ボーアモデル

原子物理学において、ボーア模型またはラザフォード・ボーア模型は、原子について最初に成功したモデルである。1911年から1918年にかけてニールス・ボーアによって開発され、アーネスト・ラザフォードの原子核模型を基にして、JJトムソンのプラムプディング模型に取って代わったが、1920年代に量子原子模型に取って代わられた。これは、軌道を回る電子に囲まれた小さく密度の高い原子核で構成される。太陽系の構造に似ているが、引力は重力ではなく静電気力によって提供され、電子エネルギーは量子化されている（離散値のみを想定）。

原子物理学の歴史において、このモデルは、ジョセフ・ラーモアの太陽系モデル（1897年）、ジャン・ペリンのモデル（1901年）、^[2]立方体モデル（1902年）、長岡半太郎の土星モデル（1904年）、プラムプディングモデル（1904年）、アーサー・ハースの量子モデル（1910年）、ラザフォードモデル（1911年）、ジョン・ウィリアム・ニコルソンの原子核量子モデル（1912年）など、いくつかの以前のモデルを踏襲し、最終的には置き換えた。1911年のラザフォードモデルに対する改良は、主にハースとニコルソンによって導入された新しい量子力学的解釈に関係しており、古典物理学に従って放射線を説明する試みを放棄した。

このモデルの重要な成功は、水素のスペクトル輝線に対するリュードベリの公式を説明した点にあります。リュードベリの公式は実験的には知られていましたが、ボーア モデルが導入されるまで理論的根拠はありませんでした。ボーア モデルはリュードベリの公式の構造の理由を説明しただけでなく、公式の実験結果を構成する基本的な物理定数の正当性も示しました。

ボーア模型は、価電子殻模型に比べると、水素原子の比較的原始的なモデルである。理論としては、より広範でより正確な量子力学を用いて水素原子の一次近似として導くことができるため、時代遅れの科学理論であると考えられるかもしれない。しかし、その単純さと、選択されたシステムに対する正しい結果（適用については下記を参照）のため、ボーア模型は、より正確だがより複雑な価電子殻原子に進む前に、学生に量子力学やエネルギー準位図を紹介するために、今でも一般的に教えられている。関連する量子モデルは、1910年にアーサー・エリック・ハースによって提案されたが、1911年のソルベー会議で徹底的に議論されるまで却下された。^[3]プランクの量子の発見（1900年）から成熟した量子力学の出現（1925年）までの期間の量子理論は、しばしば古い量子理論と呼ばれる。

20世紀の10年まで、原子モデルは一般的に推測的なものでした。原子の概念、ましてや内部構造を持つ原子の概念自体が、一部の科学者からの反対に直面しました。^{[5] : 2}

1800年代後半、原子の構造に関する推測には、軌道を回る荷電電子を持つ惑星モデルが含まれていました。^{[6] : 35} これらのモデルは大きな制約に直面しました。1897年、ジョセフ・ラーモアは、加速する電荷は古典電気力学に従って電力を放射することを示しました。これはラーモアの公式として知られる結果です。軌道上にとどまることを強いられた電子は継続的に加速するため、機械的に不安定になります。ラーモアは、複数の電子を適切に配置すると、電磁気効果が互いに打ち消し合うことに気付きました。そのため、古典電気力学に基づくその後の原子モデルでは、このような特別な多電子配置を採用する必要があったのです。^{[7] : 113}

ボーアが1912年の夏に新しい原子理論の研究を始めたとき^{[8] : 237}、現在プラムプディングモデルとして知られている、JJトムソンによって提唱された原子モデルが、利用可能な最良のものでした。 ^{[9] : 37}トムソンは、原子サイズの正に帯電した球形の体積内で共面リング内を回転する電子モデルを提唱しました。 トムソンは、長い計算によってこのモデルが機械的に安定していること、および原子あたり数千個の電子という彼の当初の仮定の下で電気力学的に安定していることを示しました。 さらに、彼は、リング内の電子の特に安定した配置が原子の化学的性質に関連していると示唆しました。 彼は、実験結果と一致すると思われるベータ粒子の散乱の式を開発しました。 ^{[9] : 38} しかし、トムソン自身が後に、原子の電子数が1000分の1であることを示し、安定性の議論に異議を唱え、あまり理解されていなかった正球が原子の質量の大部分を占めることを余儀なくさせました。 トムソンはまた、原子スペクトルの多くの線を説明することができませんでした。^{[5] : 18}

1908年、ハンス・ガイガーとアーネスト・マースデンは、アルファ粒子が時折大きな角度で散乱することを実証したが、これはトムソンのモデルとは矛盾する結果であった。1911年、アーネスト・ラザフォードは新しい散乱モデルを開発し、観測された大きな角度の散乱は原子の中心にある高密度の高電荷の質量によって説明できることを示した。ラザフォードの散乱には電子が関与していなかったため、彼の原子モデルは不完全であった。^{[10]ボーアは、原子モデルに関する最初の論文で、ラザフォードの原子は、負に帯電した}電子を 引き付ける小さく高密度の正電荷の原子核で構成されていると述べている。^[11]

20世紀初頭までに、原子は多くの原子スペクトル線を説明できると予想された。これらの線は、ヨハン・バルマーとヨハネス・リュードベリによって経験式にまとめられた。1897年、レイリー卿は、電気系の振動により、振動周波数の2乗に依存するスペクトル線が予測されることを示したが、これは周波数に直接依存する経験式と矛盾していた。^{[5] :  18  [12]} 1907年、アーサー・W・コンウェイは、原子全体が振動するのではなく、トムソンによって記述された系内の電子のうち1つのみの振動で、スペクトル系列を説明できる可能性があることを示した。^{[13] : II:106}ボーアのモデルもスペクトルを説明するために電子だけに依存するが、彼は原子の電気力学モデルを前提としていませんでした。

原子スペクトルの理解におけるもう一つの重要な進歩は、原子スペクトル線の周波数を各元素に特有の特別な周波数である「項」間の差に関連付けたリュードベリ・リッツ結合原理であった。 ^{[14] :  173}ボーアは、項を原子のエネルギーレベルをプランク定数で割ったものと認識し、スペクトル線はエネルギー差から生じるという現代の見解につながった。^{[15] : 847  [16]}

