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平面幾何学において、エステルマン測度は、任意の有界凸集合に対して定義され、中心対称にどれだけ近いかを表す数値である。これは、与えられた集合とその最小の中心対称凸集合との間の面積の比である。中心対称な集合の場合は 1 となり、中心対称でない閉包を持つ集合の場合は 1 未満となる。これは、平面のアフィン変換に対して不変である。 [1]
プロパティ
が与えられた凸体 を含む最小の中心対称集合の対称中心である場合、中心対称集合自体はを を挟んだ鏡映の和集合の凸包である。[1]
ミニマイザー
エステルマン測度が最小となる図形は三角形で、この測度は1/2となる。[1] [2]エステルマン測度が最小となる一定幅の曲線はルーローの三角形である。[3]
歴史
エステルマン測度は、1928年にこの測度が常に少なくとも1/2であることと、エステルマン測度が1/2である凸集合は必ず三角形であることを証明したテオドール・エステルマンにちなんで名付けられました。 [4] [1] [2]その後の証明は、フリードリヒ・ヴィルヘルム・レヴィ、イシュトヴァーン・ファーリ、イサーク・ヤグロムとウラジミール・ボルトャンスキーによって行われました。[1]
参照
- コブナー・ベシコヴィッチ測度、スーパーセットの代わりにサブセットを使用して定義される中心対称性の測度
参考文献
- ^ abcde Grünbaum, Branko (1963)、「凸集合の対称性の尺度」、Klee, Victor L. (編)、Convexity、Proceedings of Symposia in Pure Mathematics、vol. 7、プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会、pp. 233–270、MR 0156259
- ^ ab Makeev, VV (2007)、「ベクトル束のいくつかの極値問題」、サンクトペテルブルク数学ジャーナル、19 (2): 131–155、doi : 10.1090/S1061-0022-08-00998-9、MR 2333901
- ^ フィンチ、スティーブン・R. (2003)、「8.10 ルーローの三角形の定数」(PDF)、数学定数、数学とその応用百科事典、ケンブリッジ大学出版局、pp. 513–514、ISBN 978-0-521-81805-6。
- ^ Estermann、Theodor (1928)、「Über den Vektorenbereich eines konvexen Körpers」、Mathematische Zeitschrift、28 (1): 471–475、doi :10.1007/BF01181177、MR 1544971、S2CID 119465984