ヤマベの流れ

微分幾何学において、ヤマベフローは固有の幾何学的フロー、つまりリーマン多様体の計量を変形するプロセスです。リチャード・S・ハミルトン^[1]によって初めて導入されたヤマベフローは、非コンパクト多様体に対するもので、与えられた共形クラスに制限された（正規化された）全スカラー曲率の 負のL ²勾配フローです。このフローが収束するときに、リーマン計量を一定のスカラー曲率の共形計量に変形すると解釈できます。

山辺フローは、リチャード・S・ハミルトン自身のリッチフローに関する研究と、正の共形山辺不変量の多様体上の山辺問題のリック・ショーンの解に応えて導入されました 。

ヤマベフローの不動点は、与えられた共形類における定スカラー曲率の計量である。このフローは、1980年代にリチャード・ハミルトンの未発表のノートで初めて研究された。ハミルトンは、すべての初期計量に対して、フローは定スカラー曲率の共形計量に収束すると推測した。これは、局所共形平坦なケースでルガン・イェによって検証された。^[2]その後、サイモン・ブレンドルは、すべての共形類と任意の初期計量に対してフローが収束することを証明した。^[3]この文脈では、定スカラー曲率の極限計量は、典型的にはもはやヤマベ最小化子ではない。コンパクトなケースは解決されているが、完全で非コンパクトな多様体上のフローは完全には理解されておらず、現在も研究されている。