1910 年、アーサー・エリック・ハースは、電子が正電荷の球の表面を周回する水素原子モデルを提唱しました。このモデルはトムソンのプラム プディング モデルに似ていましたが、ハースは根本的に新しい工夫を加えました。つまり、半径aの球上の電子の位置エネルギー が、球上の電子軌道の周波数fにプランク定数を掛けたものに等しいという制約を課したのです。^{[14] : 197} ここで、e は電子と球の電荷を表します。ハースは、この制約を力の釣り合いの式と組み合わせました。電子と球の間の引力は、遠心力 と釣り合います。 ここで、mは電子の質量です。この組み合わせにより、球の半径とプランク定数が次のように関連付けられました。 ハースは、当時の水素原子の半径の値を使用してプランク定数を解きました。ボーアはプランク定数を与えられた値として、方程式を使って水素原子の基底状態を周回する電子の半径を予測した。この値は現在ボーア半径と呼ばれている。[ 14 ^{] : 197}${\displaystyle E_{\text{pot}}}$ $${\displaystyle E_{\text{pot}}={\frac {-e^{2}}{a}}=hf}$$$${\displaystyle {\frac {e^{2}}{a^{2}}}=ma(2\pi f)^{2}}$$$${\displaystyle a={\frac {h^{2}}{4\pi ^{2}e^{2}m}}}$$

1911年に開催された第1回ソルベー会議は、世界初の国際物理学会議の一つであった。 ボーアの指導者であるアーネスト・ラザフォードを含む9人のノーベル賞受賞者と将来のノーベル賞受賞者が出席した。 ^{[17] : 271} ボーアは出席しなかったが、ソルベー報告書^[18]を読み、ラザフォードと議論した。^{[8] : 233}

会議の主題は、マックス・プランクの振動子の放射理論とエネルギー量子であった。^[19] 会議でのプランクの講義は原子についてのコメントで終わり、それに続く議論は原子モデルに関するものであった。ヘンドリック・ローレンツは、トムソンのプラムプディングモデルに量子的な修正を加えたハースモデルに基づいて、原子の構成の問題を提起した。ローレンツは、ハースがしたように原子の大きさからプランク定数を決定することもできるし、プランク定数から原子の大きさを決定することもできると説明した。^{[17] : 273}ボーアは後者の道を選んだ。

議論では、原子に量子論を取り入れる必要があることが概説された。プランクは古典力学の欠陥をはっきりと述べている。^{[17] : 273}ボーアはすでに博士論文で同様の意見を表明していたが、ソルベーでは当時の一流の科学者たちが古典理論との決別を議論していた。^{[8] : 244}ボーアの原子モデルに関する最初の論文では、ソルベーの議事録を引用し、「電子の運動法則がどう変化しようとも、問題の法則には古典電気力学とは無関係な量、つまりプランク定数、またはしばしば基本作用量子と呼ばれる量を導入する必要があるように思われる」と述べている。^[11]ソルベーの議論に勇気づけられたボーアは、原子が安定していると仮定し、原子の古典モデルを安定させる努力を放棄した^{[14] : 199}

1911年、ジョン・ウィリアム・ニコルソンは、ボーアのモデルに影響を与えることになる原子のモデルを発表しました。ニコルソンは、天体物理学的分光学の分析に基づいてモデルを開発しました。彼は、観測されたスペクトル線の周波数を原子内の電子の軌道と関連付けました。彼が採用した関連付けは、原子電子の軌道角運動量をプランク定数と関連付けました。プランクがエネルギーの量子に焦点を当てたのに対し、ニコルソンの角運動量量子は軌道周波数に関連しています。この新しい概念により、プランク定数は初めて原子的な意味を持ちました。^{[20] : 169} 1913年の論文で、ボーアはニコルソンが原子にとって量子化された角運動量が重要であることを発見したと述べています。^[11]

ニコルソンの研究がもたらしたもうひとつの重要な影響は、スペクトルの詳細な分析である。ニコルソンの研究以前、ボーアはスペクトルデータは原子を理解するのに役立たないと考えていた。自分の研究をニコルソンの研究と比較することで、ボーアはスペクトルデータとその価値を理解するようになった。その後、友人からバルマーのスペクトル線データに関する簡潔な公式について学んだとき、ボーアはすぐに自分のモデルがそれに詳細に一致することに気づいた。^{[20] : 178}

ニコルソンのモデルは、 JJトムソンのプラムプディングモデルに沿った古典的電気力学に基づいていましたが、彼の負の電子は球状で循環するのではなく、正の原子核の周りを回っていました。このシステムの即時の崩壊を避けるために、彼は電子がペアになって、各電子の回転加速度が軌道全体で一致することを要求しました。^{[20] : 163} 1913年までにボーアは、アルファ粒子のエネルギー損失の分析から、水素には対応する電子が1つしかなく、ペアになっていないことをすでに示していました。^{[14] : 195}ボーアの原子モデルは、古典的電気力学を放棄するものでした。

ニコルソンの放射線モデルは量子的であったが、電子の軌道に関連付けられていた。^{[21] [19]}ボーアの量子化は、それを軌道周波数ではなく、水素モデルのエネルギーレベルの違いと関連付けるだろう。

ボーアは1911年に、ヘンドリック・ローレンツの古典的電子理論を応用した論文「金属の電子理論に関する研究」で博士号を取得した。ボーアは古典的モデルの2つの欠点を指摘した。1つ目は、ジェームズ・クラーク・マクスウェルが1875年に指摘した金属の比熱に関するものであった。金属の理論では、素粒子電子のような自由度が増えるごとに、実験との不一致が大きくなる。2つ目は、古典的理論では磁性を説明できないということである。^{[14] : 194}

博士号取得後、ボーアは短期間JJ トムソンの研究室で働き、その後マンチェスターのラザフォードの研究室に移り放射能を研究した。彼が到着したのは、ラザフォードが原子のためのコンパクトな核の提案を終えた直後だった。 同じくマンチェスターにいたチャールズ・ゴルトン・ダーウィンは金属におけるアルファ粒子のエネルギー損失の分析を終えたばかりで、損失の主な原因は電子の衝突であると結論づけていた。ボーアはその後の論文で、ダーウィンの結果は電子結合エネルギーを考慮することで改善されることを示した。重要なことに、これによってボーアは水素原子には電子が 1 つしかないと結論づけることができた。^{[14] : 195}

次に、ボーアは友人のハンス・ハンセンから、バルマー級数はバルマー公式を使って計算される、と聞かされた。バルマー公式は、 1885年にヨハン・バルマーが発見した水素のいくつかのスペクトル線の波長を記述する経験式である。 ^{[18] [22]これは1888年に}ヨハネス・リュードベリによってさらに一般化され、現在リュードベリ公式として知られるようになった。この後、ボーアは「すべてが明らかになった」と宣言した。^[22]

