アローの不可能性定理

アローの不可能性定理は、ケネス・アローによって発見された社会的選択における重要な結果であり、順位付け投票ルール^{[注 1]はどれも}合理的に機能しないことを示しています。^[1]特に、そのようなルールは、無関係な選択肢の独立性(IIA)、つまり と の選択は、3 番目の無関係な選択肢の質に左右されるべきではないという考え方に違反しています。^{[2] [3]}この結果は、選挙科学と投票理論で最も頻繁に引用され、 はスポイラー候補と呼ばれます。^{[4]この文脈では、アローの定理は、}順位付け投票ルールではスポイラー効果を排除できないことを示していると言い換えることができます。^{[5] [6] [7]}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

しかし、アローの定理はより広範囲に及び、投票以外の社会的意思決定方法にも適用できる。したがって、ニコラ・ド・コンドルセの投票パラドックスを一般化し、相対的な比較に基づくあらゆる集団的意思決定手順に同様の問題が存在することを示している。^{[8]これは、}教義的パラドックスによって一般化できる。^[9]

小選挙区制や順位選択（即時決選投票）のような多数決方式は、選挙妨害者の影響を非常に受けやすく、^{[10] [11]}強制されていない場合でも選挙妨害者を作り出すことができる。^{[12] [13]}対照的に、多数決（コンドルセ）方式の順位投票は、循環同票と呼ばれるまれな状況^{[15] [16]に}限定することで、無効選挙の数を独自に最小限に抑える。^{[17]投票行動のいくつかの理想化されたモデル（例：}ダンカン・ブラックの左派-右派スペクトル）では、そのようなルールでは、無効選挙の影響が完全に消えることがある。^{[18] [19]}

投票者が各候補者に別々の等級を付ける評価投票ルールは、アローの定理の影響を受けない（一部の投票者はIIAを満たすことができる）。^{[5] [6] [20]} アローは当初、これらのシステムによって提供される情報は無意味であり、したがってパラドックスを防ぐのに使用できないと主張し、それらを無視した。^[21]しかし、彼と他の著者は後にこれが間違いであったことを認識し、^{[22] [23]}アローは、基数効用に基づくルール（スコアや承認投票など）は彼の定理の対象ではないことを認めた。^{[24] [25]}

アローの定理は、社会選択理論と呼ばれる厚生経済学の一分野に属し、最適な決定を下すために選好と信念を集約することを扱う。 ^[23]社会選択の目標は、社会選択ルール、つまり社会のすべてのメンバーに応じて2つの結果または選択肢のどちらが優れているかを決定する数学的関数を特定することである。 ^[1]このような手順は、市場、投票システム、憲法、さらには道徳的または倫理的枠組みである可能性がある。^{[8]理想的には、そのような手順は}合理的選択の特性を満たし、あらゆる種類の自己矛盾を回避する必要がある。^[1]

アローの定理の文脈では、国民は優先順位、つまり候補者の順序を持っていると想定されています。AとB が異なる候補者または選択肢である場合、はAがBよりも好まれることを意味します。個人の好み (または投票) は、順序付けの直感的な特性を満たす必要があります。たとえば、それらは推移的でなければなりません—および である場合、 です。したがって、社会的選択関数は、個人の順序付けを、社会全体の好みを表す新しい順序付けにマッピングする数学関数です。 ${\displaystyle A\succ B}$${\displaystyle A\succeq B}$${\displaystyle B\succeq C}$${\displaystyle A\succeq C}$

アローの定理は、非退化的な順位付けされた社会的選択ルールが以下を満たすことを背景として仮定している。^[26]

• 普遍的な領域— 社会的選択関数は、単なる部分関数ではなく、結果のすべての可能な順序付けの領域上の全関数です。
  • 言い換えれば、システムは常に何らかの選択を行う必要があり、有権者が通常とは異なる意見を持っている場合に単に「諦める」ことはできないのです。
  • この仮定がなければ、多数決はコンドルセサイクルがあるときはいつでも「諦める」ことによってアローの公理を満たす。^[27]

