トポロジカル絶縁体とトポロジカル超伝導体の周期表

トポロジカル絶縁体とトポロジカル超伝導体の周期表は、トポロジカル絶縁体とトポロジカル超伝導体の10分類とも呼ばれ、トポロジーの凝縮物質物理学への応用である。次元と離散対称性クラスを与えられたトポロジカル絶縁体とトポロジカル超伝導体の位相不変量の数学的群を示す。 ^[1] 10の可能な離散対称性ファミリーは、粒子正孔対称性、時間反転対称性、およびカイラル対称性の3つの主要な対称性に従って分類される。この表は、2008年から2010年の間に^{[1] Andreas P. Schnyder、} Shinsei Ryu、Akira Furusaki、Andreas WW Ludwigの共同研究、および^{[2] [3]} Alexei Kitaevによって独自に開発されました。^[4]

これらの表は、粒子間相互作用を除外した場合の、エネルギーギャップを持つトポロジカル絶縁体とトポロジカル超伝導体に適用されます。相互作用が含まれる場合、この表は有効ではなくなります。^[1]

トポロジカル絶縁体と超伝導体は、ここでは10の対称性クラス（A、AII、AI、BDI、D、DIII、AII、CII、C、CI）に分類されます。これらはアルトランド・ツィルンバウアー分類にちなんで名付けられ、ここでは時間反転演算子、電荷共役、およびカイラル対称性の3つの演算子に関するシステムの特性によって定義されます。対称性クラスは、ボットクロック（以下を参照）に従って順序付けられ、同じ値が対角線で繰り返されます。^[5]${\displaystyle T}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S}$

「対称性」の表のXは​​、対称性のハミルトニアンが与えられた演算子に関して破れていることを示します。±1の値は、そのシステムの演算子の2乗の値を示します。^[5]

次元はシステムの次元性を示します: 1D (チェーン)、2D (平面)、3D 格子。任意の数の正の整数次元まで拡張できます。以下では、特定のクラスと次元に対して表にまとめられた 4 つのグループ値があります: ^[5]

• 値 0 は、そのクラスと次元にトポロジ フェーズが存在しないことを示します。
• このグループは、位相不変量が整数値 (例: ±0、±1、±2、...) を取ることができることを示します。${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• のグループは、位相不変量が偶数値 (例: ±0、±2、±4、...) を取ることができることを示します。${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$
• のグループは、位相不変量が 2 つの値 (例: ±1) を取ることができることを示します。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

非カイラルなSu-Schrieffer-Heeger模型( )は、ゲージ不変性による整数位相不変量を持つ対称性クラスBDIに関連付けることができます。^{[6] [7]この問題は、整数}チャーン数を持つAクラスである整数量子ホール効果と量子異常ホール効果(両方とも)に似ています。^[8]${\displaystyle d=1}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle d=2}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

対照的に、キタエフ鎖（）は、2元位相不変量を持つ対称性クラスDの例である。^[7]同様に、超伝導体（）もクラスDであるが、位相不変量を持つ。^[7]${\displaystyle d=1}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle p_{x}+ip_{y}}$${\displaystyle d=2}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

ケイン・メレ模型によって記述される量子スピンホール効果（）は、位相不変量を持つAIIクラスの例である 。^[9]${\displaystyle d=2}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

トポロジカル絶縁体と超伝導体には 10 個の離散対称性クラスがあり、ランダム行列の 10 個のアルトランド-ツィルンバウアークラスに対応しています。これらは、ハミルトニアン の 3 つの対称性によって定義されます(ここで、、、は、任意の空間基底におけるモード の消滅演算子と生成演算子です)。3 つの対称性は、時間反転対称性、粒子-正孔 (または電荷共役) 対称性、およびカイラル(またはサブ格子) 対称性です。 ${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i,j}H_{ij}c_{i}^{\dagger }c_{j}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle c_{i}^{\dagger}}$${\displaystyle i}$

• カイラル対称性は、 に対してユニタリ回転 ( 、) として作用し、 を満たすユニタリ演算子 です。ハミルトニアンは、 のある選択に対して のときカイラル対称性を持ちます(第一量子化ハミルトニアンのレベルでは、これはと が反交換行列であることを意味します)。${\displaystyle S}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle Sc_{i}S^{-1}=(U_{S})_{ij}c_{j}}$${\displaystyle S^{2}=1}$${\displaystyle H}$${\displaystyle S{\hat {H}}S^{-1}=-{\hat {H}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle U_{S}}$${\displaystyle H}$

