変換演算子（量子力学）

量子力学では、変換演算子は、粒子と場を特定の方向に特定の量だけシフトする演算子として定義されます。これは、関数解析の シフト演算子の特殊なケースです。

より具体的には、任意の変位ベクトル に対して、粒子とフィールドを の量だけシフトする対応する変換演算子が存在します。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

たとえば、が位置 にある粒子に作用する場合、結果は位置 にある粒子になります。 ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} +\mathbf {x} }$

変換演算子はユニタリです。

変換演算子は運動量演算子と密接な関係があります。たとえば、方向に微小量移動する変換演算子は、運動量演算子の -成分と単純な関係があります。この関係により、変換演算子がハミルトニアンと交換する場合、つまり物理法則が変換不変である場合、運動量保存則が成立します。これは、ノイマンの定理の例です。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

変換演算子は、粒子とフィールドを の量だけ移動します。したがって、粒子が位置演算子の固有状態にある場合（つまり、位置 に正確に位置している場合）、 が作用した後、粒子は位置 にあります。 ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\int \!d\mathbf {r} ~|\mathbf {r+x} \rangle \langle \mathbf {r} |}$${\displaystyle \mathbf {r} +\mathbf {x} }$$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {r} +\mathbf {x} \rangle .}$$

変換演算子が決定するものを記述する別の（そして同等の）方法は、位置空間波動関数に基づく。粒子が位置空間波動関数を持ち、粒子に作用する場合、新しい位置空間波動関数は次のように定義される。 ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )={\hat {T}}(\mathbf {x} )\psi (\mathbf {r} )}$$${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} )。}$$

この関係は次のように覚えやすい。「新しい波動関数の新しい点における値は、古い波動関数の古い点における値に等しい」 ^[1]${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} +\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {r} ),}$

これら2つの記述が同等であることを示す例を次に示します。状態は波動関数（ここではディラックのデルタ関数）に対応し、状態は波動関数に対応します。これらは確かに${\displaystyle |\mathbf {a} \rangle }$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {a} )}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {a} \rangle =|\mathbf {a} +\mathbf {x} \rangle }$${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} -(\mathbf {a} +\mathbf {x} ).}$${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} )。}$

入門物理学では、運動量は通常、質量×速度として定義されます。しかし、運動量を定義するより基本的な方法があります。それは、変換演算子の観点からです。これはより具体的には正準運動量と呼ばれ、通常は質量×速度に等しくなりますが、常に等しいとは限りません。1つの注目すべき例外は、正準運動量が通常の運動量と磁気ベクトルポテンシャルに比例する2番目の項の両方を含む磁場内の荷電粒子に関係します。^[1]この運動量の定義は、運動量保存の法則が正準運動量にのみ適用され、運動量が代わりに質量×速度（いわゆる「運動運動量」）として定義される場合、以下に説明する理由により普遍的に有効ではないため、特に重要です。

（標準的な）運動量演算子は、原点付近の変換演算子の 勾配として定義されます。

ここで、 は換算プランク定数です。たとえば、演算子が量子状態に作用すると、どのような結果になるでしょうか。答えを見つけるには、状態を- 方向に微小量だけ平行移動し、状態が変化する速度を計算して、その結果に を掛けます。たとえば、状態を - 方向に微小量平行移動してもまったく変化しない場合は、運動量の - 成分は 0 です。 ${\displaystyle \hbar}$${\displaystyle {\hat {p}}_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i\hbar }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

より具体的には、はベクトル演算子（つまり、3 つの演算子 で構成されるベクトル演算子）であり、その成分は次のように定義されます 。 ここで、は恒等演算子であり、は - 方向の単位ベクトルです。 （および も同様に定義されます。） ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$${\displaystyle ({\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z})}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {{\hat {T}}(a\mathbf {\hat {x}} )-{\hat {\mathbb {I} }}}{a}}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\displaystyle {\hat {p}}_{z}}$

上記の式は、 の最も一般的な定義です。波動関数 を持つ単一粒子の特殊なケースでは、 はより具体的で便利な形式で記述できます。 1 次元では、 は です。一方、 3 次元では、 は位置空間波動関数に作用する演算子として記述されます。 これは のよく知られた量子力学の表現ですが、ここではより基本的な出発点から導出しました。 ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}({\hat {p}}\psi )(r)&=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {({\hat {T}}(a)\psi )(r)-\psi (r)}{a}}\\&=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {\psi (ra)-\psi (r)}{a}}\\&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial r}}\psi (r).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

