非推移性

数学において、非推移性（非推移性とも呼ばれる）は、推移関係ではない二項関係の特性です。つまり、推移条件が成立しない 3 つの値、、が見つかります。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

反推移性は、任意の 3 つの値に対して推移条件が決して成立しない関係を記述する、 より強力なプロパティです。

注意すべきは、著者の中には、非他動詞を反他動性を指すために使用している人もいるということだ。 [ ^{1] [2]}

ある関係が推移的であるとは、ある A をある B に、またその B をある C に関連付ける場合、その関係は必ずその A をその C にも関連付けるということです。関係が非推移的であるとは、その関係が推移的でない場合です。関係に という名前が付けられているとすると、次の場合に非推移的です。 ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle \lnot \left(\forall a,b,c:aRb\land bRc\implies aRc\right).}$$

この文は、 $${\displaystyle \exists a,b,c:aRb\land bRc\land \lnot (aRc).}$$

たとえば、不等式 は推移的です。これは、を に置き換え、、 、 を選択することにより証明できます。 および となり、は真ではありません。 ${\displaystyle \neq}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \neq}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle b=2}$${\displaystyle c=1}$${\displaystyle 1\neq 2}$${\displaystyle 2\neq 1}$${\displaystyle 1\neq 1}$

関係が非推移的であるためには、推移性条件が、、および のいずれかで真でなければならなくなることに注意してください。それでも、他の場合には成立します。たとえば、、、およびのときに成立し、は真です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle b=2}$${\displaystyle c=3}$${\displaystyle 1\neq 2}$${\displaystyle 2\neq 3}$${\displaystyle 1\neq 3}$

より複雑な非推移性の例として、aがbの倍数またはbの約数である場合に限りa R bとなるような整数の関係R を考えてみましょう。この関係は、たとえば 2 R 6 (2 は 6 の約数) や 6 R 3 (6 は 3 の倍数) であるため非推移的ですが、2 は 3 の倍数でも約数でもありません。これは、関係が非推移的であることを意味するものではありません(以下を参照)。たとえば、 2 R 6、 6 R 12、 2 R 12 も同様です。

生物学における例は食物連鎖です。オオカミはシカを食べ、シカは草を食べますが、オオカミは草を食べません。^[3]したがって、この意味では、生命体間の餌関係は自動詞です。

関係の反推移性とは、推移条件がどの 3 つの値に対しても成立しないことを意味します。

上記の例では、feed on関係は推移的ではありませんが、それでもある程度の推移性が含まれています。たとえば、人間はウサギを食べ、ウサギはニンジンを食べ、人間もニンジンを食べます。

関係が非推移的であるのは、これがまったく発生しない場合です。正式な定義は次のとおりです。 $${\displaystyle \forall a,b,c:aRb\land bRc\implies \lnot (aRc).}$$

たとえば、a + bが奇数の場合に限りa R bとなるような整数の関係R は推移的です。a R bかつb R cの場合、aとc が両方とも奇数でb が偶数であるか、またはその逆です。どちらの場合も、a + c は偶数です。

反推移関係の 2 番目の例は、ノックアウト トーナメントでの敗北関係です。プレーヤー A がプレーヤー B に勝ち、プレーヤー B がプレーヤー C に勝った場合、A は C と対戦したことがないため、A は C に勝っていません。

転置により、次の各式はRの反推移性と同等になります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall a,b,c:aRb\land aRc\implies \lnot (bRc)\\[3pt]&\forall a,b,c:aRc\land bRc\implies \lnot (aRb)\end{aligned}}}$$

• 反推移関係は常に非反射的です。
• 4 つ以上の要素の集合上の反推移関係が連結されることはありません。3 要素の集合では、図示されたサイクルは両方の特性を持ちます。
• 非反射的かつ左（または右）一意の関係は常に反推移的である。^[4]前者の例としては、母関係が挙げられる。AがBの母であり、BがCの母である場合、AはCの母になることはできない。
• 関係Rが反推移的である場合、 Rの各サブセットも反推移的です。

非推移性という用語は、関係がオプションのペア間の相対的な好みを説明し、いくつかのオプションを比較検討すると好みの「ループ」が生成されるシナリオについて説明するときによく使用されます。

• AはBよりも好ましい
• BはCよりも好ましい
• CはAよりも好ましい

じゃんけん、自動詞のサイコロ、ペニーのゲームなどがその例です。競争する種の実際の戦闘関係^[5]、個々の動物の戦略^[6]、バトルボット番組の遠隔操作車両の戦い（「ロボットダーウィニズム」）^[7]も循環的になり得ます。

