調和座標

数学の一分野であるリーマン幾何学において、調和座標は滑らかな多様体上のある種の座標チャートであり、多様体上のリーマン計量によって決定されます。調和座標は規則的な性質があるため、幾何学的解析の多くの問題に役立ちます。

2次元では、等温座標として知られる特定の調和座標が1800年代初頭から研究されてきました。高次元の調和座標は、当初はアルベルト・アインシュタインとコルネリウス・ランチョスによってローレンツ幾何学と一般相対性理論の文脈で開発されました（調和座標条件を参照）。^{[1] 1981年の}デニス・デタークとジェリー・カズダンの研究に続いて、それらは幾何学解析の文献で重要な役割を果たし始めましたが、5年前にイジャド・サビトフとSZ・シェフェルが同じ発見をしていました。^[2]

( M , g )をn次元のリーマン多様体とする。Mの開集合U上で定義された座標チャート( x ¹ , ..., x ⁿ )が調和的であるとは、各座標関数x ^{i が}U上の調和関数である場合を言う。^[3]つまり、

${\displaystyle \Delta ^{g}x^{i}=0.\,}$

ここで、∆ ^{g は}ラプラス・ベルトラミ演算子である。自明なことに、座標系が調和的であるためには、U → ℝ ⁿの写像として座標が調和写像となる必要がある。ラプラス・ベルトラミ演算子の局所定義を直接計算すると、( x ¹ , ..., x ⁿ )が調和座標チャートとなる必要があるのは、次の場合のみであること がわかる。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\Gamma _{ij}^{k}=0{\text{ すべての }}k=1,\ldots ,n, に対して}$

ここでΓ^キイジ
_​は与えられたチャートのクリストッフェル記号である。 ^[4]固定された「背景」座標チャート( V、y )に対して、( x ¹、 ...、x ⁿ )をユークリッド空間の開集合上の関数x ∘ y ⁻¹の集合として見ることができる。 xに関する計量テンソルは、yに関する計量テンソルから、x ∘ y ⁻¹の一次導関数に関する局所計算によって得られるため、 xに関するクリストッフェル記号は、x ∘ y ⁻¹の二次導関数から計算される。したがって、上記の調和座標の両方の定義は、座標関数の二次偏微分方程式に関係するという質的特徴を持っている。

クリストッフェル記号の定義を用いると、上記の式は次の式と等しくなります。

${\displaystyle 2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}.}$

調和座標は常に（局所的に）存在し、これは楕円偏微分方程式の解の存在と正則性に関する標準的な結果から容易に導かれる結果である^{。[5] 特に、方程式∆g} u j ⁼ 0は、^u ( p )とdu pの_両方が規定される ように、任意の与えられた点pの周りの開集合に解を持つ。

調和座標における計量に関する基本的な正則性定理は、計量の成分が何らかの座標チャートで表現されたときにホルダー空間 C ^{k、 α}内にある場合、チャート自体の滑らかさに関係なく、その座標チャートから任意の調和座標チャートへの遷移関数はホルダー空間C ^{k + 1、 α}内にあるというものです。^[6]特に、これは計量が調和座標チャートに対してもC ^{k、 α内にあることを意味します。 [7]}

1922年にコーネリウス・ランチョスによって初めて発見されたように、調和座標チャートに対するリッチ曲率は次のように表される。

${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\sum _{a,b=1}^{n}g^{ab}{\frac {\partial ^{2}g_{ij}}{\partial x^{a}\partial x^{b}}}+\partial g\ast \partial g\ast g^{-1}\ast g^{-1}.}$

この式の基本的な側面は、任意の固定されたiおよびjに対して、右辺の第 1 項が局所的に定義された関数g _ijに適用された楕円演算子であるという点です。したがって、楕円の正則性、特にSchauder 推定値から、gがC ²で、調和座標チャートに対してRic(g)がC ^{k、 α}である場合、同じチャートに対してgがC ^{k + 2、 αであることは自動的にわかります。 [8]}より一般的には、gがC ^{k、 α} ( kは1 より大きい) で、ある座標チャートに対してRic(g)がC ^{l、 α}である場合、調和座標チャートへの遷移関数はC ^{k + 1、 α}となり、したがって調和座標チャートではRic(g)はC ^{min( l、k )、 α}となります。したがって、前の結果により、調和座標チャートではg はC ^{min( l、k ) + 2、 α}となります。^[9]

ランチョスの公式をさらに応用すると、アインシュタイン計量は調和座標において解析的であることがわかる。^[10]特に、これは滑らかな多様体上の任意のアインシュタイン計量が、調和座標チャートの集合によって与えられる多様体上の解析構造を 自動的に決定することを示す。

上記の分析により、調和座標を議論する際には、少なくとも2回連続微分可能なリーマン計量を考慮するのが標準的である。しかし、よりエキゾチックな関数空間を使用することで、調和座標の存在と正則性に関する上記の結果は、計量が非常に弱い正則性を持つ設定に拡張することができる。^[11]