1913 年、ニールス・ボーアはラザフォードの原子核モデルと一致する電子モデルを提供するために 3 つの仮説を提唱しました。

1. 電子は、古典的な電磁気学が示唆するのとは反対に、エネルギーを放射することなく、原子核の周りの特定の安定軌道を回転することができます。これらの安定軌道は定常軌道と呼ばれ、原子核から特定の離散距離で達成されます。電子は、離散軌道の間に他の軌道を持つことはできません。
2. 静止軌道は、回転する電子の角運動量が換算プランク定数 の整数倍である距離で達成されます。ここで は主量子数、 と呼ばれます。 の最低値は1 です。これにより、水素の場合 0.0529 nm という、ボーア半径として知られる最小の軌道半径が得られます。電子がこの最低軌道に入ると、原子核に近づくことはできません。ボーアが認めている角運動量の量子則は、ニコルソンが 1912 年の論文^{[18] [19] [21] [20]}で以前に示しており、ボーア^{[11] は、水素原子およびその他の水素のような原子とイオンの許容軌道のエネルギーを計算することができました。これらの軌道は、一定のエネルギーに関連付けられており、エネルギー殻または}エネルギーレベルとも呼ばれます。これらの軌道では、電子の加速によって放射やエネルギーの損失は発生しません。原子のボーアモデルはプランクの放射線の量子理論に基づいていました。${\displaystyle m_{\mathrm {e} }vr=n\hbar }$${\displaystyle n=1,2,3,...}$${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$${\displaystyle n}$
3. 電子は、プランクの関係: （プランク定数）に従って、準位のエネルギー差によって決まる周波数の電磁放射を吸収または放出しながら、ある許容軌道から別の許容軌道にジャンプすることによってのみエネルギーを獲得したり失ったりすることができます。${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \Delta E=E_{2}-E_{1}=h\nu }$${\displaystyle h}$

その他のポイントは次のとおりです。

1. アインシュタインの光電効果の理論と同様に、ボーアの公式は量子ジャンプ中に離散的な量のエネルギーが放射されると仮定している。しかし、アインシュタインとは異なり、ボーアは電磁場の古典的な マクスウェル理論に固執した。電磁場の量子化は原子エネルギーレベルの離散性によって説明され、ボーアは光子の存在を信じていなかった。^{[23] [24]}
2. マクスウェル理論によれば、古典放射の周波数は、電子の軌道上の回転周波数_rotに等しく、高調波はこの周波数の整数倍である。この結果は、が よりはるかに小さい場合のエネルギー準位との間のジャンプに対するボーア模型から得られる。これらのジャンプは、軌道 の - 次高調波の周波数を再現する。 の値が十分に大きい場合（いわゆるリュードベリ状態）、放射過程に関与する 2 つの軌道はほぼ同じ回転周波数を持ち、そのため古典軌道周波数は曖昧ではない。しかし、 が小さい（または が大きい）場合、放射周波数には明確な古典的解釈がない。これが対応原理の誕生を示し、量子論は大きな量子数の極限でのみ古典理論と一致することを要求する。${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle E_{nk}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$
3. ボーア・クラマース・スレーター理論(BKS 理論) は、ボーア模型を拡張しようとした失敗した試みであり、量子ジャンプにおけるエネルギーと運動量の保存則に違反し、保存則は平均的にのみ成立します。

ボーアの条件、すなわち角運動量が の整数倍であるという条件は、後に 1924 年にド・ブロイによって定在波条件として再解釈されました。つまり、電子は波として記述され、電子の軌道の円周に沿って波長の整数倍が収まらなければならないという条件です。 ${\displaystyle \hbar}$

${\displaystyle n\lambda =2\pi r.}$

ド・ブロイの仮説によれば、電子などの物質粒子は波として振る舞う。電子のド・ブロイ波長は

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mv}},}$

これは、

${\displaystyle {\frac {nh}{mv}}=2\pi r,}$

または

${\displaystyle {\frac {nh}{2\pi }}=mvr,}$

ここで、は軌道を回る電子の角運動量である。この角運動量を書き表すと、前の式は次のようになる。 ${\displaystyle mvr}$${\displaystyle \ell}$

${\displaystyle \ell ={\frac {nh}{2\pi }},}$

これはボーアの第二公理です。

ボーアは電子軌道の角運動量を と記述し、ド・ブロイの波長を と記述して電子運動量で割った。しかし、1913 年にボーアは対応原理を援用して自らの法則を正当化したが、波動の解釈は一切示さなかった。1913 年当時、電子などの物質粒子の波動挙動は疑われていなかった。 ${\displaystyle 2/h}$${\displaystyle \lambda =h/p}$${\displaystyle h}$

1925年、新しい種類の力学である量子力学が提唱された。これは、量子化された軌道を移動する電子のボーアのモデルを拡張して、より正確な電子運動のモデルとした。この新しい理論は、ヴェルナー・ハイゼンベルクによって提唱された。同じ理論の別の形である波動力学は、オーストリアの物理学者エルヴィン・シュレーディンガーによって独立に、異なる推論によって発見された。シュレーディンガーはド・ブロイの物質波を採用したが、正の核電荷の電位に捕らえられて水素のような原子の核の周りを動くように制約された電子を記述する3次元波動方程式の波動解を求めた。

ボーア模型は、2 つの荷電点が光よりはるかに遅い速度で互いの周りを回るシステムに対してのみ、ほぼ正確な結果を与えます。これには、水素原子、一価イオン化したヘリウム、二重イオン化したリチウムなどの 1電子システムだけでなく、 1 つの電子が他のすべてのものから遠く離れている原子のポジトロニウム状態とリュードベリ状態も含まれます。他の仮定を追加すれば、 K 線X 線遷移の計算に使用できます (以下のモーズレーの法則を参照)。高エネルギー物理学では、重いクォーク 中間子の質量を計算するために使用できます。

軌道の計算には 2 つの仮定が必要です。

• 古典力学

電子は静電気の引力によって円軌道上に保持されます。求心力はクーロン力に等しいです。

${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {e} }v^{2}}{r}}={\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{r^{2}}},}$

ここで、m _eは電子の質量、eは素電荷、k _eはクーロン定数、Z は原子の原子番号です。ここでは、原子核の質量が電子の質量よりもはるかに大きいと仮定しています (これは適切な仮定です)。この式は、任意の半径における電子の速度を決定します。

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{m_{\mathrm {e} }r}}}.}$

また、任意の半径における電子の総エネルギーも決定します。

${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}m_{\mathrm {e} }v^{2}.}$

全エネルギーは負で、 rに反比例します。つまり、軌道を回る電子を陽子から引き離すにはエネルギーが必要です。rの値が無限大の場合、エネルギーはゼロになり、陽子から無限に離れた静止した電子に相当します。全エネルギーは位置エネルギーの半分であり、その差が電子の運動エネルギーです。これは、ビリアル定理により非円形軌道にも当てはまります。