• 非独裁制— システムは一人の有権者の投票だけに依存しない。^[28]
  • これにより匿名性（1票、1つの価値）が弱まり、投票者を不平等に扱うルールが可能になります。
  • この仮定は、社会的選択を複数の人の入力に依存するものと定義しています。^[28]

• 非強制的投票制度 - 候補者のペアを選択する際に、投票者を完全に無視するわけではない。 ^{[29] [30]}
  • 言い換えれば、ある一定の票数の組み合わせがあれば、どの候補者も他のどの候補者にも勝つ可能性がある。^{[29] [30] [31]}
  • これは通常、より強いパレート効率に置き換えられます。つまり、有権者が全員一致で候補者Aを候補者Bよりも支持した場合、候補者Aは候補者Bに勝つはずです。^[29]

アローの定理の元の記述には、非倒錯性の仮定、すなわち、結果の順位が上がっても負けることはないという仮定が含まれていた。^[32]しかし、この仮定は、弱いパレート効率公理を導く場合を除いて、彼の証明では必要とされず、使用されておらず、結果としてパラドックスとは関係がない。^[28]アローは、提案されたあらゆる社会的選択ルールの明らかな要件であると考えたが、順位付け選択決選投票（RCV）はこの条件を満たしていない。^{[33]アローは後に、}決選投票やその他の倒錯した投票ルールを含めるように定理の記述を修正した。^{[28] [33]}

合理的選択の公理の中で最も重要なのは、無関係な選択肢の独立性（IIA）であり、これは、 AとBの間で決定を下すときに、3番目の選択肢Cについての意見が決定に影響を与えるべきではないというものである。^[34]

• 無関係な選択肢の独立性(IIA) — 候補者Aと候補者Bの間の社会的選好は、 AとBの間の個人的な選好にのみ依存するべきである。
  • 言い換えれば、有権者が かどうかについての選好を変えたとしても、社会的選好はからに変化すべきではない。^[28]${\displaystyle A\succ B}$${\displaystyle B\succ A}$${\displaystyle A\succ C}$
  • これは、配置関数の標準的な構成を使用する場合のスポイラー候補の独立性に関する主張と同等である。^[35]

IIAは哲学者シドニー・モーゲンベッサーによる短いジョークで説明されることがある: ^[36]

デザートを注文したモーゲンベッサーさんは、ウェイトレスにブルーベリーパイかアップルパイを選べると言われました。彼はアップルパイを注文しました。すぐにウェイトレスが戻ってきて、チェリーパイも選べると説明しました。モーゲンベッサーさんは「それならブルーベリーにしましょう」と答えました。

アローの定理は、社会がそのような自己矛盾を避けながら意思決定をしたい場合、基数情報を破棄する方法は使用できないことを示しています。^[36]

コンドルセの例は、アローの定理が想定するよりも厳しい公平性の条件を考えると、公平な順位付け投票システムが不可能であることを示すのに十分である。 ^[37] 3人の候補者（ 、、）と、次のような好みを持つ3人の有権者 がいると仮定する。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

が勝者として選ばれた場合、 2 人の投票者 (1 と 2)が を好み、1 人の投票者 (3) だけがを好みますので、公正な投票システムであれば が代わりに勝つと主張することができます。しかし、同じ議論により、は よりも好まれ、 はよりも、それぞれ 2 対 1 の差で好まれます。したがって、各投票者の好みは一貫していますが、社会の好みは矛盾しています。 はよりも好まれ、は よりも好まれ、 は よりも好まれます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$

この例から、コンドルセがアローの定理の核心を示す直感的な議論を行ったと考える著者もいる。^[37]しかし、アローの定理はより一般的なものであり、一人一票の選挙以外の意思決定方法、例えば市場や重み付け投票、順位付け投票などにも適用される。

