一様7次元多面体

7 次元幾何学では、7 次元多面体は6 次元多面体面によって含まれる多面体です。各5 次元多面体の稜線は、ちょうど 2 つの6 次元多面体面によって共有されます。

一様 7 次元多面体とは、対称群が頂点上で推移的であり、面が一様 6 次元多面体である多面体です。

正7次元多面体

正 7 次元多面体は、各 4 面の周囲にu 個の { p,q,r,s,t,u} の6 次元多面体面を持つSchläfli 記号{ p,q,r ,s,t,u}で表されます。

このような凸正則7次元多面体は正確に3つ存在します。

{3,3,3,3,3,3,3} - 7単体
{4,3,3,3,3,3,3} - 7キューブ
{3,3,3,3,3,4} - 7-オルソプレックス

非凸正7次元多面体は存在しません。

特徴

任意の7次元多面体の位相はベッティ数とねじれ係数によって定義される。^[1]

多面体を特徴付けるために使用されるオイラー特性の値は、その基礎となる位相が何であれ、高次元に有用に一般化されません。高次元の異なる位相を確実に区別するためのオイラー特性のこの不十分さは、より洗練されたベッティ数の発見につながりました。^[1]

同様に、多面体の配向可能性の概念は、トーラス多面体の表面のねじれを特徴付けるには不十分であり、これがねじれ係数の使用につながった。^[1]

基本コクセター群による一様 7 次元多面体

反射対称性を持つ均一な 7 次元多面体は、コクセター-ディンキン図の環の順列で表される次の 4 つのコクセター群によって生成できます。

Aの₇家族

A ₇ファミリーは 40320 次 (8 の階乗) の対称性を持ちます。

1 つ以上の環を持つCoxeter-Dynkin 図のすべての順列に基づく形式は 71 (64+8-1) あります。71 個すべてを以下に列挙します。Norman Johnsonの切断名が示されています。相互参照用に Bowers 名と頭字語も示されています。

これらの多面体の対称コクセター平面グラフについては、 A7 多面体のリストも参照してください。

Bの₇家族

B ₇ファミリーは、645120 次 (7 の階乗x 2 ⁷ ) の対称性を持ちます。

1 つ以上の環を持つ Coxeter-Dynkin 図のすべての順列に基づく 127 の形式があります。Johnson と Bowers の名前。

これらの多面体の対称コクセター平面グラフについては、 B7 多面体のリストも参照してください。

D₇家族

D ₇ファミリーは、322560 次 (7 の階乗x 2 ⁶ ) の対称性を持ちます。

このファミリーには、D ₇ コクセター・ディンキン図の 1 つ以上のノードをマークすることによって生成される 3×32−1=95 個のウィソフ一様多面体があります。これらのうち、63 (2×32−1) は B ₇ファミリーから繰り返され、32 はこのファミリーに固有であり、以下に記載されています。相互参照のために、Bowers 名と頭字語が示されています。

