充填密度

ある空間におけるパッキングのパッキング密度またはパッキング率は、パッキングを構成する図形によって満たされる空間の割合です。簡単に言えば、これは空間内の物体の体積と空間自体の体積の比率です。パッキングの問題では、通常、可能な限り最大の密度のパッキングを得ることが目的です。

K ₁ ,..., K _{n が}コンパクト 測度空間 Xの測定可能な部分集合であり 、それらの内部が互いに交差しない場合、集合[ K i _]はXのパッキングであり、そのパッキング密度は

${\displaystyle \eta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\mu (K_{i})}{\mu (X)}}}$。

詰め込まれた空間がユークリッド空間のように無限大である場合、密度はより大きな半径の球体で示される密度の極限として定義するのが通例である。B _{t が}原点を中心とする半径tの球体である場合、詰め込み[ K i  : i ∈ _]の密度は ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \eta =\lim _{t\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{\infty }\mu (K_{i}\cap B_{t})}{\mu (B_{t})}}}$。

この極限は常に存在するとは限らないため、上限密度と下限密度をそれぞれ上記の上限と下限として定義することも有用である。密度が存在する場合、上限密度と下限密度は等しい。ユークリッド空間の任意の球がパッキングの有限個の要素とのみ交差し、要素の直径が上から制限されていると仮定すると、（上限、下限）密度は原点の選択に依存せず、B _tと交差するすべての要素について、μ ( K _i ∩ B _t )をμ ( K _i )に置き換えることができる。^[1] 球は他の凸体の拡大に置き換えることもできるが、一般に結果として得られる密度は等しくない。

特定の供給集合の要素を使用するように制限されたパッキングに関心を持つことがよくあります。たとえば、供給集合は、与えられた半径のすべてのボールの集合である場合があります。供給集合に関連付けられた最適なパッキング密度またはパッキング定数は、供給集合のサブコレクションであるパッキングによって得られる上側密度の最大値です。供給集合が制限された直径の凸体で構成されている場合、パッキング密度がパッキング定数に等しいパッキングが存在し、密度の定義のボールが他の凸体の膨張に置き換えられても、このパッキング定数は変化しません。^[1]

関心のある特定の供給集合は、固定された凸体Kのすべてのユークリッド運動です。この場合、パッキング定数をKのパッキング定数と呼びます。ケプラー予想は、 3 ボールのパッキング定数に関係しています。ウラムのパッキング予想は、3 ボールが凸立体の中で最も低いパッキング定数を持つと述べています。固定された物体のすべての平行移動も共通の関心のある供給集合であり、その物体の平行移動パッキング定数を定義します。

• 原子充填係数
• 球詰め
• 充填定数がわかっている形状のリスト

• Weisstein、Eric W.「パッキング密度」。MathWorld。