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床屋のパラドックスはラッセルのパラドックスから派生したパズルである。バートランド・ラッセルはこれをラッセルのパラドックスの例として使用したが、彼はこれを匿名の人物が提案したものだと主張している。 [1]このパズルは、一見もっともらしいシナリオが論理的に不可能であることを示している。具体的には、自分で髭を剃ると同時に髭を剃らないと定義されている床屋を描写しており、そのような床屋は存在しないことを意味している。[2] [3]
パラドックス
床屋とは「自分で髭を剃らない人全員の髭を剃る人」である。問題は、床屋が自分で髭を剃るかどうかである。[1]
この質問に対するどんな答えも矛盾を生じます。
- 床屋は、自分で髭を剃らない人の髭を剃るだけなので、自分で髭を剃ることはできません。したがって、自分で髭を剃ると、指定された床屋ではなくなります。
- 逆に、理容師が自分で髭を剃らない場合、その理容師は指定された理容師が髭を剃る人々のグループに該当するため、その理容師として自分で髭を剃らなければなりません。
本来の形では、このパラドックスには解決法がありません。なぜなら、そのような床屋は存在し得ないからです。この質問は、存在し得ない床屋の存在を前提としている点で、意味深な質問であり、これは空虚な命題であり、したがって誤りです。パラドックスではないバリエーションは他にもありますが、それらは異なります。[3]
歴史
このパラドックスは、しばしばバートランド・ラッセルのものだと考えられている（例えば、マーティン・ガードナーの著書『Aha! 』）。これはラッセルのパラドックス[1]の別の形としてラッセルに示唆されたもので、ラッセルはゲオルク・カントールやゴットロープ・フレーゲが用いた集合論には矛盾が含まれていることを示すためにこのパラドックスを考案した。しかし、ラッセルはバーバーのパラドックスが自身の例であることを否定した。
その矛盾 [ラッセルのパラドックス] は非常に興味深いものです。その形式は変更できます。変更には有効な形式と無効な形式があります。私はかつて、床屋が自分のひげを剃るかどうかという問題という、有効ではない形式を提案されたことがあります。床屋を「自分のひげを剃らない人全員、そしてその人たちだけを剃る人」と定義できます。問題は、床屋が自分のひげを剃るかどうかです。この形式では、矛盾を解決するのはそれほど難しくありません。しかし、前の形式では、クラスがそれ自身のメンバーであるかどうかという問題全体がナンセンスである、つまり、どのクラスもそれ自身のメンバーであるわけでも、メンバーでないわけでもない、そして、言葉の形式全体が意味のない雑音にすぎないため、そう言うことすら正しくない、と観察することによってのみ、矛盾を回避できることは明らかだと思います。
— バートランド・ラッセル『論理的原子論の哲学』[1]
この点については、「ラッセルのパラドックスの応用版」でさらに詳しく説明します。
一階論理では
この文は、床屋x が存在すると述べています。その真理値は偽です。なぜなら、存在節は全称量化子 により充足不可能 (矛盾) だからです。全称量化されたyには、悪名高い床屋xを含むドメイン内のすべての要素が含まれます。したがって、値xがyに割り当てられると、全称量化子の文は に書き換えることができ、これは矛盾 の例です。文は双条件文に対して偽であるため、全称節全体が偽です。存在節は 1 つの偽のオペランドとの結合であるため、文全体が偽です。これを示す別の方法は、文全体を否定してトートロジーに到達することです。誰もそのような床屋ではないため、パラドックスを解決できません。[2] [3]
参照
参考文献
- ^ abcd ラッセル、バートランド (1919)。「論理的原子論の哲学」、バートランド・ラッセル論文集、1914-19、第 8 巻、p. 228に再録
- ^ ab 「理髪師のパラドックス」。UMSL 。 2023年10月21日閲覧。
- ^ abc 「バーバーパラドックス」。オックスフォードリファレンス。 2023年10月21日閲覧。
外部リンク
- 理髪師のパラドックスの提案
- ジョイス、ヘレン。「数学の謎：理髪師のパラドックス」。Plus 、 2002 年 5 月。
- エドガー・ダイクストラの問題に対する見解
- ラッセル、バートランド(1919) 。 「論理的原子論の哲学」。モニスト。29 (3): 345–380。doi :10.5840/monist19192937。JSTOR 27900748。