一様境界表現

数学において、ヒルベルト空間上の局所コンパクト群の一様有界表現は、 強作用素位相に対して連続であり、 が有限であるような有界可逆作用素 への準同型である。1947 年、セーケファルヴィ＝ナジ・ベーラは、整数または実数の任意の一様有界表現はユニタリ化可能、すなわち可逆作用素によってユニタリ表現と共役であることを確立した。整数の場合、これは可逆作用素がユニタリ作用素に類似するための基準を与える。すなわち、すべての正および負のべき乗の作用素ノルムは一様有界でなければならない。一様有界表現のユニタリ化可能性に関する結果は、基本的にセーケファルヴィの証明方法に従って、1950 年にディクスミア、デイ、中村＝武田によってすべての局所コンパクト従属群に拡張された。この結果は、SL(2, R )や2つの生成元上の自由群などの非従属群では成り立たないことが知られています。Dixmier (1950)は、局所コンパクト群が従属的であるためには、すべての一様有界表現がユニタリ化可能である必要があると推測しました。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle \sup _{g\in G}\|T_{g}\|_{B(H)}}$

Gを局所コンパクト従属群とし、T _gをGのヒルベルト空間上の可逆作用素の群 GL ( H )への準同型写像とする。

• Hの任意のxに対して、 G上のベクトル値gx は連続である。
• 演算子T _gの演算子ノルムは一様に制限されます。

すると、 H上に正の可逆演算子S が存在し、Gの任意のgに対してS T _g S ⁻¹がユニタリになります。

結果として、T が、そのすべての正および負のべきが演算子ノルムで一様に制限された可逆演算子である場合、T は正の可逆演算子によってユニタリに共役になります。

仮定により連続関数

${\displaystyle \displaystyle {f_{x,y}(g)=(T_{g}^{-1}x,T_{g}^{-1}y),}}$

は、 G上の一様有界連続関数の可分単位 C* 部分代数Aを生成する。構成により、代数は左平行移動に対して不変である。従順性により、 A上に不変状態 φ が存在する。従って、

${\displaystyle \displaystyle {(x,y)_{0}=\varphi (f_{x,y})}}$

はH上の新たな内積であり、

${\displaystyle \displaystyle {M^{-1}\|x\|\leq \|x\|_{0}\leq M\|x\|}}$

どこ

${\displaystyle \displaystyle {M=\sup _{g}\|T_{g}\|<\infty .}}$

したがって、正の可逆演算子Pが存在し、

${\displaystyle \displaystyle {(x,y)_{0}=(Px,y).}}$

建設によって

${\displaystyle \displaystyle {(T_{g}x,T_{g}y)_{0}=(x,y)_{0}.}}$

SをPの唯一の正の平方根とします。すると

${\displaystyle \displaystyle {(ST_{g}x,ST_{g}y)=(PT_{g}x,T_{g}y)=(Px,y)=(Sx,Sy).}}$

S ^{−1 を}xとyに適用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \displaystyle {(ST_{g}S^{-1}x,ST_{g}S^{-1}y)=(x,y).}}$

オペレーターは

${\displaystyle \displaystyle {U_{g}=ST_{g}S^{-1}}}$

逆行列が成り立つ場合、それらはユニタリ行列であることがわかります。

SL(2,R)の既約ユニタリ表現の相補級数はBargmann (1947)によって導入された。これらの表現は円上または実数直線上の関数で実現できる。ケーリー変換は2つの実現間のユニタリ同値性を提供する。^[1]

実際、0 < σ < 1/2およびf、gの円上の連続関数は次のように定義されます。

${\displaystyle \displaystyle {(f,g)_{\sigma }={1 \over 4\pi ^{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(s){\overline {g(t)}}k_{\sigma }(s-t)\,ds\,dt,}}$

