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数学、特に幾何学において、ℝ nの二重格子は、並進と点反射のみから構成されるユークリッド運動の群の離散部分群であり、並進の部分群は格子である。二重格子の作用を受ける任意の点の軌道は、点反射によって互いに関連している2 つのブラヴェ格子の和集合である。2 次元の二重格子はp2壁紙群である。3 次元では、二重格子は国際表記法で表されるタイプ1の空間群である。
二重格子パッキング
二重格子の作用下にある物体の軌道として記述できるパッキングは、二重格子パッキングと呼ばれます。多くの場合、物体の最も高い既知のパッキング密度は二重格子によって達成されます。例としては、正五角形、七角形、九角形[1]や正三角錐[2] などがあります。Włodzimierz KuperbergとGreg Kuperbergは、すべての凸平面物体は二重格子を使用することで少なくとも√ 3 /2の密度でパッキングできることを示しました。[3]
2016年に発表されたプレプリントでは、トーマス・ヘイルズとヴォーデン・クスナーは、平面上の正五角形のすべてのパッキングの中で、正五角形の二重格子パッキングが最適な密度を持つことの証明を発表しました。[4]このパッキングは、少なくとも1900年以来中国で装飾模様として使用されており、この文脈では「五角形の氷線」と呼ばれています。[5] 2021年現在[アップデート]、その最適性の証明はまだ査読および出版されていません。
すべての凸形状の中で、正七角形は最適な二重格子充填の充填密度が最も低いと推測されているが、これはまだ証明されていない。 [6]
参考文献
- ^ デ・グラーフ、ジュースト;ファン・ロイジ、ルネ。Dijkstra、Marjolein (2011)、「不規則な非凸粒子の密な規則的な充填」、Physical Review Letters、107 (15): 155501、arXiv : 1107.0603、Bibcode :2011PhRvL.107o5501D、doi :10.1103/PhysRevLett.107.155501、PMID 22107298
- ^ Haji-Akbari, Amir; Engel, Michael; Glotzer, Sharon C. (2011)、「硬質三角両錐体の縮退準結晶」、Phys. Rev. Lett.、107 (21): 215702、arXiv : 1106.5561、Bibcode :2011PhRvL.107u5702H、doi :10.1103/PhysRevLett.107.215702、PMID 22181897
- ^ Kuperberg, G. ; Kuperberg, W. (1990)、「平面における凸体の二重格子パッキング」、Discrete & Computational Geometry、5 (4): 389–397、doi : 10.1007/BF02187800、MR 1043721
- ^ ヘイルズ、トーマス、クズナー、ヴォーデン（2016年9月）、平面における正五角形のパッキング、arXiv：1602.07220
- ^ ダイ、ダニエル・シーツ（2012）、Chinese Lattice Designs、ドーバー、pp. 307–309、ISBN 9780486146225
- ^ Kallus, Yoav (2015)、「ペシマルパッキングシェイプ」、Geometry & Topology、19 (1): 343–363、arXiv : 1305.0289、doi :10.2140/gt.2015.19.343、MR 3318753