走査トンネル顕微鏡

走査トンネル顕微鏡（STM ）は、原子レベルで表面を画像化するために使用される走査プローブ顕微鏡の一種です。1981年に開発されたことで、当時チューリッヒIBMにいた発明者のゲルト・ビーニングとハインリッヒ・ローラーは、1986年にノーベル物理学賞を受賞しました。 ^{[1] [2] [3]} STMは、0.01 nm（10  pm）の深さ分解能で0.1 nm未満の特徴を区別できる 非常に鋭い導電性チップを使用して表面を感知します。[4] これは、個々の原子を日常的に画像化し、操作できることを意味します。ほとんどの走査トンネル顕微鏡は、絶対零度に近い温度の超高真空で使用^するために作られていますが、空気、水、その他の環境での研究や1000 °Cを超える温度用のバリエーションも存在します。^{[5] [6]}

STM は量子トンネル効果の概念に基づいています。先端を検査する表面に非常に近づけると、両者の間にバイアス電圧が印加され、電子はそれらを隔てる真空をトンネルします。結果として生じるトンネル電流は、先端の位置、印加電圧、およびサンプルの局所状態密度(LDOS)の関数です。先端が表面をスキャンするときに電流を監視することで情報が得られ、通常は画像形式で表示されます。^[5]

走査トンネル分光法として知られるこの技術の改良版は、先端を表面上の一定の位置に保ち、バイアス電圧を変化させ、その結果生じる電流の変化を記録するというものである。この技術を使用すると、電子状態の局所的な密度を再構築することができる。^[7]これは、研究対象の材料における電子の特性と相互作用を推測するために、高磁場と不純物の存在下で実行されることがある。

走査トンネル顕微鏡は、非常に清潔で安定した表面、鋭い先端、優れた振動絶縁、高度な電子機器を必要とするため、難しい技術です。それにもかかわらず、多くの愛好家が独自の顕微鏡を製作しています。^[8]

チップは、通常は目視で監視される粗い位置決め機構によってサンプルに近づけられます。近距離では、サンプル表面に対するチップ位置の微調整は、制御電圧によって長さを変更できる圧電スキャナ チューブによって行われます。サンプルとチップの間にバイアス電圧が印加され、スキャナはチップがトンネル電流を受け取り始めるまで徐々に伸長します。チップとサンプルの分離w は、チップが反発相互作用を経験する高さ( w < 3 Å) よりわずかに高い 4～7 Å (0.4～0.7  nm ) の範囲に保たれます が、それでも引力相互作用が存在する領域(3 < w < 10 Å) にあります。^[5]トンネル電流はナノアンペア未満の範囲で、スキャナーにできるだけ近づくほど増幅されます。トンネルが確立されると、サンプル バイアスとサンプルに対するチップ位置は、実験の要件に応じて変化します。

チップが離散的なx - yマトリックス内で表面上を移動すると、表面の高さと電子状態の分布が変化し、トンネル電流が変化します。表面のデジタル画像は、2つの方法のいずれかで形成されます。一定高さモードでは、トンネル電流の変化が直接マッピングされ、一定電流モードでは、トンネル電流が所定のレベルに維持されている間に、チップの高さ（z）を制御する電圧が記録されます。^[5]

定電流モードでは、フィードバック エレクトロニクスが圧電高さ制御機構への電圧によって高さを調整します。ある時点でトンネル電流が設定レベルを下回ると、チップがサンプルに向かって移動し、その逆も同様です。このモードは比較的低速です。これは、エレクトロニクスがトンネル電流をチェックし、表面の各測定ポイントでフィードバック ループで高さを調整する必要があるためです。表面が原子レベルで平坦な場合、Zスキャナに適用される電圧は主に局所的な電荷密度の変化を反映します。しかし、原子ステップに遭遇した場合、または再構築により表面が歪んだ場合、全体的な地形のためにスキャナの高さも変更する必要があります。チップが表面をスキャンするときにトンネル電流を一定に保つために必要なZスキャナ電圧から形成される画像には、地形データと電子密度データの両方が含まれます。場合によっては、高さの変化がどちらかの結果によるのかが明確でないことがあります。

