タルスキモンスターグループ

群論として知られる現代代数学の分野において、アルフレッド・タルスキにちなんで名付けられたタルスキ・モンスター群は、無限群Gであり、単位部分群以外のGのすべての真部分群Hは、位数が固定された素数pの巡回群である。タルスキ・モンスター群は必然的に単純である。1979年にアレクサンダー・ユウ・オルシャンスキーは、タルスキ群が存在し、p > 10 ⁷⁵のすべての素数に対してタルスキp群が存在することを示した。これらは群論の予想、特にバーンサイドの問題とフォン・ノイマン予想に対する反例の源となっている。

を固定された素数とします。すべての非自明な部分群（つまり、1 と G 自身以外のすべての部分群）に元が ある場合、無限群はのタルスキー モンスター群と呼ばれます。${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

• ${\displaystyle G}$は必然的に有限生成されます。実際、これは 2 つの非可換要素によって生成されます。
• ${\displaystyle G}$は単純です。およびがサブグループと異なる任意のサブグループである場合、 は要素を持ちます。${\displaystyle N\trianglelefteq G}$${\displaystyle U\leq G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle NU}$${\displaystyle p^{2}}$
• Olshanskii の構成は、実際には各素数に対して連続多数の非同型 Tarski Monster 群が存在することを示しています。${\displaystyle p>10^{75}}$
• タルスキーモンスター群は、自由部分群を含まない非従属群の例です。

• A. Yu. Olshanskii、「素数順序の部分群を持つ無限群」、Math. USSR Izv. 16 (1981)、279–289、Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser. Matem. 44 (1980)、309–321 の翻訳。
• A. Yu. Olshanskii、「素数位数の部分群を持つ有界周期群」、Algebra and Logic 21 (1983)、369–418; Algebra i Logika 21 (1982)、553–618 の翻訳。
• Ol'shanskiĭ, A. Yu. (1991)、「群における関係の定義の幾何学」、数学とその応用（ソビエトシリーズ）、第70巻、ドルドレヒト：Kluwer Academic Publishers Group、ISBN 978-0-7923-1394-6