BBGKY階層

統計物理学において、ボゴリュボフ・ボーン・グリーン・カークウッド・イヴォン（BBGKY）階層（ボゴリュボフ階層と呼ばれることもある）は、相互作用する多数の粒子のシステムのダイナミクスを記述する一連の方程式である。BBGKY階層のs粒子分布関数（確率密度関数）の方程式には、（s + 1）粒子分布関数が含まれており、方程式の連結鎖を形成している。この正式な理論的結果は、ニコライ・ボゴリュボフ、マックス・ボルン、ハーバート・S・グリーン、ジョン・ギャンブル・カークウッド、ジャック・イヴォン にちなんで名付けられている [fr]。

量子ゆらぎがない場合のN粒子システムの発展は、 6つのN次元位相空間（粒子あたり3つの空間座標と3つの運動量座標） における確率密度関数のリウヴィル方程式によって与えられる。${\displaystyle f_{N}=f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{N}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=0,}$

ここで、 は質量 を持つ - 番目の粒子の位置と運動量であり、- 番目の粒子に作用する正味の力は ${\displaystyle \mathbf {q} _{i},\mathbf {p} _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle m}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}=-\sum _{j=1\neq i}^{N}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-{\frac {\partial \Phi _{i}^{\text{ext}}}{\partial \mathbf {q} _{i}}},}$

ここで、は粒子間の相互作用の対ポテンシャル、は外部場ポテンシャルである。変数の一部を積分することにより、リウヴィル方程式は、最初の方程式が1粒子確率密度関数の発展を2粒子確率密度関数に結び付け、2番目の方程式が2粒子確率密度関数を3粒子確率密度関数に結び付け、一般にs番目の方程式がs粒子確率密度関数を 結び付ける一連の方程式に変換することができる。${\displaystyle \Phi _{ij}(\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})}$${\displaystyle \Phi ^{\text{ext}}(\mathbf {q} _{i})}$

${\displaystyle f_{s}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{s},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{s},t)=\int f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)\,d\mathbf {q} _{s+1}\dots d\mathbf {q} _{N}\,d\mathbf {p} _{s+1}\dots d\mathbf {p} _{N}}$

( s  + 1)粒子確率密度関数:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{s}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-\sum _{i=1}^{s}\left(\sum _{j=1\neq i}^{s}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+{\frac {\partial \Phi _{i}^{ext}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=(N-s)\sum _{i=1}^{s}\int {\frac {\partial \Phi _{i\,s+1}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}{\frac {\partial f_{s+1}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\,d\mathbf {q} _{s+1}\,d\mathbf {p} _{s+1}.}$

s粒子分布関数に関する上記の方程式は、変数 についてリウヴィル方程式を積分することで得られます。上記の方程式の問題点は、閉じていないことです。 を解くにはを知っておく必要があり、そのためには と を解いてリウヴィル方程式全体を解く必要があります。ただし、をモデル化できる場合はを解くことができます。そのようなケースの 1 つがに対するボルツマン方程式で、 は分子カオス仮説( Stosszahlansatz )に基づいてモデル化されています。実際、ボルツマン方程式には衝突積分があります。リウヴィル方程式からボルツマン方程式を得るこの極限プロセスは、ボルツマン–グラード極限として知られています。^[1]${\displaystyle \mathbf {q} _{s+1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{s+1}\dots \mathbf {p} _{N}}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle f_{s+1}}$${\displaystyle f_{s+2}}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle f_{s+1}}$${\displaystyle f_{1}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {p} _{1},t)}$${\displaystyle f_{2}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},t)}$${\displaystyle f_{2}=f_{2}(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p_{2}} ,t)}$

概略的に言えば、リウヴィル方程式は、位相空間における確率密度の非圧縮性の流れを表す形で、粒子系全体の時間発展を与える。次に、別の粒子の自由度を積分することによって、簡約分布関数を段階的に定義する。BBGKY階層の方程式は、そのような の時間発展は、抑制された粒子 の力の影響を表す補正項を含むリウヴィルのような方程式によって与えられることを示している。${\displaystyle N}$${\displaystyle Df_{N}=0}$${\textstyle f_{s}\sim \int f_{s+1}}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle N-s}$

${\displaystyle Df_{s}\propto {\text{div}}_{\mathbf {p} }\langle {\text{grad}}_{\mathbf {q} }\Phi _{i,s+1}\rangle _{f_{s+1}}.}$

BBGKY 階層方程式を解く問題は、元のリウヴィル方程式を解くのと同じくらい難しいが、BBGKY 階層の近似 (連鎖を有限の方程式系に切り捨てることができる) は簡単に作成できる。これらの方程式の利点は、高次の分布関数が時間発展に暗黙的にのみ影響を与えることである。BBGKY 連鎖の切り捨ては、古典^{[2] [3]}または量子^{[4]運動方程式の導出に使用できる運動論の多くの応用における共通の出発点である。特に、最初の方程式または最初の 2 つの方程式での切り捨ては、古典および量子}ボルツマン方程式と、ボルツマン方程式に対する 1 次補正を導出するために使用できる。密度確率関数が粒子間の相対距離のみに依存するという仮定や、流体力学レジームの仮定などの他の近似も、BBGKY 連鎖を解くことができるようにすることができる。^[5]${\displaystyle f_{s+2},f_{s+3},\dots }$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle f_{s+1}.}$

s粒子分布関数は、1935年にJ.イヴォンによって古典統計力学に導入されました。^[6] s粒子分布関数の方程式のBBGKY階層は、1945年7月に受理され、1946年にロシア語^[2]と英語で出版されたボゴリュボフの論文で記述され、運動方程式の導出に適用されました。^[3]運動輸送理論は、1945年10月に受理され1946年3月に出版された論文^[7]とその後の論文でカークウッドによって検討されました。^[8]ボーンとグリーンによる最初の論文は、液体の一般的な運動理論を検討したもので、1946年2月に受理され、1946年12月31日に出版されました。 ^[9]

• フォッカー・プランク方程式
• ヴラソフ方程式
• クラスター拡大アプローチ