一定高さモードでは、スキャナが表面を前後に揺らしても、 Zスキャナの電圧は一定に保たれ、距離に指数関数的に依存するトンネル電流がマッピングされます。この動作モードは高速ですが、大きな吸着分子が存在する可能性のある粗い表面や、隆起や溝では、先端が衝突する危険があります。

先端のラスタースキャンは 128×128 から 1024×1024 (またはそれ以上) のマトリックスで、ラスターの各ポイントに対して 1 つの値が得られます。したがって、STM によって生成される画像はグレースケールであり、重要な特徴を視覚的に強調するために後処理でのみ色が追加されます。

サンプル全体をスキャンするだけでなく、バ​​イアス電圧をスイープし（微分を直接測定するための小さなAC変調も併用）、特定の場所での電流変化を測定することで、サンプル内の特定の場所の電子構造に関する情報を得ることができます。^[4]このタイプの測定は走査トンネル分光法（STS）と呼ばれ、通常はサンプル内の電子のエネルギーの関数として局所状態密度のプロットが得られます。状態密度の他の測定法に対するSTMの利点は、非常に局所的な測定を行うことができることです。これにより、たとえば、不純物サイトの状態密度を、不純物の周囲や表面の他の場所の状態密度と比較することができます。^[9]

走査トンネル顕微鏡の主な構成要素は、走査チップ、圧電制御式の高さ（Z軸）および横方向（X軸およびY軸）スキャナ、および粗いサンプルからチップへのアプローチ機構である。顕微鏡は専用の電子機器とコンピュータによって制御される。システムは振動絶縁システムによってサポートされている。^[5]

先端はタングステンまたは白金イリジウム線で作られることが多いが、金も使われる。^[4]タングステン先端は通常電気化学エッチングで作られ、白金イリジウム先端は機械的なせん断加工で作られる。画像の解像度は走査先端の曲率半径によって制限される。先端の先端に複数の頂点がある場合、画像アーティファクトが発生することがある。最もよく見られるのはダブルチップイメージング、つまり2つの頂点がトンネル効果に等しく寄与する状況である。^[4]鋭く使用可能な先端を得るためのプロセスはいくつか知られているが、先端の品質を最終的にテストできるのは真空中でトンネル効果を生じさせたときだけである。先端がトンネル効果範囲内にあるときに高電圧を印加したり、表面から原子や分子を拾わせたりすることで、先端をコンディショニングできる場合もある。

最近のほとんどの設計では、スキャナは、表面が金属化された放射状に分極した圧電素子の中空チューブです。外面は 4 つの長い象限に分割され、反対側に 2 つの極性の偏向電圧が印加されたxおよびy 方向の運動電極として機能します。チューブの材質は、圧電定数が約 5 ナノメートル/ボルトのチタン酸ジルコン酸鉛セラミックです。先端はチューブの中央に取り付けられています。電極間のクロストークと固有の非線形性のため、運動は較正され、較正表に従ってx、y、z 方向の独立した運動に必要な電圧が印加されます。 ^[5]

トンネル電流は電極の分離に対して極めて敏感であるため、有用な結果を得るには適切な振動絶縁または剛性のある STM 本体が必須です。Binnig と Rohrer による最初の STM では、STM を振動から守るために磁気浮上が使用されていましたが、現在では機械式スプリングまたはガススプリングシステムがよく使用されています。^[5]さらに、渦電流を使用した振動減衰のメカニズムが実装されることもあります。走査トンネル分光法での長時間スキャン用に設計された顕微鏡には極めて高い安定性が求められ、無響室(音響および電磁気的に絶縁された専用のコンクリートの部屋)内に構築され、実験室内の振動絶縁装置の上に浮かべられています。

試料に対する先端の位置を維持し、試料を走査してデータを取得する作業はコンピュータ制御で行われる。走査型プローブ顕微鏡専用のソフトウェアは、画像処理や定量測定を行うために使用される。 ^[10]