• 量子の法則

角運動量 L = m _e vrはħの整数倍である:

${\displaystyle m_{\mathrm {e} }vr=n\hbar .}$

古典力学では、電子が周期 T で原子の周りを周回しており、電磁場との結合が弱く、軌道が 1 サイクルであまり減衰しない場合、電子は周期ごとに繰り返されるパターンで電磁放射を放出するため、パターンのフーリエ変換では 1/T の倍数の周波数のみを持つことになります。

しかし、量子力学では、角運動量の量子化により軌道のエネルギーレベルが離散的になり、放出される周波数はこれらのレベル間のエネルギー差に応じて量子化されます。エネルギーレベルのこの離散的な性質により、古典的な放射法則から根本的に逸脱し、放出される放射に明確なスペクトル線が生じます。

ボーアは、電子が古典力学の法則に従って楕円軌道で原子核の周りを回っているが、ラーモアの公式により放射の損失はない、と仮定した。

全エネルギーをE、電子の負電荷をe、原子核の正電荷をK=Z|e|、電子の質量をm _e、楕円の長軸の半分をaとすると、彼は次の式から始める: ^{[11] : 3}

E は負であると想定されます。これは、電子を原子核から切り離し、無限の距離で静止させるには正のエネルギーが必要であるためです。

式(1a)は、（Tは平均運動エネルギー、Uは平均静電ポテンシャル）と、ケプラーの第二法則によれば電子と原子核の平均距離がaであることを考慮して、求心力を原子核と電子の間に働くクーロン力と等しくすることで得られる。 ${\displaystyle E=T+U}$

式(1b)は、式(1a)と同じ前提にビリアル定理を加えて得られる。ビリアル定理は、楕円軌道の場合、

ボーアは、電子の回転周波数の半分の周波数を持つ光量子のエネルギーの整数倍であると仮定します。^{[11] : 4}すなわち、 ${\displaystyle \vert E\vert }$

式(1a,1b,2)から次の式が得られます。

さらに彼は軌道が円形、つまり であると仮定し、電子の角運動量をLと表して次の式を導入します。 ${\displaystyle a=r}$

式(4)はビリアル定理と、角運動量、運動エネルギー、回転周波数の間の古典力学の関係から導かれます。

式(1c,2,4)から次の式が導かれる。

どこ：

つまり:

この結果は、電子の角運動量が縮減されたプランク定数の整数倍であることを示しています。^{[11] : 15}

この式を速度に代入すると、nに関するrの式が得られます。

${\displaystyle m_{\text{e}}{\sqrt {\dfrac {k_{\text{e}}Ze^{2}}{m_{\text{e}}r}}}r=n\hbar ,}$

任意のnにおける許容軌道半径は

${\displaystyle r_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{Zk_{\mathrm {e} }e^{2}m_{\mathrm {e} }}}.}$

水素原子（Z = 1 ）におけるrの最小値はボーア半径と呼ばれ、次の式に等しくなります。

${\displaystyle r_{1}={\frac {\hbar ^{2}}{k_{\mathrm {e} }e^{2}m_{\mathrm {e} }}}\approx 5.29\times 10^{-11}~\mathrm {m} =52.9~\mathrm {pm} .}$

任意の原子のn番目のレベルのエネルギーは、半径と量子数によって決まります。

${\displaystyle E=-{\frac {Zk_{\mathrm {e} }e^{2}}{2r_{n}}}=-{\frac {Z^{2}(k_{\mathrm {e} }e^{2})^{2}m_{\mathrm {e} }}{2\hbar ^{2}n^{2}}}\approx {\frac {-13.6Z^{2}}{n^{2}}}~\mathrm {eV} .}$

したがって、 水素の最低エネルギーレベル（ n = 1 ）の電子は、原子核から無限に離れた静止した電子よりも約13.6 eV低いエネルギーを持っています。次のエネルギーレベル（ n = 2）は-3.4 eVです。3番目（n = 3）は-1.51 eV、などです。nの値がより大きい場合、これらは、1つの電子が原子の残りの部分の周りを大きな円軌道で回っている高度に励起された原子の結合エネルギーでもあります。水素の式は、ワリス積とも一致します。^[25]

エネルギー式における自然定数の組み合わせは、リュードベリエネルギー ( R _E ) と呼ばれます。

${\displaystyle R_{\mathrm {E} }={\frac {(k_{\mathrm {e} }e^{2})^{2}m_{\mathrm {e} }}{2\hbar ^{2}}}.}$

この表現は、より自然な単位を形成する組み合わせで解釈することで明確になります。

${\displaystyle m_{\mathrm {e} }c^{2}}$電子の静止質量エネルギー（511 keV）である。

${\displaystyle {\frac {k_{\mathrm {e} }e^{2}}{\hbar c}}=\alpha \approx {\frac {1}{137}}}$は微細構造定数であり、

${\displaystyle R_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}(m_{\mathrm {e} }c^{2})\alpha ^{2}}$。

この導出は原子核の周りを電子が 1 個周回しているという仮定に基づいているため、原子核の電荷をq = Ze（Zは原子番号）とすることでこの結果を一般化できます。これで、水素原子（水素に似た原子）のエネルギー レベルが得られます。これは、実際のエネルギー レベルの大まかな近似値として使用できます。したがって、 Z個の陽子を持つ原子核の場合、エネルギー レベルは次のようになります（大まかな近似値）。

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {Z^{2}R_{\mathrm {E} }}{n^{2}}}.}$

電子は原子核の影響を受けるだけでなく、クーロン力によって互いに相互作用するため、実際のエネルギーレベルは、複数の電子に対して解析的に解くことはできません（n体問題を参照） 。

Z = 1/ α ( Z ≈ 137 )のとき、運動は高度に相対論的になり、Z ^{2 は}Rのα ^{2 を}打ち消し、軌道エネルギーは静止エネルギーに匹敵し始める。十分に大きな原子核は、安定していれば、真空から束縛電子を作り出して陽電子を無限に放出することで電荷を減らすだろう。これは、最大の原子核電荷を予測する電磁電荷遮蔽の理論的な現象である。このような陽電子の放出は、一時的な超重原子核を作る重イオンの衝突で観測されている。^[26]