ここまでで、変換演算子を使ってを定義しました。変換演算子を の関数として記述することもできます。この方法は、波動関数に対する無限小の作用を考え、変換された波動関数を初期波動関数と一次摂動補正の和として展開し、有限の変換を多数の連続した小さな変換として表現し、無限小の変換は を使って記述できるという事実を使用することです。前述のことから、 がに作用すると 、結果は 次のようになることがわかっています。右辺はテイラー級数として記述できます。 無限小の変換では、級数の高次の項が連続的に小さくなると仮定します。そこから、 と記述します。この予備的な結果を使用して、無限の微小な作用を と記述します。 右辺は指数級数とまったく同じです。したがって、 ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$${\displaystyle {\widehat {T}}(d\mathbf {x} )}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -d\mathbf {x} ).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} )-d\mathbf {x} \cdot {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} )}{\partial \mathbf {r } }}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {x} \right)^{2}\left({\frac {\partial \psi (\mathbf {r} )}{\partial \mathbf {r} }}\right)^{2}+\cdots .\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )-d\mathbf {x} \cdot {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} )}{\partial \mathbf {r} }}=\left(1-{\frac {id\mathbf {x} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}}{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}(\mathbf {x} )&=\lim _{N\to \infty }({\hat {T}}(\mathbf {x} /N))^{N}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{N\hbar }}\right]^{N}\end{aligned}}.}$$

ここで は指数演算子であり、右辺はテイラー級数展開です。 が非常に小さい場合、次の近似を使用できます。 ${\displaystyle \exp }$${\displaystyle \mathbf {x} }$$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )\approx 1-i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} /\hbar ~~{\text{for}}~~\mathbf {x} \to \mathbf {0} }$$

演算子方程式

${\displaystyle \exp \left(-\mathbf {x} \cdot {\frac {i\mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} )\,}$

はテイラーの定理の演算子バージョンであり、したがって、解析関数であるという警告の下でのみ有効です。演算子部分に注目すると、指数関数を介して実数直線の平行移動を生成する無限小変換であることがわかります。このため、運動量演算子は平行移動の生成元と呼ばれます。^[2]${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\frac {i\mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}}$

これらの関係が正しいことを再確認する良い方法は、位置空間波動関数に作用する変換演算子のテイラー展開を行うことです。指数をすべての次数に展開すると、変換演算子はテスト関数の完全なテイラー展開を正確に生成します。 したがって、関数が複素平面の何らかの領域で解析的で ある場合、すべての変換演算子はテスト関数に対して期待される変換を正確に生成します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} )&={\hat {T}}(\mathbf {x} )\psi (\mathbf {r} )\\&=\exp \left(-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{n}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } )^{n}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\psi (\mathbf {r} )-\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } )^{2}\psi (\mathbf {r} )-\dots \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})}$$

言い換えれば、粒子と場が 量だけ移動し、次に 量だけ移動した場合、全体として 量だけ移動したことになります。数学的な証明として、これらの演算子が位置固有状態の粒子に何をもたらすかを見てみましょう。演算子 と は固有基底のすべての状態に同じ影響を与えるため、演算子は等しいということになります。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}}$$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})|\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1})|\mathbf {x} _{2}+\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})|\mathbf {r} \rangle }$$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})}$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})}$

変換、つまり距離 0 による変換は、すべての状態を変更しない恒等演算子と同じです。 ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {0} )={\hat {\mathbb {I} }}}$

変換演算子は可逆であり、その逆は次のとおりです。 $${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}={\hat {T}}(-\mathbf {x} )}$$

これは、上記の「連続した翻訳」プロパティと、同一翻訳から得られます。

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} ){\hat {T}}(\mathbf {y} )={\hat {T}}(\mathbf {y} ){\hat {T}}(\mathbf {x} )}$$ 両辺が等しいからである。^[1]${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} +\mathbf {y} )}$

変換演算子がユニタリであることを示すには、まず運動量演算子がエルミートであることを証明する必要があります。次に、変換演算子がユニタリ演算子であるために必要な 2 つの条件を満たしていることを証明できます。 ${\displaystyle {\widehat {p}}}$

