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幾何学において、ルーロー多角形は、一定の半径の円弧で構成された一定の幅の曲線です。[ 1 ]これらの形状は、その原型であるルーロー三角形にちなんで名付けられており、ルーロー三角形は、19 世紀のドイツのエンジニア、フランツ・ルーローにちなんで名付けられています。[ 2 ]ルーロー三角形は、正三角形の各隣接する頂点のペアを、反対側の頂点を中心とする円弧で結ぶことによって構成できます。ルーロー多角形は、奇数個の辺を持つ任意の正多角形や特定の不規則多角形から同様の構成によって形成できます。一定の幅の曲線はすべて、ルーロー多角形によって正確に近似できます。これらは、硬貨の形状に使用されています。
もしは奇数個の辺を持つ凸多角形で、各頂点は対向する2つの頂点から等距離にあり、他のすべての頂点からより近い。次に、各辺を置き換える。反対側の頂点を中心とする弧によって、ルーロー多角形が生成される。特殊な場合として、この構成は奇数個の辺を持つすべての正多角形に対して可能である。 [ 1 ]
すべてのルーロー多角形は奇数個の円弧の辺を持たなければならず、円弧の端点の凸包である多角形からこのように構成することができる。しかし、半径が異なる偶数個の円弧から、一定の幅を持つ他の曲線を作ることも可能である。[ 1 ]
正多角形に基づくルーロー多角形は、有限個の等しい長さの円弧によって境界が形成される、幅が一定の唯一の曲線である。[ 3 ]
一定の幅を持つ曲線はすべて、同じ幅の（不規則な場合もある）ルーロー多角形によって任意に近似することができる。[ 1 ]
正則ルーロー多角形は辺の長さが等しい。より一般的には、ルーロー多角形の辺を等しい長さの弧に分割できる場合、弧の端点の凸包はラインハルト多角形となる。これらの多角形は複数の点で最適である。直径に対して可能な限り最大の周長を持ち、直径に対して可能な限り最大の幅を持ち、周長に対して可能な限り最大の幅を持つ。[ 4 ]
これらの形状の幅が一定であるため、コイン式機械で使用できるコインとして使用できます。たとえば、英国では、正七角形の形状をした20 ペンス硬貨と50 ペンス硬貨が作られています。 [ 5 ]カナダのルーニードル硬貨は、11 辺を持つ別の正多角形を使用しています。[ 6 ]ただし、2017 年の 12 角形の英国ポンド硬貨など、角が丸い多角形の側面を持つ一部のコインは、幅が一定ではなく、ルーロー多角形ではありません。[ 7 ]
中国の発明家、関白華はルーロー多角形ホイールの自転車を作ったが、この発明は普及しなかった。[ 8 ]