調和座標は、ロバート・バートニックが漸近平坦リーマン多様体の幾何学的性質を理解するために使用した。^[12]完全なリーマン多様体( M、g )があり、Mのコンパクトな部分集合Kと、 M ∖ Kからℝ ⁿ ∖ B _R (0)への微分同相写像Φがあるとする。この場合、ℝ ⁿ ∖ B _R (0)上の標準ユークリッド計量δに対するΦ ^* gは、上下に正の数で一様に制限される固有値を持ち、x が無限大に発散するにつれて、 (Φ ^* g )( x )は、ある正確な意味で δ に収束する。このような微分同相写像は、無限大における構造、または( M、g )の漸近平坦座標として知られている。^[13]

バートニックの主な結果は、漸近平坦座標の集合（空でない場合）は単純な漸近構造を持ち、任意の2つの漸近平坦座標間の遷移関数は、無限大近くでアフィン変換によって近似されるというものである。^{[14]これは、漸近平坦リーマン多様体の}ADMエネルギーが漸近平坦座標の選択に依存しない幾何学的不変量であることを確立する上で重要である。 ^[15]

この事実を証明する鍵となるツールは、( M , g )の任意の漸近平坦座標を調和的な漸近平坦座標で近似することです。鍵となる技術的作業は、M上の関数の特定のバナッハ空間の間で作用するときのラプラス-ベルトラミ演算子のフレドホルム理論を確立することです 。^[16]次に、任意の漸近平坦座標Φが与えられたとき、

${\displaystyle \Delta ^{g}\Phi ^{k}=-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\Gamma _{ ij}^{k},}$

は無限大で減少しますが、フレドホルム理論から、Δ ^g Φ ^k = Δ ^g z ^kとなるような無限大で減少する関数z ^kが存在すること、したがってΦ ^k − z ^kが調和的であることが分かります。これにより、望ましい漸近平坦調和座標が得られます。次に、バートニックの主な結果は、 M上の漸近的に減少する調和関数のベクトル空間がn + 1次元を持つという事実から得られ、その結果、M上の任意の 2 つの漸近平坦調和座標はアフィン変換によって関連付けられることになります。^[17]

バートニックの研究は、漸近的に平坦な座標の存在を前提としている。彼の方法を基に、坂東茂俊、加須江篤、中島啓は、点からの距離による曲率の減衰、大きな測地球の体積の多項式成長、およびそれらの補集合の単純連結性から、漸近的に平坦な座標が存在することが示された。^{[18]重要な点は、彼らの幾何学的仮定が、以下で議論する調和半径に関するいくつかの結果を通じて、無限大に近い領域上の調和座標をうまく制御できるということである。1}の分割を使用することで、これらの調和座標をつなぎ合わせて単一の座標チャートを形成でき、これが主な目的である。^[19]

マイケル・アンダーソンによる基本的な結果は、滑らかなリーマン多様体、0 から 1 までの任意の正の数α 、任意の正の数Qが与えられたとき、 α、Q、リッチ曲率の上限と下限、次元、および入射半径の正の下限に依存する数rが存在し、 r未満の半径を持つ任意の測地球が調和座標の領域となり、これに対してgのC ^{1, α}サイズとgのユークリッド計量への均一な近さは両方ともQによって制御される、というものである。^[20]これはまた、尖ったリーマン多様体の「ノルム」の観点から再定式化することができ、ここでスケールrにおけるC ^{1, α}ノルムは、領域が半径rの測地球である調和座標のQの最適値に対応する。^[21]アンダーソンの研究の前後を問わず、様々な著者がこのような「調和半径」の推定値のバージョンを発見しました。^[22]証明の重要な側面は、楕円偏微分方程式の標準的な方法を介して、調和座標チャートのリッチ曲率のランチョス公式を分析することです。^[23]

したがって、大まかに言えば、調和座標の使用は、リーマン多様体が、リーマン計量の局所的表現がリーマン多様体自体の質的幾何学的動作によってのみ制御される座標チャートによってカバーできることを示している。1970年にジェフ・チーガーによって提示されたアイデアに従えば、一様に幾何学的に制御されるリーマン多様体のシーケンスを検討し、座標を使用して「極限」リーマン多様体を組み立てることができる。^[24]このような「リーマン収束」の性質により、たとえば、微分同相写像まで、リッチ曲率と直径の境界が固定され、単射半径の下限が正の固定であるリーマン計量を許容する、与えられた次元の滑らかな多様体は有限個しかないことになる。^[25]

このような調和半径の推定は、幾何学的に制御されたカットオフ関数、つまり1の分割を構成するためにも使用されます。たとえば、関数の2番目の共変微分を局所的に定義された2番目の偏微分によって制御するには、計量の局所表現の1番目の微分を制御する必要があります。このような構成は、非コンパクトなリーマン多様体上のソボレフ空間の基本的な側面を研究する上で基本的なものです。^[26]