ラウンド関数

位相幾何学および微積分学において、円関数は多様体上のスカラー関数 であり、その臨界点は1 つまたは複数の連結成分を形成し、各成分は円に同相であり、臨界ループとも呼ばれます。これらは、モース・ボット関数の特殊なケースです。 ${\displaystyle M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{1}}$

例えば、 をトーラスとします。 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle K=(0,2\pi )\times (0,2\pi ).\,}$

すると地図が

${\displaystyle X\colon K\to {\mathbb {R} }^{3}\,}$

与えられた

${\displaystyle X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )\,}$

はほぼすべての に対するパラメータ化である。ここで、射影によって、 次の制約が得られる。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi _{3}\colon {\mathbb {R} }^{3}\to {\mathbb {R} }}$

${\displaystyle G=\pi _{3}|_{M}\colon M\to {\mathbb {R} },(\theta ,\phi )\mapsto \sin \theta \,}$

${\displaystyle G=G(\theta ,\phi )=\sin \theta }$は、その臨界集合が次のように決定される関数である。

${\displaystyle {\rm {grad}}\ G(\theta ,\phi )=\left({{\partial }G \over {\partial }\theta },{{\partial }G \over {\partial }\phi }\right)\!\left(\theta ,\phi \right)=(0,0),\,}$

これは の場合に限ります。 ${\displaystyle \theta ={\pi \over 2},\ {3\pi \over 2}}$

これらの2つの値は臨界集合を与える ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,1)\,}$

${\displaystyle X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,-1)\,}$

これらはトーラス上の2つの極値円を表します。 ${\displaystyle M}$

この関数の ヘッセ行列は

${\displaystyle {\rm {hess}}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}}$

これは明らかに、タグ付けされた円でのランクが 1 に等しいことを示し、臨界点が退化していること、つまり、臨界点が孤立していないことを示しています。 ${\displaystyle {\rm {hess}}(G)}$

L-Sカテゴリ理論を模倣して、多様体上のラウンド関数が存在するかどうか、および/または臨界ループの最小数を尋ねることで、 ラウンド複雑度を定義できます。

• Siersma and Khimshiasvili、「最小ラウンド関数について」、プレプリント1118、ユトレヒト大学数学部、1999年、pp. 18.[1]。[2]で更新