どこ

${\displaystyle \displaystyle {k_{\sigma }(s)=(1-\cos s)^{\sigma -1/2}.}}$

関数kσは積分可能なので、_この積分は収束する。実際、

${\displaystyle \displaystyle {(f,g)_{\sigma }\leq \|f\|\cdot \|g\|,}}$

ここでノルムは通常の L ²ノルムです。

機能

${\displaystyle \displaystyle {f_{m}(t)=e^{imt}}}$

直交する

${\displaystyle \displaystyle {(f_{m},f_{m})_{\sigma }=\prod _{i=1}^{|m|}{i-1/2-\sigma \over i-1/2+\sigma }={\Gamma (1/2+\sigma )\Gamma (|m|+1/2-\sigma ) \over \Gamma (1/2-\sigma )\Gamma (m+1/2+\sigma )}.}}$

これらの量は正なので、( f , g ) _{σ は}内積を定義します。ヒルベルト空間完備化はH _σで表されます。

R上のコンパクト台の連続関数F、Gに対して、定義する。

${\displaystyle \displaystyle {(F,G)_{\sigma }^{\prime }=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }F(x){\overline {G(y)}}|x-y|^{2\sigma -1}\,dx\,dy.}}$

分布として考えると、| x | ^{2σ – 1}のフーリエ変換は、ある正の定数 C _σに対してC _σ | t | ^−2σとなるため、上記の式は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle \displaystyle {(F,G)_{\sigma }^{\prime }=C_{\sigma }\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {F}}(t){\overline {{\widehat {G}}(t)}}|t|^{-2\sigma }\,dt.}}$

したがって、それは内積です。H ' _{σ が}そのヒルベルト空間完備化を表すものとします。

ケイリー変換により演算子U が生成されます。

${\displaystyle \displaystyle {Uf(x)=2^{\sigma /2-3/4}\pi ^{-1}|x+i|^{1-2\sigma }f\left({x-i \over x+i}\right).}}$

U はH _σからH ' _σへの等長写像に拡張される。その随伴写像は次のように与えられる。

${\displaystyle \displaystyle {U^{*}F(e^{it})=2^{3/4-\sigma /2}\pi |1-e^{it}|^{1-2\sigma }F\left({1+e^{it} \over 1-e^{it}}\right).}}$

ケーリー変換は、S ¹上のSU(1,1)のメビウス変換とR上のSL(2, R )のメビウス変換の作用を交換する。

演算子Uは_、Hσ上のSU(1,1)とH'σ_上のSL(2, R )の対応する作用を絡み合わせます。

SU(1,1)の gに対して、

${\displaystyle \displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},}}$

と

${\displaystyle \displaystyle {|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1,}}$

そしてf連続、セット

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{\sigma }(g^{-1})f(z)=|{\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}|^{1-2\sigma }f\left({\alpha z+\beta \over {\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}}\right).}}$

SL(2, R ) のg'が次のように与えられる場合

${\displaystyle \displaystyle {g^{\prime }={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}}$

ad – bc = 1の場合、

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{\sigma }^{\prime }((g^{\prime })^{-1})F(x)=|cx+d|^{1-2\sigma }F\left({ax+b \over cx+d}\right).}}$

g 'がケーリー変換下の gに対応する場合、

${\displaystyle \displaystyle {U\pi _{\sigma }(g)U^{*}=\pi _{\sigma }^{\prime }(g^{\prime }).}}$

極分解により、SL(2,R) = KAK （ K = SO(2)、A は正対角行列の部分群）であることが示されます。KはSU(1,1) の対角行列に対応します。明らかにK はH _σにユニタリに作用し、A はH ' _σにユニタリに作用するため、両方の表現はユニタリです。リー代数の基底ベクトルf _mへの作用は既約であるため、表現は既約です。この既約ユニタリ表現の族は、補級数と呼ばれます。

Ehrenpreis & Mautner (1955) は、この表現族の解析的接続を次のように構築した。^[2] s = σ + iτ、g が SU(1,1) に含まれ、f がH _σに含まれる場合、次のように定義する 。

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{s}(g^{-1})f(z)=|{\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}|^{1-2s}f\left({\alpha z+\beta \over {\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}}\right).}}$

同様に、 g ' がSL(2, R )に存在し、F がH ' _σに 存在する場合、定義する。

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{s}^{\prime }((g^{\prime })^{-1})F(x)=|cx+d|^{1-2s}F\left({ax+b \over cx+d}\right).}}$

