複素微分形式

まず、1形式の場合から始めます。最初に、複素座標を実部と虚部に分解します。各jについてz ^j = x ^j + iy ^jとします。

${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},}$

複素係数を持つ任意の微分形式は、一意に和として表すことができることがわかる。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).}$

Ω ^1,0を、複素微分形式のみを含む空間とする。${\displaystyle dz}$'s とΩ ^0,1は、のみを含む形式の空間とする。$\displaystyle d{\bar {z}}}$コーシー・リーマン方程式により、空間Ω ^1,0とΩ ^0,1は正則座標変換に対して安定であることが示せる。言い換えれば、正則座標系のw _{i を異なる値に選択すると、} Ω ^1,0の要素はテンソル変換され、 Ω ^0,1の要素も同様になる。したがって、空間Ω ^0,1とΩ ^{1,0は複素多様体上の複素}ベクトル束を決定する。

複素微分形式のウェッジ積は、実数形式の場合と同様に定義されます。pとqをn ≤ nの非負整数の組とします。 ( p , q ) 形式の空間Ω ^p,qは、 Ω ^1,0のp個の要素とΩ ^0,1のq個の要素のウェッジ積の線形結合を取ることによって定義されます。記号的には、 

$\displaystyle \Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ 回}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ 回}}}}$

ここで、 Ω ^1,0のp個の因子とΩ ^0,1のq個の因子が存在する。1 形式の 2 つの空間と同様に、これらは正則座標変換に対して安定であり、したがってベクトル束を決定する。

E ^{k が}全次数kのすべての複素微分形式の空間である場合、E ^{kの各要素は、} p + q = kとなる空間Ω ^p,qの要素の線形結合として一意的に表現できます。より簡潔に言えば、直接和分解が存在します。

${\displaystyle E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.}$

この直接和分解は正則座標変換に対して安定であるため、ベクトル束分解も決定する。

特に、各kおよび p + q = k を満たす各pとqに対して、ベクトル束の正準射影が存在する。

${\displaystyle \pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.}$

通常の外部微分は、断面のマッピングを定義する。${\displaystyle d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}}$経由

$\displaystyle d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}}$

外微分は、それ自体では多様体のより厳密で複雑な構造を反映していない。

dと前の節で定義した射影を用いることで、ドルボー演算子を定義することができる。

${\displaystyle \partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}}$

これらの演算子をローカル座標で記述するために、

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}$

ここで、IとJは多重インデックスである。すると

${\displaystyle \partial \alpha =\sum _{I,J}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{I,J}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.}$

以下の性質が成り立つことが確認された。

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.}$

これらの演算子とその性質は、ドルボーコホモロジーとホッジ理論の多くの側面の基礎を形成している。

複素多様体の星形領域では、ドルボー演算子は、ホモトピー演算子の分割によって生じる双対ホモトピー演算子^{[ 1 ]を持つ。}${\displaystyle d}$^{[ 1 ]}これは複素多様体上のポアンカレの補題の内容である。

ポアンカレの補題${\displaystyle {\bar {\partial }}}$そして${\displaystyle \partial }$地域レベルでさらに改善できる${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-補題、これはすべての${\displaystyle d}$正確な複素微分形式は実際には${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-正確。コンパクトケーラー多様体では、局所的なグローバル形式が${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-補題が成り立つ、${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-補題。これはホッジ理論の結果であり、大域的に${\displaystyle d}$-完全（言い換えれば、ド・ラームコホモロジーにおけるクラスがゼロである）はグローバルに${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-ちょうど。

各pに対して、正則p形式は束Ω ^{p ,0}の正則切断である。したがって、局所座標では、正則p形式は次の形式で記述できる。

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}}$

どこで${\displaystyle f_{I}}$は正則関数である。同様に、複素共役の独立性により、( p ,  0)形式αは、以下の場合に限り正則である。

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0.}$

正則p形式の層は Ω p と表記されることが多いが、これは^時として混乱を招くことがあるため、多くの著者は別の表記法を採用する傾向がある。