クラマースの定理

量子力学において、クラマースの縮退定理は、半整数の全スピンを持つ時間反転対称システムのすべてのエネルギー固有状態に対して、時間反転によって関連付けられた同じエネルギーを持つ別の固有状態が存在することを述べています。言い換えると、半整数のスピンを持つすべてのエネルギーレベルの縮退は偶数です。この定理は、オランダの物理学者HA クラマースにちなんで名付けられました。

理論物理学において、時間反転対称性は、時間反転変換における物理法則の対称性です。

${\displaystyle T:t\mapsto -t.}$

ハミルトニアン演算子が時間反転演算子と交換する 場合、それは

${\displaystyle [H,T]=0,}$

すると、すべてのエネルギー固有状態に対して、時間反転状態も同じエネルギーの固有状態になります。これらの 2 つの状態は、クラマース対と呼ばれることもあります。^[1]一般に、この時間反転状態は元の状態と同一である可能性がありますが、半整数スピン系ではそれが不可能です。時間反転はすべての角運動量を反転するため、半整数スピンを反転しても同じ状態は得られません (磁気量子数は決して 0 になりません)。 ${\displaystyle |n\rangle}$${\displaystyle T|n\rangle }$

量子力学では、時間反転操作はヒルベルト空間に作用する反ユニタリー演算子によって表されます。 となる場合、次の簡単な定理が成り立ちます。 ${\textstyle T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ ${\textstyle {\mathcal {H}}}$${\textstyle T^{2}=-1}$

がを満たすヒルベルト空間に作用する反ユニタリー演算子であり、内のベクトルである場合、は に直交します。 ${\textstyle T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$${\textstyle {\mathcal {H}}}$${\textstyle T^{2}=-1}$${\textstyle v}$${\textstyle {\mathcal {H}}}$${\textstyle テレビ}$${\textstyle v}$

反ユニタリ演算子の定義により、 となり、ここでおよびはのベクトルとなります。 およびを置き換え、を使用すると、 となり、 となります。 ${\textstyle \langle Tu,Tw\rangle =\langle w,u\rangle }$${\textstyle u}$${\textstyle w}$${\textstyle {\mathcal {H}}}$${\textstyle u=Tv}$${\textstyle w=v}$${\textstyle T^{2}=-1}$${\textstyle -\langle v,Tv\rangle =\langle T^{2}v,Tv\rangle =\langle v,Tv\rangle ,}$${\textstyle \langle v,Tv\rangle =0}$

その結果、ハミルトニアン が時間反転対称、つまり と可換である場合、そのすべてのエネルギー固有空間は偶退化を持ちます。これは、任意のエネルギー固有状態に を適用すると、最初の固有状態と直交する別のエネルギー固有状態が得られるためです。直交性は重要です。これは、2つの固有状態と が異なる物理的状態を表すことを意味します。逆に、それらが同じ物理的状態である場合、角度 に対して、次のようになります。 ${\textstyle H}$${\textstyle T}$${\textstyle T}$${\textstyle |n\rangle }$${\textstyle T|n\rangle }$${\textstyle |n\rangle }$${\textstyle T|n\rangle }$${\displaystyle T|n\rangle =e^{i\alpha }|n\rangle }$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle T^{2}|n\rangle =T(e^{i\alpha }|n\rangle )=e^{-i\alpha }e^{i\alpha }|n\rangle =+\ ,|n\rangle }$

クラマースの退化定理を完成するには、半奇数整数スピンヒルベルト空間に作用する時間反転演算子が を満たすことを証明するだけでよい。これは、スピン演算子が一種の角運動量を表し、したがって の条件で方向が反転するはずであるという事実から導かれる。 ${\textstyle T}$${\textstyle T^{2}=-1}$ ${\textstyle \mathbf {S} }$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mathbf {S} \to T^{-1}\mathbf {S} T=-\mathbf {S} .}$

具体的には、この性質を持つ 演算子は通常次のように記述されます。${\textstyle T}$

${\displaystyle T=e^{-i\pi S_{y}}K}$

ここで は方向のスピン演算子であり、 はスピン基底における複素共役写像である。^[2]${\textstyle S_{y}}$${\textstyle y}$${\textstyle K}$${\textstyle S_{z}}$

は基底に実行列成分を持つので、 ${\textstyle iS_{y}}$${\displaystyle S_{z}}$

${\displaystyle T^{2}=e^{-i\pi S_{y}}Ke^{-i\pi S_{y}}K=e^{-i2\pi S_{y}}K^{2}=(-1)^{2S}.}$

したがって、半奇数整数スピンの場合、 となります。これは、フェルミオンなどの半奇数整数スピンを持つシステムで完全な回転を行うときに表示されるマイナス記号と同じです。 ${\textstyle S={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},\ldots }$${\textstyle T^{2}=-1}$${\displaystyle 2\pi }$

フェルミオン（電子、陽子、中性子など）の総数が奇数のシステムのエネルギーレベルは、純粋な電場（つまり外部磁場がない）が存在する場合、少なくとも二重に縮退したままになります。これは、1930年にHA Kramers ^{[3]によって}ブライト方程式の結果として初めて発見されました。 1932年にユージン・ウィグナーによって示されたように、^[4]これは電場の時間反転不変性の結果であり、反ユニタリーT演算子を奇数のフェルミオンの波動関数に適用することで得られます。この定理は、静的または時間とともに変化する電場の任意の構成に対して有効です。

たとえば、水素(H) 原子には陽子 1 個と電子 1 個が含まれているため、クラマースの定理は適用されません。実際、H の最低 (超微細) エネルギー レベルは非縮退ですが、一般的なシステムでは他の理由により縮退している場合があります。一方、重水素(D) 同位体には余分な中性子が含まれているため、フェルミオンの総数は 3 個となり、定理が適用されます。D の基底状態には 2 つの超微細成分が含まれており、これらは 2 重縮退と 4 重縮退しています。

• 退化
• T対称性