前述のように、ユニタリU はこれら 2 つの作用を絡み合わせます。KはH ' _σ上の一様有界表現によってH _σとAにユニタリに作用します。この基底上の複素化リー代数の標準基底の作用は次のように計算できます。^[3]

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{s}(L_{0})f_{m}=mf_{m},\,\,\pi _{s}(L_{-1})f_{m}=-(m+1/2+s)f_{m+1},\,\,\pi _{s}(L_{1})f_{m}=-(m-1/2-s)f_{m-1}.}}$

もし表現が τ ≠ 0 に対してユニタリ化可能であれば、H _σ上の相似演算子T はKと可換になるはずである。なぜならK は元の内積を保存するからである。したがって、ベクトルTf _{m は}新しい内積に対して依然として直交しており、演算子

${\displaystyle \displaystyle {L_{i}^{\prime }=TL_{i}T^{-1}}}$

同じ関係を満たす

${\displaystyle \displaystyle {f_{m}^{\prime }=Tf_{m}=\lambda _{m}f_{m}.}}$

この場合

${\displaystyle \displaystyle {[L_{m}^{\prime },L_{n}^{\prime }]=(m-n)L_{m+n}^{\prime },\,\,(L_{i}^{\prime })^{*}=L_{-i}^{\prime }.}}$

τ≠0の場合、そのような表現は無限小では存在できないことを検証するのは基本的なことである。^[4]

実際、v ₀ = f ' ₀とし、

${\displaystyle \displaystyle {v_{1}=L_{-1}^{\prime }v_{0}.}}$

それから

${\displaystyle \displaystyle {L_{1}^{\prime }v_{1}=cv_{0}}}$

ある定数cに対して。一方、

${\displaystyle \displaystyle {\|v_{1}\|^{2}=(L_{-1}^{\prime }v_{0},v_{1})=(v_{0},L_{1}^{\prime }v_{1})={\overline {c}}\|v_{0}\|^{2}.}}$

したがってcは実数かつ正でなければならない。上の式は、

${\displaystyle \displaystyle {c={1 \over 4}-s^{2}={1 \over 4}-\sigma ^{2}+\tau ^{2}-2i\sigma \tau ,}}$

したがって、表現π _{s は}、τ = 0 の場合にのみユニタリ化可能です。

群G = SL(2, R ) には、有限共体積の閉じた部分群として離散群 Γ = SL(2, Z ) が含まれる。この部分群は、有限双曲面積の基本領域を持つ上半平面に作用するからである。^[5]群 SL(2, Z ) には、2つの生成元上の自由群F ₂に同型な指数 12 の部分群が含まれる。 ^[6]したがって、G には有限共体積の部分群 Γ _{1 があり、これは}F ₂に同型である。Lが局所コンパクト群Gの有限共体積の閉じた部分群であり、 π がヒルベルト空間L上のGの非ユニタリ化可能な一様有界表現である場合、 Lへのその制限は一様有界かつ非ユニタリ化可能である。そうでない場合、有界可逆演算子を適用することで、内積をLで不変にすることができ、次に、再定義することで Gで不変にすることができる。

${\displaystyle \displaystyle {(x,y)_{1}=\int _{H\backslash G}(gx,gy)\,dg.}}$

前の証明と同様に、一様有界性は、この内積によって定義されるノルムが元の内積と等しいことを保証します。しかし、元の表現はG上でユニタリ化可能になり、矛盾が生じます。同じ議論は、有限共体積のGの任意の離散部分群に対しても適用できます。特に、ココンパクト部分群である曲面群は、ユニタリ化できない一様有界表現を持ちます。

非ユニタリ化可能な自由群の一様有界表現のより直接的な構成は、Pisier (2001) で概説されています。そのような最初の例は Figà-Talamanca & Picardello (1983) で説明されており、そこでは相補級数の類似物が構成されています。

その後、Szwarc (1988) は、ヒルベルト空間H = ² ( F _{2 ) 上で、|z| < 1 のとき}F ₂の一様有界表現 π _zの正則族の、関連しているがより単純な構成を与えた。これらは、1/√3 < | z | < 1 でzが実数でないとき、ユニタリ化不可能である。L ( g ) は、与えられた生成子集合a、bに対するF ₂上の簡約語長を表すものとする。Tは、基底元上で定義される有界演算子と する。${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \displaystyle {Te_{1}=0,\,\,Te_{g}=e_{g^{\prime }},}}$