まず、線形運動量演算子は、ドメイン内の任意のものに 、コドメイン内の 1 つのベクトル を割り当てる規則です。 したがって、線形運動量演算子は、実際にはエルミート演算子です。この詳細な証明は、多くの教科書やオンラインで見つけることができます (例: https://physics.stackexchange.com/a/832341/194354)。 ${\displaystyle {\widehat {p}}:L^{2}([-\infty ,\infty ],\mu )\to L^{2}([-\infty ,\infty ],\mu )}$${\displaystyle \psi (r)}$$${\displaystyle \psi '(r)=\left[{\widehat {p}}\psi \right](r)=\left[-i\hbar {\frac {d}{dx}}\psi \right](r)}$$$${\displaystyle \langle {\widehat {p}}\psi ,\phi \rangle =\langle \psi ,{\widehat {p}}\phi \rangle ,\quad {\text{for all}}~\psi ,\phi \in L^{2}([-\infty ,\infty ],\mu )}$$${\displaystyle {\widehat {p}}}$

運動量演算子がエルミート演算子であることがわかれば、変換演算子がユニタリ演算子であることを証明できます。まず、変換演算子が有界演算子であることを示す必要があります。そのためには、次の こと を述べれば十分 です。次に、次のことを示す必要があります (また、示すことができます)。 詳細な証明は、https://math.stackexchange.com/a/4990451/309209 を参照してください。 ${\displaystyle \psi \in L^{2}([a,b],\mu )}$$${\displaystyle \left\|\left[{\widehat {T}}_{\mathbf {x} }\psi \right]\!(r)\left\|_{L^{2}([a,b],\mu )}=\right\|\psi (r)\right\|_{L^{2}([a,b],\mu )}.}$$$${\displaystyle {\widehat {T}}_{\mathbf {x} }^{\dagger }{\widehat {T}}_{\mathbf {x} }={\widehat {T}}_{\mathbf {x} }{\widehat {T}}_{\mathbf {x} }^{\dagger }=\mathbb {I} .}$$

位置 eigenbasis でブラジャーに作用する 変換演算子は次のようになります。${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\int d\mathbf {r} ~|\mathbf {r+x} \rangle \langle \mathbf {r} |}$$${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} -\mathbf {x} |}$$

上記の「連続的な変換」プロパティによれば、ベクトルによる変換は、成分方向の変換の積として表すことができます。 ここで、は単位ベクトルです。 ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)}$$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )={\hat {T}}(x\mathbf {\hat {x}} )\,{\hat {T}}(y\mathbf {\hat {y}} )\,{\hat {T}}(z\mathbf {\hat {z}} )}$$${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$

が固有値 を持つ位置演算子の固有ベクトルであると 仮定 します。 ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {\hat {r}} |\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle }$$$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle ={\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle =(\mathbf {x} +\mathbf {r} )|\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle }$$

したがって、変換演算子と位置演算子の間の 交換演算子は次のようになります。 これは、（上記の性質を使用して）次のように記述することもできます 。 ここで、は恒等演算子です。 $${\displaystyle [\mathbf {\hat {r}} ,{\hat {T}}(\mathbf {x} )]\equiv \mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )-{\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {x} {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$$$${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\mathbf {\hat {r}} +\mathbf {x} {\hat {\mathbb {I} }}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}}$

変換演算子はすべて互いに交換可能であり (上記参照)、運動量演算子の各要素は 2 つのスケール変換演算子の合計であるため (例)、変換演算子はすべて運動量演算子と交換可能になります。つまり、 この運動量演算子との交換は、システムが孤立しておらず、エネルギーや運動量が保存されない場合でも、一般に当てはまります。 ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {i\hbar }{\varepsilon }}\left({\hat {T}}((0,\varepsilon ,0))-{\hat {T}}((0,0,0))\right)}$$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} ){\hat {\mathbf {p} }}={\hat {\mathbf {p} }}{\hat {T}}(\mathbf {x} )}$$

すべての に対する変換演算子の集合は、連続する変換の結果として定義された乗算の演算（つまり関数合成）とともに、群のすべての公理を満たします。 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

