非線形シグマモデル

量子場の理論において、非線形σモデルは、ターゲット多様体Tと呼ばれる非線形多様体内の値をとる場Σを記述する。非線形σモデルは、Gell-MannとLévy（1960、セクション6）によって導入され、彼らのモデルでσと呼ばれるスピンレス中間子に対応する場にちなんで名付けられた。^[1]この記事では、主に非線形シグマモデルの量子化を扱っています。一般的な定義と古典的な（非量子的な）定式化と結果については、シグマモデルの基本記事を参照してください。  

対象多様体Tにはリーマン計量 gが備わっている。Σはミンコフスキー空間 M (または他の空間) からTへの微分可能な写像である。

現代のカイラル形式におけるラグランジアン密度^[2]は次のように表される。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g(\partial ^{\mu }\Sigma ,\partial _{\mu }\Sigma )-V(\Sigma )}$

ここで、+ − − −メトリックシグネチャを使用し、偏微分 ∂Σ はジェットバンドルのT × Mのセクションで与えられ、Vはポテンシャルです。

座標表記では、座標Σ ^a、a  = 1、...、  n （nはTの次元） において、

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g_{ab}(\Sigma )(\partial ^{\mu }\Sigma ^{a})(\partial _{\mu }\Sigma ^{b})-V(\Sigma ).}$

2次元を超えると、非線形σモデルは次元結合定数を含むため、摂動論的に繰り込み可能ではない。しかし、格子定式化^{[3] [4]と}ケネス・G・ウィルソンが最初に提案した二重展開の両方において、繰り込み群の非自明な紫外固定点を示す。^[5]

どちらのアプローチでも、 O(n)対称モデルに対して見つかった非自明な繰り込み群の固定点は、2 次元以上で、秩序相と無秩序相を分ける臨界点を単純に記述することがわかります。さらに、O(n)モデルは物理的なハイゼンベルク強磁性体と関連システムを記述するため、改善された格子理論または量子場理論の予測は、臨界現象に関する実験室実験と比較できます。したがって、上記の結果は、2 次元を超えるO(n)対称モデルの物理的動作を正しく記述する上での素朴な摂動論の失敗と、格子定式化などのより洗練された非摂動論的方法の必要性を示しています。

これは、それらが有効場の理論としてのみ出現できることを意味する。2点接続された相関関数がターゲット多様体の曲率と同じオーダーである距離スケール付近で、新しい物理が必要である。これは、理論のUV完成と呼ばれる。内部対称群 G  *を持つ非線形σモデルの特別なクラスがある。Gがリー群で、H がリー部分群である場合、商空間 G / Hは多様体（H が閉部分集合であるなどの特定の技術的制限を受ける）であり、Gの同次空間、つまりGの 非線形実現でもある。多くの場合、G / Hには、 G不変なリーマン計量を備えることができる。これは常に当てはまり、たとえば、Gがコンパクトである場合です。G/H をターゲット多様体として、G不変リーマン計量とゼロポテンシャルを持つ非線形σモデルは、商空間（または剰余空間）非線形σモデルと呼ばれます。

経路積分を計算する場合、関数の測度はgの 行列式の平方根によって「重み付け」される必要がある。

${\displaystyle {\sqrt {\det g}}{\mathcal {D}}\Sigma .}$

このモデルは、2次元多様体がワールドシートと呼ばれる弦理論において関連性があることが証明された。その一般化された繰り込み可能性の評価はダニエル・フリーダンによってなされた。^[6]彼は、この理論が、摂動論の主要な次数で、次のような繰り込み群方程式を許容することを示した。

${\displaystyle \lambda {\frac {\partial g_{ab}}{\partial \lambda }}=\beta _{ab}(T^{-1}g)=R_{ab}+O(T^{2})~,}$

R _{ab は}ターゲット多様体の リッチテンソルです

これは、ターゲット多様体を固定点としてアインシュタイン場方程式に従うリッチフローを表します。このような固定点の存在は、摂動論のこの順序では共形不変性が量子補正によって失われないことを保証し、このモデルの 量子場理論が合理的（繰り込み可能）になるという点で重要です。

さらにフレーバーカイラル異常を表す非線形相互作用を加えると、ウェス・ズミノ・ウィッテンモデル[7]が得られ、これ^は 流れの幾何学を拡張してねじれを含み、繰り込み可能性を維持し、遠隔平行性（「ジオメトロスタシス」）のために赤外線固定点にもつながります^[8]

位相的性質から特に興味深い有名な例として、 1 + 1次元のO(3)非線形σモデルが挙げられ、ラグランジアン密度は

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\ \partial ^{\mu }{\hat {n}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {n}}}$

ここで n̂ =( n ₁ ,n ₂ ,n ₃ )であり、制約条件は n̂⋅n̂ = 1かつμ =1,2である。

このモデルは、無限の時空ではラグランジアン密度がゼロになる必要があるため、位相的な有限作用解を考慮しており、 これは無限大でn̂ = 定数であることを意味します。したがって、有限作用解のクラスでは、無限大の点を単一の点として識別できます。つまり、時空をリーマン球面と同一視できます。

n̂体は球面上にも存在するため 、写像 S ² → S ²が証明されており、その解は2次元球面の2番目のホモトピー群によって分類されます。これらの解はO(3)インスタントンと呼ばれます。

このモデルは 1+2 次元でも考えることができ、その場合、トポロジーは空間スライスからのみ得られます。これらは無限遠点を持つ R^2 としてモデル化されるため、1+1 次元の O(3) インスタントンと同じトポロジーを持ちます。これらはシグマ モデル ランプと呼ばれます。

• シグマモデル
• カイラルモデル
• リトル・ヒッグス
• 非線形シグマモデルにおけるソリトンであるスキルミオン
• ポリャコフの行動
• WZWモデル
• フビニ・スタディ・メトリック、非線形シグマモデルでよく使用されるメトリック
• リッチフロー
• スケール不変性

• Ketov, Sergei (2009). 「非線形シグマモデル」. Scholarpedia . 4 (1): 8508. Bibcode :2009SchpJ...4.8508K. doi : 10.4249/scholarpedia.8508 .
• Kulshreshtha, U.; Kulshreshtha, DS (2002). 「非線形シグマモデルのフロントフォームハミルトニアン、経路積分、および BRST 定式化」。国際理論物理学ジャーナル。41 (10): 1941–1956。doi : 10.1023 /A:1021009008129。S2CID 115710780  。