ボーアの公式は、電子の質量の代わりに、あらゆる状況において電子と陽子の 換算質量を適切に使用しています。

${\displaystyle m_{\text{red}}={\frac {m_{\mathrm {e} }m_{\mathrm {p} }}{m_{\mathrm {e} }+m_{\mathrm {p} }}}=m_{\mathrm {e} }{\frac {1}{1+m_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {p} }}}.}$

しかし、陽子の質量は電子の質量の約 1836.1 倍とかなり大きいため、これらの数値はほぼ同じです。したがって、システムの換算質量は、電子の質量に定数 1836.1/(1+1836.1) = 0.99946 を掛けた値になります。この事実は、ボーアのモデルの重要性をラザフォードに納得させる上で歴史的に重要でした。なぜなら、このモデルは、一価イオン化したヘリウムのスペクトル線の周波数が水素のものとちょうど 4 倍異なるのではなく、水素とヘリウムのシステムの換算質量の比率の 4 倍だけ異なるという事実を説明したからです。この比率は、実験による比率のちょうど 4 倍よりもはるかに近いものでした。

陽電子の場合も、式では換算質量を使用しますが、この場合、換算質量は電子の質量を 2 で割った値とまったく同じです。半径がどのような値であっても、電子と陽電子はそれぞれ共通の質量中心の周りを半分の速度で移動し、運動エネルギーはそれぞれ 4 分の 1 しかありません。総運動エネルギーは、重い原子核の周りを 1 つの電子が移動するときの半分です。

${\displaystyle E_{n}={\frac {R_{\mathrm {E} }}{2n^{2}}}}$（ポジトロニウム）。

1860年代後半から、ヨハン・バルマー、後にヨハネス・リュードベリとヴァルター・リッツは、測定された原子スペクトル線に一致する、より正確な経験式を開発した。ボーアの後の業績にとって重要だったのは、リュードベリが彼の式を波数（周波数と同等）で表現したことだ。^[27]この式には、現在リュードベリ定数として知られる定数と、線を示す一対の整数が含まれていた。^{[14] : 247} 多くの試みにもかかわらず、原子の理論ではこれらの比較的単純な式を再現できなかった。^{[14] : 169}${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \nu =R\left({\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right).}$$

ボーアの理論では、軌道エネルギー準位間の遷移や量子ジャンプのエネルギーを記述することで、これらの式を説明できます。水素原子の場合、ボーアは自由電子が でインデックス付けされた安定した円軌道に移動するときに放出されるエネルギーの導出式から始めます。^[28] このような2つの準位間のエネルギー差は次のようになります。 したがって、ボーアの理論は、電子の電荷、電子の質量、プランク定数 などのより基本的な自然定数の観点から、水素のリュードベリ式とリュードベリ定数の数値を与えます。^{[29] : 31  [30]}${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle W_{\tau }={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{2}\tau ^{2}}}}$$$${\displaystyle h\nu =W_{\tau _{2}}-W_{\tau _{1}}={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{2}}}\left({\frac {1}{\tau _{2}^{2}}}-{\frac {1}{\tau _{1}^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle cR_{H}={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{3}}}.}$$

光子のエネルギーは

${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }},}$

これらの結果は、放出される光子の波長で表すことができます。

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{n_{f}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right).}$

ボーアによるリュードベリ定数の導出、そしてボーアの式が実験的に観測されたライマン（n _f =1）、バルマー（n _f =2）、パッシェン（n _f =3）系列のスペクトル線と一致したこと、そしてまだ観測されていない他のスペクトル線の理論的予測に成功したことは、彼のモデルがすぐに受け入れられた理由の1つでした。^{[30] : 34}

複数の電子を持つ原子に適用するには、Z をZ  −  bに、またはn をn  −  bに置き換えることでリュードベリの式を修正できます。ここで、b は内殻と他の電子による遮蔽効果を表す定数です (電子殻と、以下の「原子の殻モデル」に関する後述の説明を参照)。これは、ボーアがモデルを発表する前に経験的に確立されていました。

ボーアが 1913 年に発表した最初の 3 つの論文では、主に軽い元素の電子配置について説明しました。ボーアは 1913 年に電子殻を「リング」と呼びました。彼の惑星モデルの時点では、殻内の原子軌道は存在していませんでした。ボーアは、有名な 1913 年の論文の第 3 部で、殻内の電子の最大数は 8 であると説明し、次のように書いています。「さらに、n個の電子のリングは、 n < 8でない限り、電荷n _eの原子核の周りを 1 つのリングで回転できないことがわかります。」より小さな原子の場合、電子殻は次のように満たされます。「電子のリングは、同じ数の電子が含まれている場合にのみ結合します。したがって、内側のリングの電子の数は 2、4、8 のみになります。」ただし、より大きな原子では、最も内側の殻には 8 個の電子が含まれます。「一方、元素の周期表は、ネオンN = 10 ですでに 8 個の電子の内側リングが発生することを強く示唆しています。」ボーアは「以上のことから、軽い原子における電子の配置については次のような図式が考えられる」と書いている。^{[31] [4] [8]}

1913年のボーアの3番目の論文パート3「複数の原子核を含むシステム」では、2つの原子が対称面上で分子を形成すると述べ、水素の説明に戻った。^[32] 1913年のボーアモデルでは高次の元素については詳細に議論されておらず、ジョン・ウィリアム・ニコルソンは1914年にこのモデルがリチウムには適用できないが、水素と電離ヘリウムには魅力的な理論であることを証明した最初の人物の1人であった。^{[8] [33]}

1921年、化学者や周期表の研究に携わった他の人々の研究に続いて、ボーアは水素のモデルを拡張し、より重い原子の近似モデルを与えた。これにより、多くの既知の原子特性を初めて再現する物理的描像が得られたが、これらの特性は化学者チャールズ・ルージリー・ベリーの同一の研究と同時期に提案されていた^{[4] [34]。}

1914年から1916年にかけてボーアの研究パートナーだったヴァルター・コッセルは、ボーアの研究を訂正し、電子は外殻を介して相互作用することを示し、コッセルはその環を「殻」と呼んだ。^{[35] [36]} アーヴィング・ラングミュアは、1904年のオクテット則に従って、最初の殻に2個だけ、次の殻に8個までの電子の殻配置を初めて実現可能なものにしたとされているが、コッセルは1916年にすでに殻あたりの最大数は8個であると予測していた。^[37]重い原子ほど、核内に陽子が多く、電荷を打ち消す電子も多くなる。ボーアはこれらの化学者から、各離散軌道には一定数の電子しか保持できないという考えを取り入れた。コッセルによれば、軌道がいっぱいになると、次のレベルを使用する必要がある。^[4]これにより、原子はコッセル、ラングミュア、ベリーによって設計された 殻構造を持ち、各殻はボーア軌道に対応します。

