp_{i}'=dp_{i}+{\tfrac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}dp_{i}\delta t.\end{aligned}}}$$

新しい微小位相空間体積を求める${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '}$、上記の数量の積が必要です。${\displaystyle \delta t}$すると、次のようになります。

$${\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right)\delta t\right].}$$

これまで、システムの仕様についてはまだ何も決めていません。それでは、次のケースに特化してみましょう。${\displaystyle N}$${\displaystyle 3}$次元等方性調和振動子。つまり、アンサンブル内の各粒子は単純調和振動子として扱うことができる。この系のハミルトニアンは次のように与えられる。

$${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{3N}\left({\frac {1}{2m}}p_{i}^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q_{i}^{2}\right).}$$

上記のハミルトニアンにハミルトンの方程式を用いると、上記の括弧内の項は恒等的にゼロとなり、したがって、

$${\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}.}$$

これから位相空間の微小体積を求めることができる。

$${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '=\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}'d^{3}p_{i}'=\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}d^{3}p_{i}=\mathrm {d} \Gamma .}$$

したがって、我々は最終的に微小位相空間の体積が変化しないことを発見し、

$${\displaystyle \rho (\Gamma ',t+\delta t)={\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma '}}={\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma }}=\rho (\Gamma ,t),}$$

このシステムに対してリウヴィルの定理が成り立つことを示している。^{[ 14 ]}

位相空間の体積が時間とともにどのように変化するのかという疑問が残る。上で、全体の体積が保存されることを示したが、その形状については何も述べていない。単一の粒子の場合、位相空間におけるその軌跡は一定の楕円で与えられることがわかる。${\displaystyle H}$具体的には、システムのハミルトン方程式を解くと、

$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}(t)&=Q_{i}\cos {\omega t}+{\frac {P_{i}}{m\omega }}\sin {\omega t},\\p_{i}(t)&=P_{i}\cos {\omega t}-m\omega Q_{i}\sin {\omega t},\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle Q_{i}}$そして${\displaystyle P_{i}}$初期位置と運動量を表す${\displaystyle i}$番目の粒子。複数の粒子からなる系では、各粒子は、その粒子のエネルギーに対応する楕円を描く位相空間軌道を持つ。楕円が描かれる周波数は、${\displaystyle \omega }$ハミルトニアンでは、エネルギーの差とは無関係に、位相空間の領域は単にその点を中心に回転する。${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=(0,0)}$周波数は${\displaystyle \omega }$[ ^{15 ]これは}上記のアニメーションで見ることができます。

リウヴィルの定理が適用されない例を見るために、摩擦や減衰の影響を考慮して、単振動子の運動方程式を修正することができます。${\displaystyle N}$粒子はそれぞれ${\displaystyle 3}$次元等方性調和ポテンシャル。そのハミルトニアンは前の例で示されている。今回は、各粒子が摩擦力を受けるという条件を追加する。${\displaystyle -\gamma p_{i}}$、 どこ${\displaystyle \gamma }$は摩擦量を決定する正の定数です。これは非保存力であるため、ハミルトンの方程式を次のように拡張する必要があります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q_{i}}}&={\hphantom {-}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\\[4pt]{\dot {p_{i}}}&=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}-\gamma p_{i}.\end{aligned}}}$$

単純調和振動子の運動方程式とは異なり、これらの修正された方程式はハミルトンの方程式の形をとらないため、リウヴィルの定理は成り立たないと考えられます。その代わりに、このセクションのアニメーションで示されているように、一般的な位相空間の体積は、これらの運動方程式の下で時間とともに縮小していきます。

リウヴィルの定理のこの違反を明示的に見るには、減衰のない調和振動子の場合と非常によく似た手順に従うことができ、再び次の式にたどり着きます。

$${\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right)\delta t\right].}$$

修正したハミルトンの方程式を代入すると、

$${\displaystyle {\begin{aligned}dq_{i}'dp_{i}'&=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}-\gamma \right)\delta t\right],\\[1ex]&=dq_{i}dp_{i}\left[1-\gamma \delta t\right].\end{aligned}}}$$

新しい微小位相空間体積を計算し、一次の項のみを残して${\displaystyle \delta t}$我々は以下の結果を得た。

$${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '=\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}'d^{3}p_{i}'=\left[1-\gamma \delta t\right]^{3N}\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}d^{3}p_{i}=\mathrm {d} \Gamma \left[1-3N\gamma \delta t\right].}$$

微小位相空間の体積はもはや一定ではなく、したがって位相空間密度も保存されないことがわかった。式からわかるように、時間の経過とともに摩擦がシステムに影響を与えるため、位相空間の体積はゼロに減少すると予想される。

位相空間の体積が時間とともにどのように変化するかについては、減衰のない場合と同様に一定の回転が続きます。ただし、減衰によって各楕円の半径は着実に減少します。ここでも、上記の修正されたハミルトン方程式を使用して軌道を明示的に解くことができます。$\alpha \equiv \gamma / 2$便宜上、

$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}(t)&=e^{-\alpha t}\left[Q_{i}\cos {\omega _{1}t}+B_{i}\sin {\omega _{1}t}\right]&&\omega _{1}\equiv {\sqrt {\omega ^{2}-\alpha ^{2}}},\\[1ex]p_{i}(t)&=e^{-\alpha t}\left[P_{i}\cos {\omega _{1}t}-m(\omega _{1}Q_{i}+2\alpha B_{i})\sin {\omega _{1}t}\right]&&B_{i}\equiv {\frac {1}{\omega _{1}}}\left({\frac {P_{i}}{m}}+2\alpha Q_{i}\right),\end{aligned}}}$$

値が${\displaystyle Q_{i}}$そして${\displaystyle P_{i}}$初期位置と運動量を表す${\displaystyle i}$番目の粒子。システムが進化するにつれて、位相空間全体の体積は原点に向かって螺旋状に縮小します。これは上の図で確認できます。