どのオプションもそれ自体より好まれない、つまり関係が非反射的であると仮定すると、ループを伴う選好関係は推移的ではありません。推移的である場合、ループ内の各オプションは、それ自体を含む各オプションより好まれます。これは、A、B、および C 間のループの例で説明できます。関係が推移的であると仮定します。この場合、A は B より好まれ、B は C より好まれるため、A も C より好まれます。しかし、C は A より好まれるため、A も A より好まれます。

したがって、このような選好ループ（またはサイクル）は非推移性として知られています。

サイクルは、二項関係が推移的でなくなるために必要でも十分でもないことに注意してください。たとえば、同値関係はサイクルを持ちますが、推移的です。ここで、「敵である」という関係を考えてみましょう。この関係は対称的で、どの国にとっても、その国の敵の敵は、それ自体がその国の敵ではないという条件を満たしていると仮定します。これは、サイクルを持たない反推移関係の例です。特に、反推移的であるため、関係は推移的ではありません。

じゃんけんのゲームがその一例です。じゃんけんの関係は「負け」であり、このゲームの標準ルールでは、石ははさみに勝ち、はさみは紙に勝ち、紙は石に勝ちます。さらに、はさみは石に勝たず、紙ははさみに勝たず、石は紙に勝たないことも事実です。最後に、選択肢がそれ自体に負けることもないことも事実です。この情報は、次の表に表すことができます。

関係の最初の引数は行で、2 番目の引数は列です。1 は関係が成立することを示し、0 は成立しないことを示します。ここで、次のステートメントは、セット {じゃんけん} から (置換して) 抽出された要素 x と y の任意のペアに対して真であることに注意してください。x が y に勝ち、y が z に勝つ場合、x は z に勝ちません。したがって、関係は逆推移的です。

したがって、二項関係が反推移的であるためには、循環は必要でも十分でもありません。

• 非推移性は、多数決のもとで、ゲーム理論の確率的結果において、また、複数の候補者を順位付けして重みを比較すると選好のループが生じるコンドルセ投票法において発生する可能性がある（投票パラドックスを参照）。
• 推移的なサイコロは、 「サイコロX はサイコロYよりも半分以上の確率で高い数字を出す」という関係が推移的である必要はないことを示しています。
• 心理学では、人の価値観（または好み、嗜好）の体系において非推移性がしばしば発生し、解決不可能な対立につながる可能性があります。
• 同様に、経済学では、消費者の嗜好に非推移性が生じることがあります。これは、完全な経済的合理性に従わない消費者行動につながる可能性があります。経済学者や哲学者は、推移性の違反が必ず「非合理的な行動」につながるのかどうか疑問視してきました (Anand (1993) を参照)。

コンドルセ投票は、多数の有権者が参加すると、有権者の総合的な評価基準が均衡するため、「非推移的ループ」を排除する傾向があると示唆されている。たとえば、有権者は、社会意識の順や財政的に最も保守的な順など、いくつかの異なる測定単位で候補者を好む可能性がある。

このような場合、非推移性は、候補者を評価する際の人数とその測定単位の重みに関するより広範な方程式に還元されます。

のような：

• 30%が社会意識と財政保守主義の60/40の重み付けを支持
• 50%が社会意識と財政保守主義の50/50の重み付けを支持
• 20%は社会意識と財政保守主義の比率を40/60にすることを支持している

各有権者が測定単位を同じように評価するとは限りませんが、傾向は単一のベクトルとなり、候補者の基準の好ましいバランスとして コンセンサスが合意します。

• Anand, P (1993)。リスク下における合理的選択の基礎。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。。
• Bar-Hillel, M., & Margalit, A. (1988). 非自動選択の循環はどれほど悪質か? 理論と決定、24(2)、119-145。
• Klimenko, Alexander Y. (2014). 「技術開発における複雑性と非推移性」(PDF) .システム科学とシステム工学ジャーナル. 23 (2): 128–152. doi :10.1007/s11518-014-5245-x. S2CID  59390606.
• Klimenko, Alexander (2015). 「理論と現実世界における非推移性」.エントロピー. 17 (12): 4364–4412. arXiv : 1507.03169 . Bibcode :2015Entrp..17.4364K. doi : 10.3390/e17064364 .