このモデルは、各殻の電子を相互作用しないものとして扱うため、水素のモデルよりもさらに近似的です。しかし、電子の反発は遮蔽現象によってある程度考慮されます。外側の軌道の電子は原子核の周りを回るだけでなく、内側の電子の周りも動きます。そのため、電子が感じる有効電荷 Z は内側の軌道の電子の数だけ減少します。

たとえば、リチウム原子には最低の 1s 軌道に電子が 2 つあり、これらはZ = 2 で周回します。各電子は、 Z = 3 の核電荷から 他方の遮蔽効果を引いたものを受け取り、これにより核電荷が大まかに 1 単位減少します。つまり、最も内側の電子はボーア半径の約 1/2 で周回します。リチウムの最も外側の電子は、2 つの内側の電子によって核電荷が 2 減少するため、ほぼボーア半径で周回します。この外側の電子は、原子核からほぼ 1 ボーア半径のところにあるはずです。電子は互いに強く反発するため、有効電荷の記述は非常に近似的であり、有効電荷Z は通常は整数にはなりません。

殻モデルは、19 世紀後半に元素周期表に体系化された原子の多くの不思議な性質を定性的に説明することができました。1 つの性質は原子のサイズで、これはガスの粘性や純粋な結晶固体の密度を測定することでおおよそ決定できます。原子は周期表の右に行くほど小さくなり、次の行に行くほど大きくなります。表の右側の原子は電子を獲得する傾向があり、左側の原子は電子を失う傾向があります。表の最後の列にあるすべての元素は化学的に不活性です (希ガス)。

殻モデルでは、この現象は殻充填によって説明されます。連続する原子は、同じサイズの軌道を充填するため小さくなり、軌道が満杯になると、表の次の原子は緩く結合した外側の電子を持つようになり、膨張します。最初のボーア軌道は、電子が 2 つあるときに充填されます。これが、ヘリウムが不活性である理由です。2 番目の軌道は 8 つの電子を収容でき、これが満杯になると、原子はネオンになり、これも不活性になります。3 番目の軌道には再び 8 つの電子が含まれますが、より正確なゾンマーフェルトの扱い (現代の量子力学で再現) では、余分な "d" 電子があります。3 番目の軌道には余分な 10 個の d 電子が保持される場合がありますが、これらの位置は、次のレベルの軌道がさらにいくつか満たされるまでは満たされません (n=3 の d 軌道が満たされると、10 個の遷移元素が生成されます)。不規則な充填パターンは電子間の相互作用による効果であり、ボーアモデルやゾンマーフェルトモデルのどちらでも考慮されておらず、現代の処理でも計算が困難です。

ニールス・ボーアは1962年にこう述べている。「実はラザフォードの研究は真剣に受け止められていなかったのです。今日では理解できませんが、まったく真剣に受け止められていなかったのです。どこにもそのことについて言及されていませんでした。大きな変化はモーズリーからもたらされたのです。」^[38]

1913年、ヘンリー・モーズリーは、電子衝撃を受けた原子から放出される最も強いX線線（当時はKアルファ線と呼ばれていた）と原子番号Zとの間に経験的な関係を発見した。モーズリーの経験式は、リュードベリの式、さらに後にボーアの式から導出できることがわかった（モーズリーは実際にはアーネスト・ラザフォードとアントニウス・ファン・デン・ブルックのモデルについてのみ言及しているが、これはこれらのモデルがモーズリーの研究より前に発表されており、モーズリーの1913年の論文は最初のボーアモデルの論文と同じ月に発表されたためである）。^[39]さらに、[1]このX線線は量子数1と2のエネルギー準位間の遷移から生じること、[2]、すなわち水素より重い原子の式で使用される原子番号Zは1だけ減少して、 ( Z  −1) ²になるはずであるという2つの仮定が採用された。

モーズリーはボーアに手紙を書き、その結果に困惑したが、ボーアは助けることができなかった。当時、彼は、仮定された最も内側の「K」電子殻には、結果をうまく説明する 2 個ではなく、少なくとも 4 個の電子があるはずだと考えていた。そのため、モーズリーは理論的な説明なしに結果を発表した。

1914年と1916年に、周期表では外殻に電子が追加されるにつれて新しい元素が作られると説明したのはヴァルター・コッセルだった。コッセルの論文では、彼は次のように書いている。「このことから、さらに追加される電子は同心円状のリングまたは殻に入れられ、それぞれのリングまたは殻には一定数の電子、つまりこの場合は8個だけが配置されるという結論に至る。1つのリングまたは殻が完成すると、次の元素のために新しいものを開始する必要がある。最もアクセスしやすく、最外縁にある電子の数は元素ごとに再び増加し、したがって、新しい殻が形成されるたびに化学的周期性が繰り返される。」^{[35] [36]}後に、化学者ラングミュアは、この効果は電荷遮蔽によって生じ、内殻には電子が2個しか含まれないことに気付いた。 1919 年の論文で、アーヴィング・ラングミュアは、それぞれ 2 つの電子のみを含むことができる「セル」の存在を仮定し、これらのセルが「等間隔の層」に配置されているとしました。

モーズレーの実験では、原子の最も内側の電子の 1 つが叩き出され、最も低いボーア軌道に空孔が残り、その中に 1 つの電子が残ります。この空孔は、n = 2 の次の軌道からの電子によって埋められます。しかし、n = 2 の電子は、核電荷+ Zを遮蔽して (電子の負電荷が核の正電荷を遮蔽するため) 最も低いボーア軌道に残っている 1 つの電子が核電荷 + Zを遮蔽し、それを -1 下げる場合 (電子の負電荷が核の正電荷を遮蔽するため)、核の電荷に適した値である Z − 1 の有効電荷を受け取ります。電子が第 2 殻から第 1 殻に落ちることで得られるエネルギーは、K アルファ線に関するモーズレーの法則を与えます。

${\displaystyle E=h\nu =E_{i}-E_{f}=R_{\mathrm {E} }(Z-1)^{2}\left({\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}\right),}$

または

${\displaystyle f=\nu =R_{\mathrm {v} }\left({\frac {3}{4}}\right)(Z-1)^{2}=(2.46\times 10^{15}~{\text{Hz}})(Z-1)^{2}.}$

