アール・ハミルトンの不動点定理

数学において、アール・ハミルトンの不動点定理は幾何関数論における結果であり、複素バナッハ空間の開領域からそれ自身への正則写像が不動点を持つための十分条件を与えるものである。この結果は、1968年にクリフォード・アールとリチャード・S・ハミルトンによって、領域上のカラテオドリ計量に関して、正則写像が縮小写像となり、バナッハの不動点定理を適用できることを示すことによって証明された。

D を複素バナッハ空間Xの連結な開部分集合とし、f をD からD自身への正則写像とする。

• 画像f ( D ) はノルムにおいて有界である。
• 点f ( D ) とDの外部にある点との間の距離は、正の定数によって下限が定められている。

すると、写像fはD内に一意の不動点xを持ち、 y がD内の任意の点である場合、反復f ⁿ ( y )はxに収束します。

D をf ( D )の ε 近傍に置き換えると、 D自体がノルムで有界であると仮定できます。

zはDに属し、v はXに属する。

${\displaystyle \displaystyle {\alpha (z,v)=\sup _{g}|g^{\prime }(z)v|,}}$

ここで上限は、| g ( z )| < 1を満たすD上のすべての正則関数gについて取られます。

区分的に微分可能な曲線 γ:[0,1] の α 長さを定義します。${\displaystyle \rightarrow }$Dによる

${\displaystyle \displaystyle {\ell (\gamma )=\int _{0}^{1}\alpha (\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}}$

カラテオドリ計量は次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {d(x,y)=\inf _{\gamma (0)=x,\gamma (1)=y}\ell (\gamma )}}$

D内のxとyに対して。これは、ノルム位相に関してD x D上の連続関数です。

Dの直径がRより小さい場合、適切な正則関数gの形式をとることにより、

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=a(z)+b}}$

a がX *に属し、 b がCに属する場合、次のことが導かれる。

${\displaystyle \displaystyle {\alpha (z,v)\geq \|v\|/R,}}$

したがって

$\displaystyle \displaystyle {d(x,y)\geq \|xy\|/R.}}$

特に、d はD上の距離を定義します。

連鎖律

${\displaystyle \displaystyle {(g\circ f)^{\prime }(z)=g^{\prime }(f(z))f^{\prime }(z)}}$

意味するところは

${\displaystyle \displaystyle {\alpha (f(z),f^{\prime }(z)v)\leq \alpha (z,v)}}$

したがって、f はシュワルツ・ピックの不等式の次の一般化を満たす。

$\displaystyle \displaystyle {d(f(x),f(y))\leq d(x,y).}}$

δが十分に小さく、yがD内で固定されている場合、同じ不等式を正則写像に適用することができる。

${\displaystyle \displaystyle {f_{\delta ,y}(z)=f(z)+\delta (f(z)-f(y))}}$

そして、以下の改良された推定値が得られます。

$\displaystyle \displaystyle {d(f(x),f(y))\leq (1+\delta )^{-1}d(x,y).}}$

バナッハの不動点定理は、fをf ( D )の閉包に制限する場合に適用でき、その閉包上でd は完全計量を定義し、ノルムと同じ位相を定義します。

有限次元では、写像の正則性に頼ることなく、ブロワーの不動点定理から不動点の存在を導出できる場合が多い。ベルグマン計量を持つ有界対称領域の場合、ネレティン（1996）とクレルク（1998）は、アール・ハミルトンの定理で使用されているものと同じ証明スキームが適用できることを示した。有界対称領域D = G / Kは、ベルグマン計量に対する完備計量空間である。DをDに閉包する複素化G _cの開半群は縮小写像によって作用するため、ここでもバナッハの不動点定理を適用できる。ネレティンはこの議論を連続性によっていくつかの無限次元有界対称領域、特に作用素ノルムが 1 未満の対称ヒルベルト・シュミット作用素のジーゲル一般化ディスクに拡張した。この場合もアール・ハミルトンの定理は同様に適用できる。

• Earle, Clifford J.; Hamilton, Richard S. (1970),正則写像の不動点定理, Proc. Sympos. Pure Math., vol.  XVI, American Mathematical Society, pp . 61–65 
• Neretin, YA (1996), 『対称性のカテゴリーと無限次元群』、ロンドン数学会モノグラフ、第16巻 、オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-851186-8
• Clerc, Jean-Louis (1998)、「エルミート対称空間の圧縮と収縮」、Math. Z.、229：1–8、doi：10.1007/pl00004648、S2CID 122333415