• 時間反転対称性 (TRS) は反ユニタリー演算子 で、 に として作用します(ここで、は任意の複素係数、 は複素共役を表します) 。は複素共役演算子、 はユニタリー行列と書くことができます。 または のいずれかです。時間反転対称性を持つハミルトニアンは を満たすか、または第一量子化行列のレベルで を何らかの に対して選択します。${\displaystyle T}$${\displaystyle \alpha c_{i}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle ^{*}}$${\displaystyle T\alpha c_{i}T^{-1}=\alpha ^{*}{(U_{T})}_{ij}c_{j}}$${\displaystyle T=U_{T}{\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle U_{T}}$${\displaystyle T^{2}=1}$${\displaystyle T^{2}=-1}$${\displaystyle T{\hat {H}}T^{-1}={\hat {H}}}$${\displaystyle U_{T}H^{*}U_{T}^{-1}=H}$${\displaystyle U_{T}}$

• 電荷共役または粒子空孔対称性 (PHS)も反ユニタリー演算子であり、としてに作用し、 がユニタリーであると書くことができます。 が何であるかによって、 またはのいずれかになります。 粒子空孔対称性を持つハミルトニアンは を満たすか、または第一量子化ハミルトニアン行列のレベルで、のいくつかの選択に対して を満たします。${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha c_{i}}$${\displaystyle C\alpha c_{i}C^{-1}=\alpha ^{*}(U_{C}^{\dagger })_{ji}c_{j}}$${\displaystyle C=U_{C}{\mathcal {K}}}$${\displaystyle U_{C}}$${\displaystyle C^{2}=1}$${\displaystyle C^{2}=-1}$${\displaystyle U_{C}}$${\displaystyle C{\hat {H}}C^{-1}=-{\hat {H}}}$${\displaystyle U_{C}H^{*}U_{C}^{-1}=-H}$${\displaystyle U_{C}}$

結晶構造に対するブロッホハミルトニアン形式においては、ハミルトニアンが結晶運動量のモードに作用し、カイラル対称性、TRS、およびPHS条件は ${\displaystyle H(k)}$${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle U_{S}H(k)U_{S}^{-1}=-H(k)}$（カイラル対称性）

• ${\displaystyle U_{T}H(k)^{*}U_{T}^{-1}=H(-k)}$（時間反転対称性）、

• ${\displaystyle U_{C}H(k)^{*}U_{C}^{-1}=-H(-k)}$（粒子-正孔対称性）。

これらの 3 つの対称性のうち 2 つが存在する場合、関係式により 3 番目も存在することが明らかです。 ${\displaystyle S=TC}$

前述の離散対称性は、ランダム行列のアルトランド-ツィルンバウアー クラスと一致する 10 個の異なる離散対称性クラスにラベルを付けます。

特定の対称群のバルク ハミルトニアンは、グループの対称制約を満たす、ゼロ エネルギーの固有値を持たないエルミート行列に制限されます (つまり、スペクトルが「ギャップ」になり、システムがバルク絶縁体になります)。次元の場合、このハミルトニアンはブリルアン ゾーンの ブロッホ運動量ベクトルのパラメーターの連続関数です。この場合、対称制約はすべての に対して保持される必要があります。 ${\displaystyle d>0}$${\displaystyle H(k)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$

2 つのハミルトニアンとが与えられた場合、対称性制約とギャップを維持しながら を に連続的に変形することが可能です(つまり、すべてのハミルトニアンの に対して 0 の固有値が存在せず、対称性条件が維持され、 およびとなるような連続関数が存在します)。このとき、 と は同等であると言えます。 ${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle H(t,{\vec {k}})}$${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$${\displaystyle H(0,{\vec {k}})=H_{1}({\vec {k}})}$${\displaystyle H(1,{\vec {k}})=H_{2}({\vec {k}})}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$

ただし、このような連続的な変形がないことが判明する可能性もあります。この場合、物理的には、それぞれバルク ハミルトニアンとを持つ 2 つの材料が、その間にエッジを挟んで隣接している場合、エッジを連続的に移動すると、ゼロの固有値に遭遇する必要があります (これを回避する連続的な変換がないため)。これは、ギャップのないゼロ エネルギー エッジ モード、またはエッジに沿ってのみ流れる電流として現れる場合があります。 ${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$

興味深い質問は、対称性クラスとブリルアンゾーンの次元が与えられた場合、ハミルトニアンの同値クラスはすべて何であるかを尋ねることです。各同値クラスは、位相不変量によってラベル付けできます。位相不変量が異なる 2 つのハミルトニアンは、互いに変形できず、異なる同値クラスに属します。

