フォン・ノイマン予想

数学において、フォン・ノイマン予想は、群 Gが非従属的 であるためには、 G が2 つの生成元上の自由群である部分群を含む必要があるというものでした。この予想は1980 年に反証されました。

1929年、バナッハ＝タルスキーのパラドックスに関する研究中に、ジョン・フォン・ノイマンは従属群の概念を定義し、従属群には階数2の自由部分群が含まれていないことを示した。逆が成り立つかもしれない、つまり、すべての非従属群には2つの生成元上の自由部分群が含まれているという示唆は、1950年代から1960年代にかけて、さまざまな著者によってなされた。この予想にはフォン・ノイマンの名前が一般的に付けられているが、この予想が初めて文書に登場したのは、 1957年の マロン・マーシュ・デイによるものと思われる。

ティッツ代替定理は、特に線型群のクラス内での予想を確立する基本定理です。

歴史上最初の潜在的な反例はトンプソン群Fである。その従順性は未解決の問題であるが、一般予想は 1980 年にアレクサンダー・オルシャンスキーによって誤りであることが示された。彼は、自身が構築したタルスキモンスター群は階数 2 の自由部分群を持たないことが容易にわかるため、従順ではないことを実証した。2 年後、セルゲイ・アディアンは、特定のバーンサイド群も反例であることを示した。これらの反例はいずれも有限提示​​されておらず、数年間、有限提示群に対して予想が成り立つ可能性があると考えられていた。しかし、2003 年にアレクサンダー・オルシャンスキーとマーク・サピアは、予想を満たさない有限提示群のコレクションを示した。

2013 年、ニコラス・モノーはこの予想に対する簡単な反例を発見した。直線の区分射影同相写像で与えられるこの群は、驚くほど簡単に理解できる。この群は従順ではないが、従順群の多くの既知の性質を単純な方法で共有している。2013 年、ヤシュ・ロダとジャスティン・タッチ・ムーアはモノーの群の有限提示非従順部分群を単離した。これは、最初の捩れのない有限提示反例を提供し、 3 つの生成元と 9 つの関係による提示を許容する。ロダは後に、この群がより強い有限性性質である 性質を満たすことを示した。${\displaystyle F_{\infty}}$

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• デイ、マロン M. (1957)、「順応性半群」、Ill. J. Math.、1 : 509–544、Zbl  0078.29402
• Ol'shanskii, Alexander (1980)、「群上の不変平均の存在の問題について」、Uspekhi Mat. Nauk (ロシア語)、35 (4): 199–200、Zbl  0452.20032
• オルシャンスキー、アレクサンダー。 Sapir、Mark (2003)、「Non-amenable finitely present torsion-by-cyclic groups」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、96 (1): 43–169、arXiv : math/0208237、doi :10.1007/s10240-002 -0006-7、S2CID  122990460、Zbl  1050.20019
• モノ、ニコラス(2013)、「区分射影同相写像群」、米国科学アカデミー紀要、110 (12): 4524–4527、arXiv : 1209.5229、Bibcode :2013PNAS..110.4524M、doi : 10.1073/pnas.1218426110、Zbl  1305.57002
• Lodha, Yash; Moore, Justin Tatch (2016)、「区分射影同相写像の非名詞的有限提示群」、Groups, Geometry, and Dynamics、10 (1): 177–200、arXiv : 1308.4250v3、doi :10.4171/GGD/347、MR  3460335
• Lodha, Yash (2020)、「区分射影同相写像の非名詞型群」、Journal of Topology、13 (4): 1767–1838、doi :10.1112/topo.12172、S2CID  228915338${\displaystyle F_{\infty}}$