量子ボルツマン方程式

量子ボルツマン方程式は、ウーリング・ウーレンベック方程式としても知られ、^{[1] [2] 、量子力学的に相互作用する粒子のガスの非平衡時間発展を与える}ボルツマン方程式の量子力学的修正である。通常、量子ボルツマン方程式は、完全なボルツマン方程式の「衝突項」としてのみ与えられ、局所的に均質なガスの運動量分布の変化を与えるが、空間のドリフトと拡散は与えない。この方程式は、もともとLW Nordheim (1928)、^[3]とEA UehlingおよびGeorge Uhlenbeck (1933) によって定式化された。^[4]

完全に一般化すると（無視されることが多い p 空間および x 空間のドリフト項を含む）、この方程式はボルツマン方程式と同様に表されます。 $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{x}+\mathbf {F} \cdot \nabla _{p}\right] f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)={\mathcal {Q}}[f](\mathbf {x} ,\mathbf {p} )}$$

ここで、 はガスのp空間分布に作用する外部印加ポテンシャルを表し、 は衝突演算子であり、ガス粒子間の相互作用を考慮しています。量子力学は の正確な形式で表現される必要があり、これはモデル化されるシステムの物理的性質に依存します。^[5]${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

量子ボルツマン方程式は不可逆な振る舞いをするため、時間の矢印を示します。つまり、十分に長い時間が経過すると、もはや変化しない平衡分布を示します。量子力学は微視的には時間可逆ですが、量子ボルツマン方程式は位相情報が破棄され^{[6]量子状態の平均占有数のみが保持されるため、不可逆な振る舞いを示します。したがって、量子ボルツマン方程式の解は、}ポアンカレ再発時間と比較して短い時間スケールでのシステムの正確な振る舞いの良い近似値になります。ポアンカレ再発時間は、小さなシステムでも宇宙の年齢の何倍にもなるため、通常、これは厳しい制限ではありません。

量子ボルツマン方程式は、時間分解実験測定との直接比較によって検証されており、一般に半導体光学で広く利用されている。^[7]例えば、ストリークカメラを使用して測定された励起子ガスのエネルギー分布は、時間（ピコ秒単位）の関数として、平衡マクスウェル・ボルツマン分布に近づくことが示された^[8]。

半導体の典型的なモデルは、次のような仮定に基づいて構築されます。

1. 電子分布は、合理的な近似で空間的に均一である（したがって、すべてのx依存性は抑制される可能性がある）
2. 外部ポテンシャルは位置のみの関数であり、p空間では等方性であるため、一般性を失うことなくゼロに設定できる。${\displaystyle \mathbf {F} }$
3. ガスは十分に希薄であるため、電子間の三体相互作用は無視できます。

初期運動量とを持つ電子間の運動量交換を考慮すると、次の式を導くことができる。 ${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {k_{1}} }$$${\displaystyle {\mathcal {Q}}[f](\mathbf {k} )={\frac {-2}{\hbar (2\pi )^{5}}}\int d\mathbf {q} \int d\mathbf {k_{1}} |{\hat {v}}(\mathbf {q} )|^{2}\delta \left({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(|\mathbf {k-q} |^{2}+|\mathbf {k_{1}+q} |^{2}-\mathbf {k} _{1}^{2}-\mathbf {k} ^{2})\right)\left[f_{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k_{1}} }(1-f_{\mathbf {k-q} })(1-f_{\mathbf {k_{1}+q} })-f_{\mathbf {k-q} }f_{\mathbf {k_{1}+q} }(1-f_{\mathbf {k} })(1-f_{\mathbf {k_{1}} })\right]}$$