ここで、R _v = R _E / h^{は、周波数で言えば 3.28 x 10 15} Hzに等しいリュードベリ定数である。Z の値が 11 から 31 の場合、この関係は、原子番号に対する X 線周波数の平方根の単純な (直線) プロットで、モーズレーによって経験的に導かれていた (ただし、銀の場合、Z = 47 であり、実験的に得られた遮蔽項は 0.4 に置き換えられるべきである)。その限定された妥当性にもかかわらず、^[40]モーズレーの法則は、原子番号の客観的な意味を確立しただけでなく、ボーアが指摘したように、リュードベリ導出以上に、原子番号 (周期表上の位置) が核電荷の完全な単位を表す、ラザフォード/ファンデンブルック/ボーアの原子核モデルの妥当性を確立した。ファン・デン・ブルックは1913年1月に周期表が電荷に従って配置されていることを示すモデルを発表したが、ボーアの原子モデルは1913年7月まで発表されなかった。^[41]

モーズリーの時代のKアルファ線は、現在では 2 本の近接した線であることがわかっており、ジークバーン表記法では ( Kα ₁とKα ₂ )と表記されます。

ボーア モデルは、基底状態の軌道角運動量についてL = ħという誤った値を与えます。真の基底状態の角運動量は、実験からゼロであることがわかっています。このスケール レベルでは、心の中でのイメージは多少崩れますが、軌道運動量を持たない最も低い現代の「軌道」にある電子は、原子核の「周り」をまったく回転せず、面積がゼロの楕円で原子核の周りをきつく回っているだけであると考えられます (これは、原子核に衝突したり相互作用したりすることなく、「前後に」動くとイメージできます)。これは、ゾンマーフェルトのようなより洗練された半古典的な処理でのみ再現されます。それでも、最も洗練された半古典的なモデルでさえ、最も低いエネルギー状態が球対称であるという事実、つまり特定の方向を指していないという事実を説明できません。

それにもかかわらず、位相空間における現代の完全量子的扱いでは、半古典的な結果の適切な変形（慎重な完全拡張）により、角運動量の値が正しい有効値に調整されます。^[42]結果として、物理的な基底状態の表現は、球対称性に対応する、消失する量子角運動量の表現のシフトを通じて得られます。

現代の量子力学では、水素の電子は、原子核の近くで密度が増す確率の球状の雲です。水素の確率減衰の速度定数はボーア半径の逆数に等しいですが、ボーアは面積ゼロの楕円ではなく円軌道を扱っていたため、この 2 つの数値が正確に一致することは「偶然の一致」と見なされます。(ただし、原子の半古典的処理と完全な量子力学的処理の間には、このような偶然の一致が多数見られます。これには、水素原子のエネルギー レベルが同一であることや、相対論的ボーア-ゾンマーフェルト モデル (以下を参照) から生じる微細構造定数の導出が含まれますが、これは完全な現代の量子力学ではまったく異なる概念に等しくなります)。

ボーアモデルでは、以下の点についても説明が困難、あるいは説明できません。

• より大きな原子のスペクトルの多く。さらに2 つの特別な仮定を加えると、せいぜいより大きな原子の K-α および一部の L-α X 線放射スペクトルについて予測することができます。外殻電子を 1 つ持つ原子 (リチウムグループの原子) の放射スペクトルも近似的に予測できます。また、多くの原子の経験的電子-核遮蔽係数がわかっている場合は、リッツ-リュードベリ結合原理 (リュードベリの公式を参照) を介して、異なる元素の類似原子における他の多くのスペクトル線をその情報から推測できます。これらの手法はすべて、基本的にボーアのニュートン力学による原子のエネルギー ポテンシャル図を利用しています。
• スペクトル線の相対的な強度。いくつかの単純なケースでは、ボーアの公式またはその修正版によって妥当な推定値が得られる（たとえば、クラマースによるシュタルク効果の計算）。
• スペクトル線には微細構造と超微細構造が存在し、これはさまざまな相対論的および微妙な効果、および電子スピンによる複雑化によるものであることが知られています。
• ゼーマン効果– 外部磁場によるスペクトル線の変化。これは、電子スピンと軌道磁場と相互作用するより複雑な量子原理によるものでもあります。
• このモデルは、電子が既知の軌道と位置を持っているとみなすという不確定性原理にも違反しており、この 2 つは同時に測定することはできない。
• 二重線と三重線は、一部の原子のスペクトルでは非常に接近した線対として現れます。ボーアのモデルでは、一部のエネルギー レベルが非常に接近している理由を説明できません。
• 多電子原子はモデルで予測されるエネルギーレベルを持ちません。このモデルは（中性）ヘリウムには適用されません。

ボーア模型にはいくつかの改良が提案されたが、最も有名なのはゾンマーフェルト模型またはボーア・ゾンマーフェルト模型で、電子はボーア模型の円軌道ではなく、原子核の周りを楕円軌道で回っていると示唆した。^[1]この模型はボーア模型の量子化された角運動量条件に、ウィルソン・ゾンマーフェルトの量子化条件という追加の放射状量子化条件を補足した。 ^{[43] [44]}

${\displaystyle \int _{0}^{T}p_{r}\,dq_{r}=nh,}$

ここで、p _{r は}、半径位置である座標q _rに正準共役な半径方向運動量であり、 T は1 つの完全な軌道周期です。積分は、作用角座標の作用です。対応原理によって示唆されるこの条件は、量子数が断熱不変量であるため、唯一可能な条件です。

ボーア-ゾンマーフェルトモデルは根本的に矛盾しており、多くのパラドックスを引き起こした。磁気量子数はxy平面に対する軌道面の傾きを測定したもので あり、少数の離散的な値しか取れなかった。これは、原子が座標に対して制限なく任意の方向をとれるという明白な事実と矛盾していた。ゾンマーフェルトの量子化は異なる標準座標で実行でき、異なる答えを出すこともある。放射線補正を組み込むのは困難だった。放射線/原子複合システムの作用角座標を見つける必要があり、放射線が逃げてしまうと難しいからだ。理論全体が非積分運動まで拡張されなかったため、多くのシステムは原理的にさえ扱うことができなかった。最終的に、このモデルは、1925年にヴォルフガング パウリがハイゼンベルクの行列力学を使用して初めて示した水素原子の現代の量子力学的処理に置き換えられた。水素原子の現在の図は、エルヴィン・シュレーディンガーが1926 年に開発した 波動力学の原子軌道に基づいています。

しかし、ボーア・ゾンマーフェルト模型に成功がなかったというわけではない。ボーア・ゾンマーフェルト模型に基づく計算は、より複雑な原子スペクトル効果の数々を正確に説明することができた。例えば、1次の摂動までは、ボーア模型と量子力学は、シュタルク効果におけるスペクトル線の分裂について同じ予測をする。しかし、より高次の摂動では、ボーア模型と量子力学は異なり、高磁場強度下でのシュタルク効果の測定は、ボーア模型よりも量子力学のほうが正しいことを裏付けるのに役立った。この違いの背後にある一般的な理論は、電子の軌道の形状にあり、電子のエネルギー状態に応じて変化する。