を選択肢の集合とします。上の選好は、 上の完全かつ推移的な二項関係（全順序と呼ばれることもあります）です。つまり、次を満たすのサブセットです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A\times A}$

1. (推移性)が にありがにある場合、 はにあります。${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$${\displaystyle R}$
2. (完全性)またはの少なくとも 1 つがに含まれている必要があります。${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}$${\displaystyle R}$

要素が にあるということは、代替案が代替案 よりも好まれることを意味すると解釈されます。この状況は、しばしばまたは と表記されます。上のすべての選好の集合を で表します。を正の整数とします。順序（順位付け）社会福祉関数は関数です^[38]${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} \succ \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} R\mathbf {b} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Pi (A)}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \mathrm {F} :\Pi (A)^{N}\to \Pi (A)}$

これは、投票者の選好を 1 つの選好に集約します。投票者の選好の組は選好プロファイルと呼ばれます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (R_{1},\ldots ,R_{N})\in \Pi (A)^{N}}$

アローの不可能性定理：選択肢が少なくとも3つある場合、以下の3つの条件をすべて満たす社会福祉関数は存在しない：^[39]

パレート効率

代替案がすべての順序付けに対してよりも優先される場合、 はよりも優先されます。^[38]${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{N}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle F(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{N})}$

非独裁

好みが常に優先される個体は存在しない。つまり、すべての人およびすべての人に対して、がよりも好まれるとき、がよりも好まれるような個体は存在しない。^[38]${\displaystyle i}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,N\}}$${\displaystyle (R_{1},\ldots ,R_{N})\in \Pi (A)^{N}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle F(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{N})}$

無関係な選択肢の独立性

2つの選好プロファイルとがあり、すべての個人に対して、選択肢および は におけると同じ順序を持ち、選択肢およびは におけると同じ順序を持ちます。^[38]${\displaystyle (R_{1},\ldots ,R_{N})}$${\displaystyle (S_{1},\ldots ,S_{N})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle F(R_{1},\ldots ,R_{N})}$${\displaystyle F(S_{1},\ldots ,S_{N})}$

アローの不可能性定理は、パレート効率が以下の条件に弱められた場合でも成立する：^[45]

非課税

_任意の2つの選択肢aとbに対して、F(R1、 R2 、 … 、RN _{)によって}aが_bよりも好まれるような選好プロファイルR1、…、RN_が存在します。

アローの定理は、無関係な選択肢の独立性を常に満たすような順位付け投票ルールは存在しないことを示しているが、スポイラーの頻度については何も言及していない。これを受けてアローは「ほとんどのシステムは常にうまく機能しないわけではない。私が証明したのは、すべてのシステムが時々うまく機能しない可能性があるということだけだ」と述べた。^{[46] [47]}

アローの定理の影響に対処する試みは、2つのアプローチのいずれかを取る。彼のルールを受け入れ、最もスポイラーが発生しにくい方法を探すか、彼の順位付け投票の仮定を放棄して、評価投票ルールの研究に焦点を当てるかのいずれかである。^[48]

経済学者が研究した最初の一連の方法は、多数決法、またはコンドルセ法である。これらの規則は、多数決が自己矛盾する状況（コンドルセサイクルと呼ばれる）にスポイラーを制限し、その結果、ランク付けされた規則の間でスポイラー効果が発生する可能性を一意に最小限に抑える。^[49]コンドルセは、投票規則は無関係な選択肢の独立性と多数決原理の両方を満たす必要があると信じていた。つまり、ほとんどの投票者がアリスをボブより上位にランク付けした場合、アリスは選挙でボブに勝つはずである。 ^[50]

残念ながら、コンドルセが証明したように、この規則は自己矛盾（自動詞）になる可能性がある。なぜなら、3人以上の候補者が円を描いて互いに負けるじゃんけんサイクルが存在する可能性があるからだ。^[51]そのため、コンドルセは、2人の候補者がいる場合の投票システムは単純多数決で一致するというより強い仮定の下で、アローの不可能定理の弱い形をアローよりずっと前に証明した。^[50]