一部の走査型トンネル顕微鏡は、高フレームレートで画像を記録することができます。^{[11] [12]}このような画像から作成されたビデオは、表面拡散^[13]を表示したり、表面での吸着や反応を追跡したりできます。ビデオレート顕微鏡では、先端の高さを調整するフィードバックが完全に機能することで、80 Hzのフレームレートが達成されています。^[14]

電子の量子トンネル効果は、量子力学から生まれた STM の機能概念です。 古典的には、侵入不可能な障壁にぶつかった粒子は通過しません。 障壁がz方向に沿って作用するポテンシャルで記述され、質量m _eの電子が位置エネルギーU ( z ) を獲得する場合、電子の軌道は決定論的になり、その運動エネルギーと位置エネルギーの合計E は常に保存されます。

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m_{\text{e}}}}+U(z).}$

電子は、初期エネルギーEがU ( z )より大きい領域でのみ、定義された非ゼロの運動量pを持ちます。しかし、量子物理学では、電子は古典的に禁制の領域を通過することができます。これをトンネル効果と呼びます。^[5]

走査型トンネル顕微鏡の先端と試料との間のトンネル効果の最も単純なモデルは、長方形のポテンシャル障壁のモデルである。^{[15] [5]エネルギー}Eの電子が、幅wの空間領域にある高さUのエネルギー障壁に入射する。ポテンシャルU ( z )の存在下での電子の挙動は、1次元の場合を想定すると、シュレーディンガー方程式を満たす波動関数によって記述される。 ${\displaystyle \psi (z)}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}{\frac {\partial ^{2}\psi (z)}{\partial z^{2} }}+U(z)\,\psi (z)=E\,\psi (z),}$

ここでħは換算プランク定数、zは位置、m _eは電子の質量である。障壁の両側のゼロポテンシャル領域では、波動関数は次の形をとる。

${\displaystyle \psi _{L}(z)=e^{ikz}+r\,e^{-ikz}}$z < 0の場合、

${\displaystyle \psi _{R}(z)=t\,e^{ikz}}$z > w の場合、

ここで、 E < Uの障壁の内側では、波動関数は障壁の片側からそれぞれ減衰する 2 つの項の重ね合わせになります。 ${\displaystyle k={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}E}}}$

${\displaystyle \psi _{B}(z)=\xi e^{-\kappa z}+\zeta e^{\kappa z}}$0 < z < w の場合、

どこ。 ${\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}(UE)}}}$

係数rとtは、入射電子波が障壁をどれだけ反射または透過するかの尺度を提供します。つまり、衝突する粒子全体のうち、透過するのは電流のみであり、これは確率電流式 からわかるように、${\displaystyle j_{i}=\hbar k/m_{\text{e}}}$${\displaystyle j_{t}=|t|^{2}\,j_{i}}$

${\displaystyle j_{t}=-i{\frac {\hbar }{2m_{\text{e}}}}\left\{\psi _{R}^{*}{\frac {\partial }{\partial z}}\psi _{R}-\psi _{R}{\frac {\partial }{\partial z}}\psi _{R}^{*}\right\},}$

これは と評価されます。透過係数は、波動関数の 3 つの部分と、z = 0 およびz = wにおけるそれらの導関数の連続条件から得られます(詳細な導出については、記事「長方形ポテンシャル障壁」を参照してください)。これにより、 となります。この式は、次のようにさらに簡略化できます。 ${\displaystyle j_{t}={\tfrac {\hbar k}{m_{\text{e}}}}\vert t\vert ^{2}}$${\displaystyle |t|^{2}={\big [}1+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon ^{-1}(1-\varepsilon )^{-1}\sinh ^{2}\kappa w{\big ]}^{-1},}$${\displaystyle \varepsilon =E/U}$

