一定幅の表面

幾何学において、一定幅の面とは、その境界に接する2 つの平行な平面間の距離で測った幅が、その 2 つの平行な平面の方向に関わらず同じである凸形状のことです。ある方向における面の幅は、その方向に垂直な平行線間の垂直距離として定義されます。したがって、一定幅の面は、一定幅の曲線、つまり平行な接線のペア間の距離が一定である 2 次元形状の 3 次元版です。

より一般的には、任意のコンパクトな凸体D は、特定の方向に 1 対の平行な支持平面を持ちます。支持平面は、Dの境界と交差しますが、 Dの内部とは交差しません。前と同じように、物体の幅を定義します。 Dの幅がすべての方向で同じである場合、物体は一定の幅であるとされ、その境界は一定の幅の表面と呼ばれ、物体自体は球形と呼ばれます。

球は、半径と直径が一定の表面であり、幅が一定の表面です。

一般に信じられていることとは異なり、ルーロー四面体は一定幅の表面ではありません。しかし、ルーロー四面体の辺のサブセットを滑らかにして一定幅の表面であるマイスナー四面体を形成する 2 つの異なる方法があります。これらの形状は、同じ一定幅を持つすべての形状の中で体積が最小であると Bonnesen と Fenchel (1934) によって推測されましたが、この推測は未解決のままです。

同じ一定幅を持つすべての回転面のうち、体積が最小となるのは、ルーローの三角形を対称軸の1つを中心に回転させて描いた形状であり、 ^[1]体積が最大となるのは球面である。

一定幅の曲面のすべての平行投影は一定幅の曲線である。バルビエの定理によれば、この投影の周囲は投影の方向に関わらず幅のπ倍である。従って、一定幅の曲面はすべて一定内周の曲面でもある。ここで、図形の内周はその平行投影の1つの周囲である。逆に、ヘルマン・ミンコフスキーは一定内周の曲面はすべて一定幅の曲面でもあることを 証明した。^[2]

平行投影の面積が一定（周囲長が一定ではなく）である図形は、等明体と呼ばれます。

• トミー・ボネセン;フェンケル、ヴェルナー(1934)、理論的考察、シュプリンガー・フェルラーク、127–139 ページ。
• Campi, Stefano; Colesanti, Andrea; Gronchi, Paolo (1996)、「凸体の体積の最小問題」、偏微分方程式とその応用: Carlo Pucci を記念した論文集、純粋および応用数学の講義ノート、第 177 号、Marcel Dekker、pp. 43–55。
• ヒルベルト、デイヴィッド、コーン＝フォッセン、ステファン（1952）、幾何学と想像力（第2版）、チェルシー、pp. 216-217、ISBN 978-0-8284-1087-8。

• ギルフォイル、ブレンダン、クリンゲンベルク、ウィルヘルム (2009)、「一定幅の C ²滑らかな表面について」、トビリシ数学ジャーナル、2 : 1–17、arXiv : 0704.3248、Bibcode :2007arXiv0704.3248G
• マイスナー、エルンスト。シリング、フリードリヒ(1912)、「Drei Gipsmodelle von Flächen konstanter Breite」、Z. Math。物理学。、60：92～94。

• 球状体
• T. Lachand-Robert & É. Oudet、「任意の次元における一定幅の物体」
• あなたの円はどれくらい丸いですか？一定幅の立体
• モールド、スティーブ、「一定幅の形状と立体」、Numberphile、ブレイディ・ハラン