順位付け決選投票（RCV）や第一希望多数決などの多数決ルールとは異なり、^[52] コンドルセ方式は、候補者が多数決で選ばれる非周期的選挙におけるスポイラー効果を回避します。政治学者は、このような周期はかなりまれであり、おそらく数パーセントの範囲であることを発見しており、実用的な懸念は限られていることを示唆しています。^[53] 空間投票モデルはまた、このようなパラドックスはまれである可能性が高いことを示唆しています^{[54] [55]}または存在しないことさえあります。^[18]

アローが定理を発表して間もなく、ダンカン・ブラックは中位有権者定理という注目すべき結果を示した。この定理は、有権者と候補者が左派と右派のスペクトル上に配置されている場合、アローの条件はすべて完全に両立し、コンドルセの多数決原理を満たすあらゆる規則によってすべてが満たされることを証明している。^{[18] [56]}

より正式には、ブラックの定理は、選好が単峰性であると仮定している。つまり、候補者に対する投票者の満足度は、候補者が何らかのスペクトルに沿って移動するにつれて上昇し、その後下降する。たとえば、友人グループが音楽の音量設定を選択する場合、各友人はそれぞれに理想的な音量を持っている可能性が高い。音量が次第に大きくなりすぎたり小さくなりすぎたりすると、彼らはますます不満を抱くだろう。ドメインが、すべての個人が線形順序に関して単峰性の選好を持つプロファイルに限定されている場合、社会的選好は非循環的である。この状況では、コンドルセ法は、完全にスポイラープルーフであることなど、非常に望ましいさまざまな特性を満たしている。^{[18] [56] [57]}

この規則は政治的スペクトルから政治的コンパスまで完全に一般化されるわけではなく、これはマッケルヴィー・スコフィールドのカオス定理に関連する結果である。^{[18] [58]}しかし、投票者の分布が回転対称であるか、そうでなければ一意に定義された中央値を持つ場合は、明確に定義されたコンドルセの勝者が存在する。^{[59] [60]投票者の意見がほぼ}正規分布に従うか、1つまたは2つの次元で正確に要約できるほとんどの現実的な状況では、コンドルセサイクルはまれである（ただし、まったくないわけではない）。^{[54] [61]}

キャンベル・ケリー定理は、コンドルセ法が順位付け投票システムの中で最もスポイラー耐性のあるクラスであることを示しています。順位付け投票システムがスポイラー効果を回避できる場合はいつでも、コンドルセ法はそれを実行します。^[49]言い換えると、順位付け方法をコンドルセ変種に置き換えると（つまり、コンドルセ勝者が存在する場合はそれを選出し、そうでない場合は方法を実行する）、スポイラー効果を防ぐことはできますが、新しい効果を生み出すことはできません。^[49]

1977年、エフード・カライとエイタン・ミュラーは、独裁的でなく戦略不可能な社会福祉関数を認めるドメイン制約の完全な特徴付けを行った。これらはコンドルセ勝者が存在する選好に対応する。^[62]

ホリデイとパキットは、選挙を台無しにする可能性のある候補者の数を最小限に抑えることが証明された投票システムを考案したが、その代償として、時折投票率が低下する可能性があった（ただし、即時決選投票で見られる割合よりもはるかに低い）。^[61]

上で示したように、アローの定理の証明は順位投票の仮定に大きく依存しており、順位投票システムには適用できない。その結果、スコア投票や段階的多数決のようなシステムは、無関係な選択肢からの独立性を通過する。^{[47]これらのシステムでは、有権者に数値スケール（例：0～10）で候補者を評価するよう求め、平均（スコア投票の場合）または中央値（}段階的多数決）が最も高い候補者を選出する。^[63]

アローの定理は段階的システムには適用されないが、ギバードの定理は依然として適用され、投票ゲームは単純なもの（つまり、単一の明確な常に最善の戦略を持つもの）にはならない^[64]ため、「完璧な投票システムは存在しない」という非公式の格言には依然として数学的な根拠がある^{[65] 。}