STM 実験では、典型的な障壁の高さは材料の表面仕事関数 W と同程度で、ほとんどの金属では 4 ～ 6 eV の値を持ちます。^[15]仕事関数は、電子を占有レベルから真空レベルに移動させるのに必要な最小エネルギーです。占有レベルのうち最も高いレベルはフェルミレベル( T = 0 Kの金属の場合)です。電子は 2 つの金属間で、障壁の一方の占有状態からもう一方の非占有状態へのみトンネルすることができます。バイアスがなければ、フェルミエネルギーは同じ高さであり、トンネル効果はありません。バイアスは一方の電極の電子エネルギーを高め、もう一方の側に同じエネルギーで一致するものがない電子はトンネル効果を持ちます。実験では、1 V の数分の 1 のバイアス電圧が使用されるため、は 10 ～ 12 nm ⁻¹程度であり、w は10 分の 1 ナノメートルの数倍です。障壁は強く減衰します。透過確率の式は次のように簡約される。単一レベルからのトンネル電流は^[15]${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle |t|^{2}=16\,\varepsilon (1-\varepsilon )\,e^{-2\kappa w}.}$

${\displaystyle j_{t}=\left[{\frac {4k\kappa }{k^{2}+\kappa ^{2}}}\right]^{2}\,{\frac {\hbar k}{m_{\text{e}}}}\,e^{-2\kappa w},}$

ここで、両方の波動ベクトルは準位のエネルギーEに依存し、${\displaystyle k={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}E}},}$${\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}(UE)}}.}$

トンネル電流はサンプルと先端の距離に指数関数的に依存しており、通常、距離が1Å（0.1nm）増加すると1桁減少します。^[5]このため、理想的ではない鋭い先端からトンネルが発生した場合でも、電流への主な寄与は最も突き出ている原子または軌道からのものになります。^[15]

障壁の片側にある占有エネルギー レベルからのトンネル効果には、障壁の反対側に同じエネルギーの空レベルが必要であるという制約の結果として、トンネル効果は主にフェルミ レベル付近の電子で発生します。トンネル効果電流は、サンプル内の利用可能な状態または満たされた状態の密度に関係します。印加電圧Vによる電流(サンプルから先端へのトンネル効果が発生すると仮定) は、2 つの要因に依存します。1) サンプル内のフェルミ レベルE _FとE _F  −  eVの間にある電子の数、および 2) それらの電子のうち、先端の障壁の反対側にトンネル効果で入る対応する自由状態を持つ電子の数です。^[5]トンネル効果領域内の利用可能な状態の密度が高いほど、トンネル効果電流は大きくなります。慣例により、正のV は、先端の電子がサンプル内の空状態にトンネル効果することを意味します。負のバイアスの場合、電子はサンプル内の占有状態から先端にトンネル効果します。^[5]

バイアスが小さく、温度が絶対零度に近い場合、トンネル効果に利用できる所定の体積（電子濃度）内の電子の数は、電子状態の密度ρ（E _F）と2つのフェルミ準位間のエネルギー間隔eVの積である。^[5]これらの電子の半分は障壁から離れる方向に移動する。残りの半分は障壁に衝突する電流を表し、電子濃度、電荷、速度v（I _i  =  nev ）の積で与えられる。^[5]

${\displaystyle I_{i}={\tfrac {1}{2}}e^{2}v\,\rho (E_{\text{F}})\,V.}$

トンネル電流は、衝突電流のごく一部である。その割合は透過確率Tによって決まるので^[5]、\

${\displaystyle I_{t}={\tfrac {1}{2}}e^{2}v\,\rho (E_{\text{F}})\,V\,T.}$

最も単純な長方形のポテンシャル障壁モデルでは、透過確率係数T は| t | ²に等しくなります。

2つの電極のより現実的な波動関数に基づくモデルは、金属-絶縁体-金属接合の研究においてジョン・バーディーンによって考案されました。 ^[16]彼のモデルは、2つの電極の2つの別々の正規直交波動関数セットを取り、システムが互いに近接したときの時間発展を調べます。^{[5] [15]}バーディーンの新しい方法は、それ自体が独創的で、^{[5]標準的な}レイリー-シュレーディンガー摂動論の外部ポテンシャルではなく、2つのサブシステムの相互作用から摂動が生じる時間依存の摂動問題を解決します。