閉鎖

2 つの翻訳が連続して実行されると、結果は 1 つの異なる翻訳になります。(上記の「連続した翻訳」プロパティを参照してください。)

アイデンティティの存在

ベクトルによる変換は恒等演算子、つまり何にも影響を与えない演算子です。これは群の恒等元として機能します。${\displaystyle \mathbf {0} }$

すべての要素には逆元がある

上記で証明したように、任意の変換演算子は逆変換の逆になります。${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle {\hat {T}}(-\mathbf {x} )}$

結合性

これは、 という主張です。関数合成に基づく任意のグループの場合と同様に、定義により真です。${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1})\left({\hat {T}}(\mathbf {x} _{2}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{3})\right)=\left({\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})\right){\hat {T}}(\mathbf {x} _{3})}$

したがって、すべてのに対する変換演算子の集合は群を形成します。^[3]要素は連続的に無限個存在するため、変換群は連続群です。さらに、変換演算子は相互に交換可能であり、つまり、2つの変換（1つの変換の後に別の変換が続く）の積はそれらの順序に依存しません。したがって、変換群はアーベル群です。^[4]${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

位置固有状態のヒルベルト空間に作用する並進群は、ユークリッド空間のベクトル加算群と同型です。

1次元の単一粒子を考えてみましょう。古典力学とは異なり、量子力学では粒子は明確に定義された位置も運動量も持ちません。量子定式化では、期待値^[5]が古典変数の役割を果たします。たとえば、粒子が状態 にある場合、位置の期待値は で、 は位置演算子です。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |\mathbf {\hat {r}} |\psi \rangle }$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

移動演算子が状態 に作用して新しい状態を作成すると、 の位置の期待値は、 の位置の期待値にベクトル を加えた値に等しくなります。この結果は、粒子をその量だけシフトする操作から予想される結果と一致しています。 ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

一方、移動演算子が状態に作用する場合、運動量の期待値は変化しません。これは、移動演算子が運動量演算子と交換するという事実を使用して、上記と同様の方法で証明できます。この結果も予想と一致しています。粒子を移動しても速度や質量は変化しないため、運動量は変化しないはずです。

量子力学では、ハミルトニアンはシステムの全エネルギーに対応する演算子です。ドメイン内の任意のものについて、コドメイン内の 1 つのベクトルを新たに変換された状態とします。この場合 、ハミルトニアンは不変であるといわれます。変換演算子はユニタリ演算子であるため、前件部は次のようにも記述できます。 これはドメイン内の 任意のものに対して成り立つため、含意は またはとなります。 したがって、ハミルトニアンが変換演算子と可換である場合、ハミルトニアンは変換に対して不変です。大まかに言えば、システムを変換し、そのエネルギーを測定し、それを元に戻すと、エネルギーを直接測定するのと同じことになります。 ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$${\displaystyle |\mathbf {r} _{T}\rangle \equiv {\hat {T}}_{\mathbf {x} }|\mathbf {r} \rangle }$$${\displaystyle \langle \mathbf {r} _{T}|{\hat {H}}|\mathbf {r} _{T}\rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {H}}|\mathbf {r} \rangle ,}$$$${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}_{\mathbf {x} }^{-1}{\hat {H}}{\hat {T}}_{\mathbf {x} }|\mathbf {r} \rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {H}}|\mathbf {r} \rangle .}$$${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {x} }^{-1}{\hat {H}}{\hat {T}}_{\mathbf {x} }={\hat {H}}}$$$${\displaystyle {\hat {H}}{\hat {T}}_{\mathbf {x} }-{\hat {T}}_{\mathbf {x} }{\hat {H}}=[{\hat {H}},{\hat {T}}_{\mathbf {x} }]=0.}$$

まず、すべての変換演算子がシステムの対称性である場合を考えます。次に、変換演算子がシステムの対称性ではない場合を考えます。後でわかるように、最初のケースでのみ運動量保存が起こります。

たとえば、宇宙のすべての粒子と場を記述するハミルトニアンを とし、宇宙のすべての粒子と場を同時に同じ量だけシフトする連続変換演算子を とします。この変換はハミルトニアンの連続対称性 (つまり、位置に依存しない) であるという先験的公理を主張すると 、結果として、運動量保存則は普遍的に有効になります。 ${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle {\hat {H}}}$