アローの枠組みでは、個人および社会の選好は順序付けやランキング、つまりどの結果が他よりも良いか悪いかについての記述であると想定されていた。^{[66]心理学で人気のある}厳格な行動主義に触発されて、一部の哲学者や経済学者は、人間の内的幸福体験を比較するという考えを否定した。^{[67] [48]}そのような哲学者は、意見の異なる人々の間で選好の強さを比較することは不可能であると主張した。センは、ローマ大火が良かったのか悪かったのかを知ることは不可能であると例に挙げている。なぜなら、何千人ものローマ人が亡くなったにもかかわらず、ネロが宮殿を拡張できるという良い効果があったからだ。 ^[68]

アローは当初これらの立場に同意し、基数効用を否定し、定理を選好ランキングに集中させた。^{[67] [69]}独立公理を追加した目的は、社会的選択関数がランキングから基数情報を推論しようとして「こっそり」と基数情報を「持ち込む」のを防ぐことにあった。^{[36]その結果、アローは当初定理を}ニヒリズムや利己主義の一種の数学的証明として解釈した。^{[48] [66] [70]}しかし、後にこの意見を覆し、基数法が定理を回避するのに役立つ情報を提供できることを認めた。^{[71] [72]}同様に、アマルティア・センは当初対人比較可能性がIIAに必要であると主張したが、後に社会的選択を評価するための基数法を支持するようになり、実際には「かなり限られたレベルの部分的比較可能性」しか必要としないと主張した。^[68]

バリンスキーとララキは、評価投票ルールがIIAに合格するためには、いかなる個人間の比較も必要ではないと論じた。彼らは、口頭評価による共通言語が利用可能であれば、有権者が候補者の質に関する質問に一貫した回答をすることができるため、IIAには十分であると主張している。言い換えれば、彼らは、他の候補者が選挙に参加したり、選挙から撤退したりしたからといって、ほとんどの有権者が候補者が「良い」、「悪い」、「中立」であるかどうかについての信念を変えることはないと主張している。^[63]

ジョン・ハーサニは、アローの定理は彼自身の定理^[73]や、一般的に合理的な行動には一貫した基数効用が必要であることを示しているVNM定理のような他の効用表現定理の弱いバージョンと見なすことができると指摘した。^[74]ハーサニ^[73]とヴィックレイ^{[75]はそれぞれ独立して、効用のこのような個人間の比較は、}出生のくじ引きに対する個人の選好として厳密に定義できることを示す結果を導き出した。^{[76] [77]}

他の学者は、効用の個人間比較は基数投票に特有のものではなく、独裁的でない（または利己的でない）選択手順の必須事項であり、基数投票のルールは単にこれらの比較を明示的にするだけだと指摘している。デイビッド・ピアースは、アローの定理の元々の解釈を、一種の循環論法によるニヒリズムまたは利己主義の数学的証明であると特定し、^[48]ヒルドレスは「[パレート効率性]の部分的順序付けを拡張する手順はどれも効用の個人間比較を含まなければならない」と指摘した。 ^{[78]これらの観察から、}暗黙の功利主義投票が台頭し、これはランク付けされた手順を功利主義ルールの近似値（つまりスコア投票）と同一視し、それらをより明示的にするのに役立った。^[79]