サンプル (S) とチップ (T) の電子の波動関数はそれぞれ、表面電位障壁に当たった後、表面仕事関数とほぼ同じ大きさで真空中に崩壊します。波動関数は、ポテンシャルU _SとU _{T の}電子に対する 2 つの別々のシュレーディンガー方程式の解です。既知のエネルギーと状態の時間依存性を因数分解する と、波動関数は次の一般的な形式になります。${\displaystyle E_{\mu}^{\text{S}}}$${\displaystyle E_{\nu}^{\text{T}}}$

${\displaystyle \psi _{\mu }^{\text{S}}(t)=\psi _{\mu }^{\text{S}}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}E_{\mu }^{\text{S}}t\right),}$

${\displaystyle \psi _{\nu }^{\text{T}}(t)=\psi _{\nu }^{\text{T}}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}E_{\nu }^{\text{T}}t\right).}$

2 つの系を近づけても、薄い真空領域によって隔てられている場合、結合した系の電子に作用する電位はU _T + U _Sです。ここで、各電位は空間的に障壁のそれぞれの側に限定されます。一方の電極の波動関数の裾がもう一方の電極の電位の範囲内にあるという理由だけで、任意の状態が時間の経過とともにもう一方の電極の状態に進化する確率は有限です。^{[5]サンプルの状態}μの将来は、および のすべての時間依存係数を持つ線形結合として表すことができます。 ${\displaystyle \psi _{\mu }^{\text{S}}(t)}$${\displaystyle \psi _{\nu }^{\text{T}}(t)}$

${\displaystyle \psi (t)=\psi _{\mu }^{\text{S}}(t)+\sum _{\nu }c_{\nu }(t)\psi _{\nu }^{\text{T}}(t)}$

初期条件は である。^[5]新しい波動関数をポテンシャルU _T + U _Sのシュレーディンガー方程式に挿入すると、得られた方程式はそれぞれ個別に投影され（つまり、方程式に a を掛けて全体の体積にわたって積分し）、係数を分離します。すべてはほぼすべてと直交するとみなされ（それらの重なりは全体の波動関数の小さな部分です）、1次の量のみが保持されます。したがって、係数の時間発展は次のように表されます。 ${\displaystyle c_{\nu}(0)=0}$${\displaystyle \psi _{\nu }^{\text{T}}}$${\displaystyle {\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}}$${\displaystyle c_{\nu }.}$${\displaystyle \psi _{\mu }^{\text{S}}}$${\displaystyle \psi _{\nu }^{\text{T}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}c_{\nu }(t)=-{\frac {i}{\hbar }}\int \psi _{\mu }^{\text{S}}\,U_{\text{T}}\,{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}(E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})t\right].}$

電位U _{T は}電極の表面から原子の直径数個分の距離でゼロになるため、zに関する積分は障壁内のどこかの点z _{0から先端の体積 (} z  >  z ₀ ) まで実行できます。

トンネル行列要素が次のように定義される場合

${\displaystyle M_{\mu \nu }=\int _{z>z_{0}}\psi _{\mu }^{\text{S}}\,U_{\text{T}}\,{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z,}$

サンプルの状態μが時間tで先端の状態νに変化する確率は

${\displaystyle |c_{\nu }(t)|^{2}=|M_{\mu \nu }|^{2}{\frac {4\sin ^{2}{\big [}{\tfrac {1}{2\hbar }}(E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})t{\big ]}}{(E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})^{2}}}.}$

多数の電子が障壁に衝突するシステムでは、この確率はトンネル効果に成功した電子の割合を示す。時刻tでこの割合が後の時刻t  + d tでトンネル効果を生じたとすると、全体の割合はトンネル効果を生じたであろう。したがって、各瞬間のトンネル効果を生じる電子の電流は、をで割った値に比例し、これは^[15]の時間微分である。${\displaystyle |c_{\nu }(t)|^{2},}$${\displaystyle |c_{\nu }(t+\mathrm {d} t)|^{2}}$${\displaystyle |c_{\nu }(t+\mathrm {d} t)|^{2}-|c_{\nu }(t)|^{2}}$${\displaystyle \mathrm {d} t,}$${\displaystyle |c_{\nu }(t)|^{2},}$