一方、おそらく とは1 つの粒子だけを指しているでしょう。その場合、粒子が真空中に単独で存在する場合のみ、移動演算子は正確な対称性を持ちます。同様に、単一粒子の運動量は通常は保存されません (粒子が他の物体にぶつかったり、他の粒子の位置エネルギー場によって偏向したりすると運動量は変化します) が、粒子が真空中に単独で存在する場合は保存されます 。${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$

ハミルトニアンが並進に対して不変である場合、ハミルトニアン演算子は並進演算子と交換されるため、 さらに、ハミルトニアン演算子は無限小並進演算子とも交換されます。 まとめると、システムのハミルトニアンが連続並進に対して不変である場合、そのシステムには運動量保存則があり、運動量演算子の期待値は一定であることを意味します。これは、ノイマンの定理の例です。 $${\displaystyle \left[{\hat {H}},{\hat {T}}(\mathbf {x} )\right]=0\,.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\hat {H}},1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{N\hbar }}\right]=0\\&\Rightarrow [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {p} }}]=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle ={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {p} }}]=0.\end{aligned}}}$$

ハミルトニアンが並進不変となる特別なケースがもう一つあります。このタイプの並進対称性は、ポテンシャルが周期的である場合に常に観察されます。^[6] 一般に、ハミルトニアンは、任意の で表される任意の並進に対して不変ではありません。ただし、は 次の特性を持ちます。 また、 （ここで は恒等演算子です。上記の証明を参照）。 $${\displaystyle V(r_{j}\pm a)=V(r_{j})}$$${\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})}$$${\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})|r_{j}\rangle =|r_{j}+x_{j}\rangle }$$$${\displaystyle ({\hat {T}}_{j}(x_{j}))^{\dagger }{\hat {r}}_{j}{\hat {T}}_{j}(x_{j})={\hat {r}}_{j}+x_{j}{\hat {\mathbb {I} }}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}}$

しかし、がポテンシャル の周期と一致するときはいつでも、 ハミルトニアンの運動エネルギー部分はの関数である任意の変換に対してすでに不変であるため、ハミルトニアンの全体は 、次式を満たします。ここで、ハミルトニアンは変換演算子 と交換します。つまり、それらは同時に対角化できます。したがって、ハミルトニアンはそのような変換（もはや連続ではなくなる）に対して不変です。変換は、ポテンシャル の周期とともに離散的になります。 ${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle ({\hat {T}}_{j}(a))^{\dagger }V({\hat {r}}_{j}){\hat {T}}_{j}(a)=V({\hat {r}}_{j}+a{\hat {\mathbb {I} }})=V({\hat {r}}_{j})}$$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$$${\displaystyle ({\hat {T}}_{j}(a))^{\dagger }{\hat {H}}{\hat {T}}_{j}(a)={\hat {H}}}$$

完全な結晶内のイオンは規則的な周期配列で配列されている。そこで、ブラヴェ格子の周期性を持つポテンシャル内の電子の問題が 、すべてのブラヴェ格子ベクトルに対して生じる。${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle V(\mathbf {r} +\mathbf {R} )=V(\mathbf {r} )}$$${\displaystyle \mathbf {R} }$

しかし、完全な周期性は理想化です。実際の固体は絶対に純粋ではありませんし、不純物原子の近傍では、固体は結晶の他の部分と同じではありません。さらに、イオンは実際には静止しているわけではなく、平衡位置の周りで絶えず熱振動しています。これにより、結晶の完全な並進対称性が破壊されます。この種の問題に対処するために、主な問題は人工的に 2 つの部分に分割されます。(a) 理想的な架空の完全な結晶。この結晶では、ポテンシャルは真に周期的です。(b) 完全な周期性からのすべての偏差が、小さな摂動として扱われ、仮想の完全な結晶の特性に与える影響。

固体中の電子の問題は原理的には多電子問題であるが、独立電子近似では各電子は周期ポテンシャルを持つ1電子シュレーディンガー方程式の対象となり、ブロッホ電子として知られている^[7] （周期ポテンシャルが全くゼロのときにブロッホ電子が減少する 自由粒子とは対照的である。）

