二重拡張集合論

数学において、二重拡大集合論（Double extension set theory、DEST）は、 Andrzej Kisielewicz によって提唱された公理的集合論であり、集合の宇宙における 2 つの別個の帰属関係（^{[1] は}ここで および で示される）と、この 2 つを関連付ける公理の集合から構成される。2 つの帰属関係を定義する目的は、無制限の内包の公理を大幅に弱めることなく、集合論の通常のパラドックスを回避することである。 ${\displaystyle \in }$${\displaystyle \varepsilon }$

直感的に、DEST では、内包は、一方の所属関係 のみを含む式を使用して、もう一方の所属関係 のみを含む式で、集合の要素を定義するために使用されます。を、所属関係 を含まない DEST の言語での自由変数を持つ一階の式とします。すると、DEST の公理は、となる集合を仮定します。たとえば、 はのみを含む式であるため、DEST は、となるラッセル集合 を仮定します。 については、 となることに注意してください。所属関係が異なるため、ラッセルのパラドックスを回避できます。 ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle A=\{x|\phi (x)\}}$${\displaystyle x\varepsilon A\iff \phi (x)}$${\displaystyle x\notin x}$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R=\{x|x\notin x\}}$${\displaystyle x\varepsilon R\iff x\notin x}$${\displaystyle x=R}$${\displaystyle R\varepsilon R\iff R\notin R}$

DEST では、2 つのメンバーシップ関係の下での拡張が一致する集合、つまり が成り立つ集合である正則集合に焦点が当てられています。前述の議論は、ラッセル集合が正則ではあり得ないことを示唆しています。そうでなければ、ラッセルのパラドックスにつながります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \forall x.x\in A\iff x\varepsilon A}$${\displaystyle R=\{x|x\notin x\}}$