${\displaystyle \Gamma _{\mu \to \nu }\ {\overset {\text{def}}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|c_{\nu }(t)|^{2}={\frac {2\pi }{\hbar }}|M_{\mu \nu }|^{2}{\frac {\sin {\big [}(E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}}){\tfrac {t}{\hbar }}{\big ]}}{\pi (E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})}}.}$

STM での測定の時間スケールは、材料中の電子プロセスの典型的なフェムト秒の時間スケールよりも何桁も大きく、大きい。式の分数部分は、中央のピークから急速に減衰するの高速振動関数である。言い換えれば、最も可能性の高いトンネル過程は、電子のエネルギーが保存される弾性トンネル過程である。上記のように、分数はデルタ関数の表現であるため、 ${\displaystyle t/\hbar }$${\displaystyle (E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})}$${\displaystyle E_{\mu }^{\text{S}}=E_{\nu }^{\text{T}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\mu \to \nu }={\frac {2\pi }{\hbar }}|M_{\mu \nu }|^{2}\delta (E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}}).}$

固体システムは、離散的なエネルギーレベルではなく連続的なエネルギーレベルとして記述されることが多い。この用語は、エネルギーを与える 先端の状態密度と考えることができる。${\displaystyle \delta (E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})}$${\displaystyle E_{\mu }^{\text{S}},}$

${\displaystyle \Gamma _{\mu \to \nu }={\frac {2\pi }{\hbar }}|M_{\mu \nu }|^{2}\rho _{\text{T}}(E_{\mu }^{\text{S}}).}$

サンプル内のエネルギーと の間のエネルギー レベルの数はです。これらのレベルは占有されている場合、スピン縮退しており (一部の特殊なクラスの材料を除く)、いずれかのスピンの電荷を含みます。電圧 にバイアスされたサンプルでは、​​フェルミ-ディラック分布によって各電極に与えられた占有が同じではない状態間でのみトンネル効果が発生します。つまり、どちらか一方が占有されていて、両方が占有されていない場合です。これは、 がゼロでないすべてのエネルギーで発生します。たとえば、サンプル内のエネルギー レベルからチップ内のエネルギー レベル( ) に電子がトンネル効果します。サンプル内の にある電子は、チップ内の( ) にある空の状態を見つけます。これは、その間のすべてのエネルギーで発生します。したがって、トンネル電流は、これらすべてのエネルギーにわたって、トンネル効果が許可されている利用可能な電子と、実際にトンネル効果が発生する確率係数を表す3 つの係数の積の小さな寄与の合計です。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon +\mathrm {d} \varepsilon }$${\displaystyle \rho _{\text{S}}(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon .}$${\displaystyle 2e\cdot \rho _{\text{S}}(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon }$${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle f(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )-f(E_{\text{F}}+\varepsilon )}$${\displaystyle E_{\text{F}}-eV}$${\displaystyle E_{\text{F}}}$${\displaystyle \varepsilon =0}$${\displaystyle E_{\text{F}}}$${\displaystyle E_{\text{F}}+eV}$${\displaystyle \varepsilon =eV}$${\displaystyle 2e\cdot \rho _{\text{S}}(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon }$${\displaystyle f(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )-f(E_{\text{F}}+\varepsilon )}$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle I_{t}={\frac {4\pi e}{\hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }[f(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )-f(E_{\text{F}}+\varepsilon )]\,\rho _{\text{S}}(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )\,\rho _{\text{T}}(E_{\text{F}}+\varepsilon )\,|M|^{2}\,d\varepsilon .}$

典型的な実験は液体ヘリウム温度（約4K）で行われ、この温度では電子集団のフェルミ準位のカットオフは1ミリ電子ボルト未満である。許容されるエネルギーは2つの階段状のフェルミ準位の間のエネルギーのみであり、積分は次のようになる。

${\displaystyle I_{t}={\frac {4\pi e}{\hbar }}\int _{0}^{eV}\rho _{\text{S}}(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )\,\rho _{\text{T}}(E_{\text{F}}+\varepsilon )\,|M|^{2}\,d\varepsilon .}$

