マイヤーズの定理

マイヤーズの定理は、ボネ・マイヤーズの定理とも呼ばれ、リーマン幾何学という数学の分野における有名な基本定理です。1941年に サムナー・バイロン・マイヤーズによって発見されました。この定理は、次のことを主張しています。

を、ある固定された正の実数に対して、単位長さの任意のおよびに対して不等式を満たす、次元の完全連結リーマン多様体とします。このとき、 Mの任意の 2 点は、最大で長さ の測地線分で接続できます。${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(v)\geq (n-1){\frac {1}{r^{2}}}}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle v\in T_{p}M}$${\displaystyle \pi r}$

曲面の特殊なケースでは、この結果は1855 年に オシアン・ボネットによって証明されました。曲面の場合、ガウス曲率、断面曲率、およびリッチ曲率はすべて同じですが、断面曲率に正の下限を仮定すると、ボネットの証明は高次元に簡単に一般化できます。したがって、マイヤーズの主な貢献は、同じ結論に達するのに必要なのはリッチ下限だけであることを示すことでした。

定理の結論は、特に の直径が有限であることを示しています。したがって、任意の接空間内の有限半径の閉じた（したがってコンパクトな）球は指数写像によって の 全体に渡されるため、 はコンパクトでなければなりません。${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

非常に特殊なケースとして、これは、アインシュタインである任意の 完全かつ非コンパクトな滑らかなリーマン多様体は、非正のアインシュタイン定数を持つ必要があることを示しています。

は連結なので、滑らかな普遍被覆写像が存在します。上の引き戻し計量π ^* gを考えることができます。 は局所等長変換なので、マイヤーズの定理はリーマン多様体( N ,π ^* g )に適用され、したがって はコンパクトであり、被覆写像は有限です。これは、 の基本群が有限であることを意味します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi :N\to M.}$${\displaystyle N.}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

マイヤーズの定理の結論によれば、任意のd _g ( p , q ) ≤ π / √ kが成り立つ。1975 年にShiu-Yuen Cheng は次を証明した。 ${\displaystyle p,q\in M,}$

をn次元の完全で滑らかなリーマン多様体とする。kがRic ^g ≥ ( n -1) kを満たす正の数であり、Mにd _g ( p , q ) = π / √ kを満たすpとq が存在する場合、( M , g ) は単連結であり、一定の断面曲率kを持つ。${\displaystyle (M,g)}$

• グロモフのコンパクト性定理（幾何学）  – 与えられた次元のコンパクトリーマン多様体の集合が相対的にコンパクトであるとき

• アンブローズ、W. マイヤーズの定理。デューク数学J. 24 (1957)、345–348。
• Cheng、Shiu Yuen (1975)、「固有値比較定理とその幾何学的応用」、数学時代、143 (3): 289–297、doi :10.1007/BF01214381、ISSN  0025-5874、MR  0378001
• ド・カルモ、MP (1992)、リーマン幾何学、ボストン、マサチューセッツ州：ビルクハウザー、ISBN 0-8176-3490-8
• マイヤーズ、SB（1941）、「正の平均曲率を持つリーマン多様体」、デューク数学ジャーナル、8（2）：401–404、doi：10.1215 / S0012-7094-41-00832-3