ここで、g 'はgの表現の最後の文字を省略語として消去することによって得られる。F _2をそのケイリーグラフ（根付き木）の頂点と同一視すると、 ^[7]これは頂点から原点または根に最も近い次の頂点へ進むことに対応する。|z| < 1の場合

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{z}(g)=(I-zT)^{-1}\lambda (g)(I-zT)}}$

は有限台関数上で明確に定義されている。Pytlik & Szwarc (1986)は、それがH上の一様有界表現に拡張され、

${\displaystyle \displaystyle {\|\pi _{z}(g)\|\leq {1+|z| \over 1-|z|}.}}$

実際、演算子 λ( g ) T λ( g ) ⁻¹ – Tが有限階数を持ち、値域V _g 、つまりgと原点を結ぶ頂点の集合上でサポートされる関数の有限次元空間を持つことは簡単に確認できます。この有限集合上で消える任意の関数では、Tと λ( g ) T λ( g ) ⁻¹は等しく、どちらも不変量V _{g を}残し、その上で互いに縮約および随伴として機能します。したがって、f が有限サポートでノルムが 1 の場合、

${\displaystyle \displaystyle {\|\pi _{z}(g)f\|=\|\lambda (g)f+\sum _{n=0}^{\infty }z^{n+1}T^{n}[T,\lambda (g)]f\|\leq 1+2\sum _{n=0}^{n}|z|^{n+1}={1+|z| \over 1-|z|}.}}$

|z| < 1/√3の場合、これらの表現はすべて通常の表現λに類似しています。一方、1/√3 < |z| <1の場合、演算子

${\displaystyle \displaystyle {D=\pi _{z}(a)+\pi _{z}(a^{-1})+\pi _{z}(b)+\pi _{z}(b^{-1})}}$

満足する

${\displaystyle \displaystyle {Df=(3z+z^{-1})f}}$

ここでHのfは次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {f(1)=1,\,\,f(g)={3 \over 4}(3z)^{-L(g)}\,\,(g\neq 1).}}$

したがって、zが実数でない場合、Dの固有値は実数ではありません。ただし、π _zはユニタリ化できません。そうしないと、D は自己随伴演算子に類似するからです。

ジャック・ディクスミエは1950 年に、従属群がユニタリ化可能性、つまりその一様有界表現がすべてユニタリ化可能であるという性質によって特徴付けられるかどうかを問いました。この問題は今日まで未解決のままです。

基本的な帰納的議論は、ユニタリ化可能な群の部分群はユニタリ化可能であることを示しています。したがって、フォン ノイマン予想が正しいとすれば、ディクスミアの問題に対する肯定的な答えを意味していたでしょう。いずれにせよ、ディクスミア予想の反例は、自由部分群のない非従属群のみであることがわかります。特に、ディクスミア予想は、Tits 代替案によってすべての線型群に対して当てはまります。

エプスタインとモノーによる基準は、自由部分群を持たない非ユニタリ化群も存在することを示しています。^[8]実際、モノーとオザワによって示されているように、バーンサイド群でさえ非ユニタリ化可能です。^[9]

ピシエは、ユニタリ化可能性を因数分解の長さの概念に結び付け、 大きな進歩を遂げました。これにより、彼はディクスミア問題の修正版を解くことができました。

ユニタリ化可能性と従順性の間の潜在的なギャップは、次の未解決問題によってさらに説明できます。これらの問題はすべて、「ユニタリ化可能」を「従順」に置き換えると基本的なものになります。

• 2 つのユニタリ化可能なグループの直積はユニタリ化可能ですか?
• ユニタリ化可能なグループの有向和集合はユニタリ化可能ですか?
• がユニタリ化可能な正規の従属部分群を含む場合、はユニタリ化可能であることが従属的になりますか? ( が従属的であり、 がユニタリ化可能であることは基本です。)${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G/N}$

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