バイアスが小さい場合、電子波動関数、ひいてはトンネル行列要素は狭いエネルギー範囲では大きく変化しないと仮定するのが妥当です。この場合、トンネル電流は単にサンプル表面と先端の状態密度の畳み込みになります。

${\displaystyle I_{t}\propto \int _{0}^{eV}\rho _{\text{S}}(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )\,\rho _{\text{T}}(E_{\text{F}}+\varepsilon )\,d\varepsilon .}$

トンネル電流が2つの電極間の距離にどのように依存するかは、トンネル行列要素に含まれる。

${\displaystyle M_{\mu \nu }=\int _{z>z_{0}}\psi _{\mu }^{\text{S}}\,U_{\text{T}}\,{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$

この式は、ポテンシャルへの明示的な依存性が残らないように変形することができる。まず、先端のシュレーディンガー方程式から部分を取り出し、弾性トンネル条件を用いて ${\displaystyle U_{\text{T}}\,{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}}$

${\displaystyle M_{\mu \nu }=\int _{z>z_{0}}\left({\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}E_{\mu }\psi _{\mu }^{\text{S}}+\psi _{\mu }^{\text{S}}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$

はサンプルのシュレーディンガー方程式に存在し、運動力学とポテンシャル演算子を足したものに等しい。しかし、 U _{S を}含むポテンシャル部分は障壁の先端側でほぼゼロである。残るのは、 ${\displaystyle E_{\mu }\,{\psi _{\mu }^{\text{S}}}}$${\displaystyle \psi _{\mu }^{\text{S}}.}$

${\displaystyle M_{\mu \nu }=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{z>z_{0}}\left({\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}{\psi _{\mu }^{\text{S}}}-{\psi _{\mu }^{\text{S}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z,}$

括弧内の積分関数が等しいので、zについて積分できる。${\displaystyle \partial _{z}\left({\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\,\partial _{z}\psi _{\mu }^{\text{S}}-{\psi _{\mu }^{\text{S}}}\,\partial _{z}{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\right).}$

バーディーンのトンネル行列要素は、2 つの平面電極を分離する表面上の波動関数とその勾配の積分です。

${\displaystyle M_{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{z=z_{0}}\left({\psi _{\mu }^{\text{S}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}-{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}{\frac {\partial }{\partial z}}{\psi _{\mu }^{\text{S}}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y.}$

トンネル電流が電極の間隔に対して指数関数的に依存するのは、表面の電位ステップを通過して漏れ出し、材料の外側の古典的な禁制領域に指数関数的に減衰する波動関数そのものに起因します。

トンネル行列要素は、かなりのエネルギー依存性を示し、 eV間隔の上限からのトンネルは、その下限の状態からのトンネルよりもほぼ 1 桁可能性が高い。サンプルが正にバイアスされると、その非占有レベルは、先端の状態密度がフェルミ レベルに集中しているかのようにプローブされる。逆に、サンプルが負にバイアスされると、その占有電子状態がプローブされるが、先端の電子状態のスペクトルが支配的になる。この場合、先端の状態密度が可能な限り平坦であることが重要になる。^[5]

2つの電極の断熱的接近を考慮し、標準的な時間依存摂動理論を使用することで、バーディーンのものと同一の結果が得られます。^[15]これにより、上記の形式の 遷移確率に関するフェルミの黄金律が導かれます。${\displaystyle \Gamma _{\mu \to \nu }}$

バーディーンのモデルは、2つの平面電極間のトンネル現象に関するものであり、走査型トンネル顕微鏡の横方向分解能を説明するものではありません。テルソフとハマン^{[17] [18] [19]}はバーディーンの理論を用いて、先端を構造のない幾何学的点としてモデル化しました。^[5]これにより、モデル化が難しい先端の特性をサンプル表面の特性から切り離すことができました。主な結果は、トンネル電流は、球対称の先端の曲率中心の位置でとられたフェルミ準位でのサンプルの局所状態密度に比例するというものでした（s波先端モデル）。このような単純化により、彼らのモデルは、1ピコメートル未満の原子スケールの波形を予測したにもかかわらず、1ナノメートルを超える表面特徴の画像を解釈するのに役立つことが証明されました。これらは顕微鏡の検出限界をはるかに下回っており、実験で実際に観察された値も下回っています。