ボーア・ゾンマーフェルトの量子化条件は、現代数学における疑問を生じさせる。無矛盾な半古典的量子化条件は、位相空間上の特定の種類の構造を必要とし、量子化可能なシンプレクティック多様体の種類に位相的な制限を課す。特に、シンプレクティック形式は、エルミート直線束の接続の曲率形式である必要があり、これは前量子化と呼ばれる。

ボーアは1922年にモデルを更新し、特定の数の電子（例えば2、8、18）が安定した「閉殻」に対応すると仮定した。^[45]

ニールス・ボーアは原子モデルと化学結合モデルを提唱した。彼の二原子分子モデルによれば、分子の原子の電子は、分子の軸に垂直で原子核から等距離にある平面を持つ回転リングを形成する。分子システムの動的平衡は、原子核が電子リングの平面に引き寄せる力と原子核が相互に反発する力のバランスによって達成される。ボーアの化学結合モデルは、クーロン反発を考慮に入れており、リング内の電子は互いに最大距離にある。^{[46] [47]}

ボーアの原子モデルは1920年代に量子モデルに取って代わられたが、原子核の周りを回る電子の視覚的イメージは、原子の一般的な概念として残っている。小さな惑星系としての原子の概念は、原子のシンボルとして、さらには「原子」エネルギー（これは核エネルギーとして考えるのが適切だが）のシンボルとして広く使用されている。^{[48] :  58}過去1世紀にわたる使用例には、以下が含まれるが、これらに限定されない。

• これは米国原子力委員会のロゴであり、特に核分裂技術に関連して後で使用されるようになった。
• 国際原子力機関の旗は「紋章と回転する原子の紋章」^[49]をオリーブの枝で囲んだものである。
• 米国のマイナーリーグ野球チーム、 アルバカーキ・アイソトープスのロゴは、大きな文字「A」の周りを回る電子として野球ボールが描かれている。
• 同様のシンボルである原子の渦は、アメリカ無神論者のシンボルとして選ばれ、無神論全般のシンボルとして使われるようになりました。
• 原子を表すUnicodeの その他の記号コード ポイント U+269B (⚛) は、惑星の原子モデルのように見えます。
• テレビ番組「ビッグバン・セオリー」は、印刷ロゴに惑星のようなイメージを使用しています。
• JavaScript ライブラリReact は、惑星のような画像をロゴとして使用します。
• 地図上では、一般的に原子力発電所を示すために使用されます。

• Bohr, N. (1913年7 月)。「I .原子と分子の構成について」。ロンドン、エディンバラ、ダブリンの哲学雑誌および科学ジャーナル。26 ( 151): 1–25。Bibcode :1913PMag...26....1B。doi :10.1080/14786441308634955。
• Bohr, N. (1913年9 月)。「XXXVII. 原子と分子の構成について」。ロンドン、エディンバラ、ダブリンの哲学雑誌と科学ジャーナル。26 ( 153): 476–502。Bibcode : 1913PMag ...26..476B。doi :10.1080/14786441308634993。
• Bohr, N. (1913 年11月 1日)。「LXXIII. 原子と分子の構成について」。ロンドン、エディンバラ、ダブリンの哲学雑誌と科学ジャーナル。26 (155): 857–875。Bibcode : 1913PMag ...26..857B。doi :10.1080/14786441308635031。
• Bohr, N. (1913 年 10 月). 「ヘリウムと水素のスペクトル」. Nature . 92 (2295): 231–232. Bibcode :1913Natur..92..231B. doi :10.1038/092231d0. S2CID  11988018.
• Bohr, N. (1921 年 3 月). 「原子構造」. Nature . 107 (2682): 104–107. Bibcode :1921Natur.107..104B. doi :10.1038/107104a0. S2CID  4035652.
• A. アインシュタイン (1917)。 「ゾンマーフェルトとエプスタインのズム・クアンテンザッツ」。Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft。19：82～92。アルバート・アインシュタイン全集、A. エンゲル訳、(1997) プリンストン大学出版局、プリンストン。6ページ434。(ボーア-ゾンマーフェルトの量子化条件のエレガントな再定式化と、積分不可能な (カオス的) 動的システムの量子化に関する重要な洞察を提供します。)
• ド・ブロイ、モーリス。ランジュバン、ポール。ソルベイ、アーネスト。アインシュタイン、アルバート (1912)。 La théorie du rayonnement et les quanta : Bruxelles の連合期間における関係と議論、1911 年 10 月 30 日と 11 月 3 日、ME Solvay (フランス語)。ゴーティエ・ヴィラール。OCLC  1048217622。

• ライナス・カール・ポーリング (1970)。「第 5-1 章」。一般化学(第 3 版)。サンフランシスコ: WH Freeman & Co.
  • 再版：ライナス・ポーリング（1988年）。一般化学。ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 0-486-65622-5。
• ジョージ・ガモフ (1985)。「第 2 章」。物理学を揺るがした 30 年間。ドーバー出版。
• Walter J. Lehmann (1972)。「第 18 章」。原子と分子の構造: 概念の発展。John Wiley and Sons。ISBN 0-471-52440-9。
• ポール・ティプラー、ラルフ・ルウェリン (2002)。現代物理学(第 4 版)。WH フリーマン。ISBN 0-7167-4345-0。
• クラウス・ヘンシェル：Elektronenbahnen、Quantensprünge und Spektren、in: Charlotte Bigg & Jochen Hennig (eds.) Atombilder。 Ikonografien des Atoms in Wissenschaft und Öffentlichkeit des 20. Jahrhunderts、Göttingen: Wallstein-Verlag 2009、pp. 51–61
• スティーブン・ズムダールとスーザン・ズムダール (2010)。「第 7.4 章」。化学(第 8 版)。ブルックス/コール。ISBN 978-0-495-82992-8。
• Kragh, Helge (2011年11 月)。「ボーア原子理論に対する概念的反論 — 電子は「自由意志」を持つか?」。ヨーロッパ物理学ジャーナル H。36 ( 3): 327–352。Bibcode :2011EPJH...36..327K。doi : 10.1140/ epjh /e2011-20031-x。S2CID 120859582  。

• ボーアの原子モデルにおける定在波 - ボーアの原子モデルにおける定在波の量子化条件を直感的に説明するインタラクティブなシミュレーション