心理測定学では、自己申告による評価の有用性と意義についてほぼ普遍的な科学的コンセンサスがあり、人間の意見を測る上で、自己申告による評価はランキングよりも経験的に高い妥当性と信頼性を示している。 ^{[80] [81]}研究では一貫して、基数評価尺度（例：リッカート尺度）の方がランキングのみよりも多くの情報を提供することがわかっている。^{[81] [82]}カイザーとオズワルドは、人々が「自分の内なる感情に対する実際の根底にある尺度の感覚を持っている」かどうかを特定することを目的として、自己申告による効用評価を行った70万人以上の参加者を含む40年間の研究の実証的レビューを行った。 ^[83]彼らは、これらの質問に対する回答が、適切に指定された定量的尺度に対するすべての期待と一致していることを発見した。さらに、そのような評価は重要な決定（国際移住や離婚など）を高度に予測し、収入や人口動態などの標準的な社会経済的予測因子よりも大きな効果サイズを持っていた。^[83]最終的に、著者らは「この感情と行動の関係は一般的な形をとり、一貫して再現可能であり、構造がかなり線形に近い。したがって、人間は感情の整数スケールをうまく操作化できると思われる」と結論付けた。^[83]

行動経済学者は、個人の非合理性がIIAの違反（例えばデコイ効果）を伴うことを示し、 ^[84]投票方法自体がIIAの失敗をもたらさなくても、人間の行動がIIAの失敗を引き起こす可能性があることを示唆している。^[85]しかし、過去の研究では、そのような影響は一般的にかなり小さいことがわかっており、^[86]そのような心理的妨害者は選挙制度に関係なく出現する可能性がある。バリンスキーとララキは、心理測定学から派生した、これらの心理的影響を最小限に抑える投票用紙設計の手法について論じている。例えば、各候補者に口頭で評価（例えば「悪い」、「中立」、「良い」、「素晴らしい」）するよう有権者に依頼したり、有権者に投票用紙を個々の候補者の判断として参照するように指示を出したりすることなどである。^{[63]同様の手法は、}コンティンジェント・バリュエーションの文脈でよく議論されている。^[72]

上記の実際的な解決策に加えて、Arrow の IIA 要件を満たすことができる珍しい (実際的ではない) 状況が存在します。

超多数決ルールは、決定性が乏しい（つまり、結果が返されないことが多い）という代償を払って、アローの定理を回避することができる。この場合、3つの結果を順序付けるには過半数、4つの結果を順序付けるには過半数を必要とする閾値は、投票パラドックスを生じない。^[87]${\displaystyle 2/3}$${\displaystyle 3/4}$

空間的（n次元イデオロギー）投票モデルでは、投票者の分布が適切に行われている（準凹面）限り、循環を防ぐために投票の（およそ64%の）票のみを要求するように緩和することができます。^[88]これらの結果は、憲法改正に3分の2の多数決という一般的な要件をある程度正当化しており、ほとんどの状況で循環的な選好を防ぐのに十分です。^[88]${\displaystyle 1-e^{-1}}$

フィッシュバーンは、選択公理が与えられた場合、アローの条件はすべて、可算無限の有権者の集合に対して満たされることを示している。^{[89]しかし、キルマンとゾンダーマンは、これには社会の}ほぼすべての構成員の選挙権を剥奪する必要があることを示し（有権者は測度0の集合を形成する）、そのような社会を「目に見えない独裁国家」と呼んだ。^[90]

アローの定理は戦略的投票とは関係がなく、彼の枠組みには登場しないが^{[40] [91] 、定理は戦略的投票に重要な意味を持つ（}ギバードの定理^[92]を証明するための補題として使用されている）。アローの社会福祉の枠組みでは、すべての投票者の選好が既知であり、唯一の問題はそれらを集約することであると想定している。^[91]

非倒錯性（アローは正の関連と呼ぶ）はアローの定理の条件ではない。^[2]この誤解はアロー自身のミスによって引き起こされた。アローは定理の最初の記述にこの公理を含めたものの、それを使用しなかった。^[70]この仮定を放棄すると、彼の他の条件を満たす社会福祉関数を構築することができなくなる。^[2]

よくある誤解とは反対に、アローの定理は投票システム全体ではなく、限られた種類の順位選択投票システムを扱っています。 ^{[91] [93]}

• メイの定理
• ギバード・サタースウェイトの定理
• ギバードの定理
• ホルムストロームの定理
• 市場の失敗
• コンドルセのパラドックス
• 選挙制度の比較