それぞれの対称性クラスについて、ハミルトニアンを「射影的」ハミルトニアンに変形し、そのようなハミルトニアンが存在する対称空間を考慮することで、問題を単純化することができます。これらの分類空間は、それぞれの対称性クラスに対して示されています。^[4]

例えば、対称性クラスAIの（実対称）ハミルトニアンは、正の固有値が+1に変形され、負の固有値が-1に変形される。結果として生じるこのような行列は、実グラスマン多様体の和集合によって記述される。${\displaystyle n}$${\displaystyle N-n}$ ${\displaystyle \bigcup _{n=0}^{\infty }\mathrm {Gr} (n,N)=\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathrm {O} (N)/\mathrm {\mathrm {O} } (n)\times \mathrm {\mathrm {O} } (N-n)}$

次元の多バンド系の強い位相不変量は、対称空間の - 番目のホモトピー群 の要素でラベル付けできます。これらの群は、位相絶縁体の周期表と呼ばれるこの表に表示されます。${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

また、この表には含まれていない弱い位相不変量（ブリルアンゾーンのサスペンションが実際には低次元の球でくさび形にされた球と同等であるという事実に関連）も存在する可能性があります。さらに、この表はバンドの数が無限であるという極限、つまり のハミルトニアンを前提としています。 ${\displaystyle d+1}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle N\to \infty }$

この表は、次元の不変量の群が次元の不変量の群と同じであるという意味で周期的でもある。反ユニタリー対称性がない場合、不変量は次元 2 で周期的である。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle d+8}$

非自明な対称性クラスの場合、実際の不変量は、ブリルアンゾーンの全体または一部にわたる次の積分のいずれかによって定義できます：チャーン数、ウェス・ズーミノ巻き数、チャーン・サイモンズ不変量、フー・ケイン不変量。

周期表には特異な性質も見られる。次元の不変群は次元の不変群と同じだが、対称性クラスが異なる。複素対称性クラスのうち、次元 A の不変群は次元AIII の不変群と同じであり、その逆もまた同様である。また、8 つの実対称性クラスをそれぞれ直交平面上に配置して、時間反転対称性が存在する場合は座標が、存在しない場合は座標が、粒子ホール対称性が存在する場合は座標が、存在しない場合は座標がとなるように配置することも考えられる。すると、ある実対称性クラスの次元の不変群は、時計回りに 1 空間だけ離れた対称性クラスの次元の不変群と同じになる。この現象は、アレクセイ・キタエフによってボット周期性定理にちなんでボット時計と名付けられた。^{[1] [10]}${\displaystyle d}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle y}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d-1}$

ボット時計は、クリフォード代数の拡張の問題を考えることによって理解できる。^[1] 2 つの等価でないバルク材料間の界面の近くでは、ハミルトニアンはギャップが閉じる状態に近づく。ギャップが閉じる状態からわずかに離れた状態で運動量が最低次まで拡張すると、ハミルトニアンはディラック ハミルトニアン の形をとる。ここで、はクリフォード代数 の表現であり、は追加された「質量項」であり、 と はハミルトニアンの残りの部分と反交換し、界面で消える (したがって、 で界面にギャップのないエッジ モードを与える)。界面の片側のハミルトニアンの項は、界面の反対側のハミルトニアンの項に連続的に変形することはできない。したがって (を任意の正のスカラーとする)、位相不変量を分類する問題は、対称性の制約を維持しながら、 の可能なすべての等価でない選択肢を分類してクリフォード代数を 1 つ高い次元に拡張する問題に帰着する。 ${\displaystyle H_{\text{Dirac}}({\vec {k}})=\sum _{j=1}^{d}\Gamma _{j}v_{j}k_{j}+m\Gamma _{0}}$${\displaystyle \Gamma _{1},\Gamma _{2},\ldots ,\Gamma _{d}}$${\displaystyle \lbrace \Gamma _{i},\Gamma _{j}\rbrace =2\delta _{ij}}$${\displaystyle m\Gamma _{0}}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle m\Gamma _{0}}$${\displaystyle m\Gamma _{0}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Gamma _{0}}$

• 対称性が保護された位相的秩序

• Altland, Alexander; Zirnbauer, Martin R. (1997). 「メソスコピック常伝導-超伝導ハイブリッド構造における新しい対称性クラス」. Physical Review B. 55 ( 2): 1142. arXiv : cond-mat/9602137 . Bibcode :1997PhRvB..55.1142A. doi :10.1103/PhysRevB.55.1142. S2CID  96427496.

• Baez, John C. (2014-07-19). 「The Tenfold Way (Part 1)」. The n-Category Café . 2018-10-26閲覧。