これらの多面体の Coxeter 平面グラフについては、 D7 多面体のリストも参照してください。

E₇家族

E ₇ Coxeter グループの順序は 2,903,040 です。

1 つ以上の環を持つ Coxeter-Dynkin 図のすべての順列に基づく形式は 127 個あります。

これらの多面体の対称コクセター平面グラフについては、 E7 多面体のリストも参照してください。

規則的で均一なハニカム

6 次元空間で規則的かつ均一なタイル分割を生成する 5 つの基本的なアフィンコクセター群と 16 のプリズマティック群があります。

規則的かつ均一なテッセレーションには次のものが含まれます。

${\tilde {A}}_{6}$ ${\tilde {A}}_{6}$ 、17 フォーム
- 均一6単体ハニカム: {3 ^[7] }
- 均一サイクロトランケート6単体ハニカム: t _0,1 {3 ^[7] }
- 均一な全切形6単体ハニカム: t _{0,1,2,3,4,5,6,7} {3 ^[7] }
${\tilde {C}}_{6}$ ${\tilde {C}}_{6}$ , [4,3 ⁴ ,4], 71 フォーム
- 正6立方体ハニカムは、記号{4,3 ⁴ ,4}で表され、
${\tilde {B}}_{6}$ ${\tilde {B}}_{6}$ , [3 ^1,1 ,3 ³ ,4], 95 フォーム、64 共有、32 新規 ${\tilde {C}}_{6}$ ${\tilde {C}}_{6}$
- 均一な6次元半立方体ハニカムは、記号h{4,3 ⁴ ,4} = {3 ^1,1 ,3 ³ ,4}で表される。=
${\チルダ {D}}_{6}$ ${\チルダ {D}}_{6}$ , [3 ^1,1 ,3 ² ,3 ^1,1 ], 41 個の固有の環状順列があり、そのほとんどはおよびと共有され、6 個は新しいものです。Coxeter は最初の順列を4 分の 6 立方ハニカムと呼んでいます。 ${\tilde {B}}_{6}$ ${\tilde {B}}_{6}$ ${\tilde {C}}_{6}$ ${\tilde {C}}_{6}$
- =
- =
- =
- =
- =
- =
${\チルダ {E}}_{6}$ ${\チルダ {E}}_{6}$ : [3 ^2,2,2 ], 39形式
- 均一な2 ₂₂ハニカム：記号{3,3,3 ^2,2 }で表される。
- 均一な t ₄ (2 ₂₂ ) ハニカム: 4r{3,3,3 ^2,2 },
- ユニフォーム 0 ₂₂₂ハニカム: {3 ^2,2,2 },
- 均一 t ₂ (0 ₂₂₂ ) ハニカム: 2r{3 ^2,2,2 },

規則的で均一な双曲面ハニカム

階数 7 のコンパクトな双曲型コクセター群、つまり有限の面と有限の頂点図を持つハニカムを生成できる群は存在しません。ただし、階数 7 の準コンパクトな双曲型コクセター群は 3 つあり、それぞれがコクセター図の環の順列として 6 次元空間に均一なハニカムを生成します。

均一7次元多面体に対するWythoff構成に関する注釈

反射 7 次元均一多面体は、 Wythoff 構築プロセスによって構築され、各ノードがミラーを表すCoxeter-Dynkin 図で表されます。アクティブなミラーは、リングノードで表されます。アクティブなミラーの各組み合わせにより、一意の均一多面体が生成されます。均一多面体は、各ファミリの正則多面体に関連して名前が付けられます。一部のファミリには 2 つの正則コンストラクタがあるため、2 つの同等に有効な方法で名前が付けられる場合があります。

ここでは、均一な 7 次元多面体を構築して名前を付けるために使用できる主要な演算子を示します。

プリズマティック形式と分岐グラフでは同じ切り捨てインデックス表記を使用できますが、わかりやすくするためにノードに明示的な番号付けシステムが必要です。

参考文献

^ abc Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topopology、プリンストン、2008年。

T. ゴセット：n 次元空間の正則図形と半正則図形について、数学のメッセンジャー、マクミラン、1900 年
A. ブール・ストット:正多面体と空間充填からの準正則の幾何学的演繹、コーニンククライケアカデミーファンヴェテンシャッペン幅ユニットアムステルダムのフェルハンデリンゲン、エアステセクション 11,1、アムステルダム、1910
HSMコクセター:
- HSM Coxeter、MS Longuet-Higgins、JCP Miller: Uniform Polyhedra、ロンドン王立協会哲学論文集、ロンドン、1954年
- HSM コクセター『正多面体』第 3 版、ドーバーニューヨーク、1973 年
『Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter』、F. Arthur Sherk、Peter McMullen、Anthony C. Thompson、Asia Ivic Weiss 編、Wiley-Interscience Publication、1995 年、ISBN 978-0-471-01003-6 http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html
- (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
NW ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966 年
Klitzing、Richard。「7D 均一多面体 (ポリエクサ)」。

外部リンク

多面体の名前
さまざまな次元の多面体
多次元用語集

[richeson-1] Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topopology、プリンストン、2008年。