ナノメートル以下の解像度の実験では、同じスキャン内で観察される可能性のある原子波形の見かけ上の反転の程度まで、先端とサンプル表面の状態の畳み込みが常に重要になります。このような効果は、表面と先端の電子状態、および 2 つの電極が相互作用する方法を第一原理からモデル化することによってのみ説明できます。

• 
  パラジウムの (111) 表面のテラス上に成長した 1 原子厚の銀島。画像サイズは 250 nm x 250 nm。
• 
  金の(100)表面上の特徴的な再構成縞は 幅1.44nm ^[20]で、結晶バルクの5列の上にある6つの原子列で構成されています。画像サイズは約10nm×10nmです。
• 
  単層カーボンナノチューブの長さ7nmの部分。
• 
  炭化ケイ素(SiC)の結晶表面上の原子は六角形の格子状に配置されており、原子間の間隔は 0.3 nm です。
• 
  ミュンヘンのナノサイエンスセンター(CeNS) のロゴを刻むためにグラファイト上で PTCDA 分子を STM ナノ操作します。

ビニングとローラーの発明に似た以前の発明として、NISTのR.ヤング、J.ワード、F.サイアによるトポグラファイナーがあるが、これは電界放出を利用したものであった。^[21]しかし、トンネル効果を利用することでより優れた解像度を実現できるはずだと気づいたのはヤングであるとノーベル委員会は評価している。^[22]

STM をベースにした他の多くの顕微鏡技術が開発されている。これらには、光学チップを使用して光子をトンネルする光子走査顕微鏡(PSTM) 、表面全体の電位を測定する走査トンネル電位測定法 (STP)、^[4]強磁性チップを使用してスピン偏極電子を磁性サンプルにトンネルするスピン偏極走査トンネル顕微鏡(SPSTM)、 ^{[23]ナノスケールでの電気測定を可能にする}マルチチップ走査トンネル顕微鏡、およびチップとサンプル間の相互作用によって生じる力を測定する原子間力顕微鏡(AFM) が含まれる。

STM は原子を操作し、サンプルのトポグラフィーを変更するために使用できます。これはいくつかの理由で魅力的です。まず、STM は原子レベルの精度で位置決めできるシステムを備えているため、非常に正確な原子スケールの操作が可能です。さらに、チップで表面を変更した後、同じ機器を使用して結果として生じる構造を画像化できます。IBMの研究者は、ニッケル表面に吸着したキセノン原子を操作する方法を開発したことで有名です。^[4]この技術は、吸着した少数の原子で電子囲いを作成し、基板表面の電子密度のフリーデル振動を観察するために使用されています。実際のサンプル表面を変更する以外に、STM を使用してサンプル上の電子ビームフォトレジストの層に電子をトンネルさせてリソグラフィーを行うこともできます。これには、従来の電子ビーム リソグラフィーよりも露光を制御できるという利点があります。 STM のもう一つの実用的な応用は、任意の (事前にプログラムされた) パターンを持つ金属 (金、銀、タングステンなど) の原子堆積であり、これはナノデバイスへの接点として、またはナノデバイス自体として使用できます。^{[引用が必要]}

Wikibooks には、次のトピックに関する書籍があります:ナノサイエンスとナノテクノロジーのオープンソース ハンドブック

ウィキメディア・コモンズには、走査型トンネル顕微鏡に関連するメディアがあります。

• 走査トンネル顕微鏡の動作を電子顕微鏡で撮影した画像
• STM の内部構造 - アニメーションによる説明 WeCanFigureThisOut.org
• オシロスコープを除いて材料費100ドル未満でシンプルなSTMを構築する
• 電子顕微鏡を含む各種顕微鏡のアニメーションと解説（パリ南大学）
• わかりやすい英語で学ぶSTM入門（ハーバード大学）