各ブラヴェ格子ベクトルに対して、任意の関数に作用すると引数を だけシフトする変換演算子を定義します。 すべての変換はアーベル群を形成するため、2 つの連続する変換を適用した結果は、それらが適用される順序に依存しません。 つまり、さらに、ハミルトニアンは周期的であるため、次の式が成り立ちます 。 したがって、すべてのブラヴェ格子ベクトルに対してが成り立ち、ハミルトニアンは交換演算子の集合を形成します。したがって、 の固有状態は、すべての の同時固有状態になるように選択できます。 ${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {R} }$$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {r} +\mathbf {R} )}$$$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2}}}$$$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {H}}={\hat {H}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$$${\displaystyle {\hat {H}}\psi ={\mathcal {E}}\psi }$$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi =c(\mathbf {R} )\psi }$$

変換演算子の固有値は、条件により関連しています。 となり、 したがって 、 と なります。 ここで、 の をブラヴェ格子の 3 つの原始ベクトルと します。 を適切に選択することで、 の形式で 常に記述できます。 が一般的なブラヴェ格子ベクトルで、 で与えられる 場合、 が成立します。を 代入する と、 となり 、 の は、次の式を満たす逆格子ベクトルです。${\displaystyle c(\mathbf {R} )}$$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}\psi &=c(\mathbf {R} _{1}){\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}\psi \\&=c(\mathbf {R} _{1})c(\mathbf {R} _{2})\psi \end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R_{1}+R_{2}} }\psi =c(\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2})\psi }$$$${\displaystyle c(\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2})=c(\mathbf {R} _{1})c(\mathbf {R} _{2})}$$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})}$$${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi ix_{i}}}$$${\displaystyle \mathbf {R} }$$${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} )&=c(n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=c(n_{1}\mathbf {a} _{1})c(n_{2}\mathbf {a} _{2})c(n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=c(\mathbf {a} _{1})^{n_{1}}c(\mathbf {a} _{2})^{n_{2}}c(\mathbf {a} _{3})^{n_{3}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi ix_{i}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} )&=e^{2\pi i(n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3})}\\&=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {k} =x_{1}\mathbf {b} _{1}+x_{2}\mathbf {b} _{2}+x_{3}\mathbf {b} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=2\pi \delta _{ij}}$

したがって 、ハミルトニアンの同時固有状態と、任意のブラヴェ格子ベクトルに対して、 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$${\displaystyle \mathbf {R} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r+R} )&={\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )\\&=c(\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} )\\&=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

この結果はブロッホの定理として知られています。

受動変換の描像では、並進不変性は次式を要求する。 従って 、次式が成り立つ。 ここで、はユニタリ時間発展演算子である。^[8]ハミルトニアンが時間に依存しないとき、 ハミルトニアンが時間に依存する場合、またはがすべてのtに対してと交換される 場合、上記の交換関係が満たされる。 $${\displaystyle [{\hat {T}}(\mathbf {x} ),{\hat {H}}]=0}$$$${\displaystyle [{\hat {T}}(\mathbf {x} ),{\hat {U}}(t)]=0}$$${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$$${\displaystyle {\hat {U}}(t)=\exp \left({\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\right)}$$${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$

2 人の観測者 A と B がそれぞれ と で同一のシステムを準備するとします(図 1)。 がA によって準備されたシステムの状態ベクトルである場合、 B によって準備されたシステムの状態ベクトルは で与えられます。 両方のシステムは、それを準備した観測者には同一に見えます。 時間 の後、状態ベクトルはそれぞれとに進化します。 上記の交換関係を使用すると、後者は と記述でき、 これは A が時間 に準備したシステムの変換バージョンにすぎません。 したがって、 で変換のみ異なっていた 2 つのシステムは、どの瞬間でも同じ変換のみが異なることになります。 両方のシステムの時間的発展は、それらを準備した観測者には同じに見えます。 ハミルトニアンの変換不変性は、同じ実験を 2 つの異なる場所で繰り返すと (ローカル観測者から見た場合) 同じ結果が得られるということを意味していると結論付けることができます。 ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} )|\psi (0)\rangle }$$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle }$${\displaystyle {\hat {U}}(t){\hat {T}}(\mathbf {a} )|\psi (0)\rangle }$$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} ){\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle }$$${\displaystyle t}$${\displaystyle t=0}$