クロフトン式

数学において、モーガン・クロフトン(1826-1915)にちなんで名付けられたクロフトンの公式(コーシー・クロフトンの公式とも呼ばれる) は、曲線の長さと、その曲線と「ランダムな」直線が交差する予想回数を関連付ける積分幾何学の古典的な結果です。

は直線化可能な平面曲線であるとします。有向線ℓが与えられ、 ℓとℓ が交差する点の数を( ℓ ) とします。一般線ℓ は、それが指す方向と原点からの符号付き距離によってパラメータ化できます。クロフトンの公式は、曲線の弧の長さをすべての有向線の空間上の 積分として表します。${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle n_{\gamma}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle \operatorname {length} (\gamma )={\frac {1}{4}}\iint n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp.}$

微分形式

${\displaystyle d\varphi \wedge dp}$

は の剛体運動に対して不変なので、これは交差の「平均」数を表す自然な積分測度です。これは通常、運動学的測度と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

クロフトンの公式の右辺はファヴァールの長さと呼ばれることもあります。^[1]

一般に、 の向き付けられた直線の空間はの接線束であり、同様にの剛体運動に対して不変である運動学的測度をその上に定義することができる。すると、余次元1の任意の修正可能面に対して、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle d\varphi \wedge dp}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \operatorname {area} (S)=C_{n}\iint n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp.}$$$${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2\cdot |{\text{unit ball in }}\mathbb {R} ^{n-1}|}}={\frac {\Gamma {({\frac {n+1}{2}})}}{2\pi ^{\frac {n-1}{2}}}}}$$

クロフトンの公式の両辺は曲線の連結に対して加算されるため、単一の線分について公式を証明すれば十分です。右辺は線分の位置に依存しないため、線分の長さの何らかの関数に等しくなければなりません。また、公式は線分の連結に対して加算されるため、積分は線分の長さの定数倍でなければなりません。残っているのは 1/4 の係数を決定することだけです。これは、γ が単位円であるときに両辺を計算することで簡単に行えます。

一般化されたバージョンの証明は、まさに上記と同じように進行します。

を平面上のユークリッド群とします。これは としてパラメータ化することができ、それぞれがを定義します。つまり、原点の周りを反時計回りに 回転し、 だけ平行移動します。すると は の自身への作用に対して不変であるため、 上の運動学的測度が得られました。 ${\displaystyle E^{2}}$${\displaystyle [0,2\pi )\times \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (\varphi ,x,y)\in [0,2\pi )\times \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle T(\varphi ,x,y)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle dx\wedge dy\wedge d\varphi }$${\displaystyle E^{2}}$${\displaystyle E^{2}}$

平面上の修正可能な単純曲線（自己交差なし）が与えられている場合、証明は上記と同様に行われます。まず、式の両辺が で加法性を持つことに注目してください。したがって、式は未定の乗法定数で正しいことになります。次に、最も単純なケース、つまり半径 1 の 2 つの円を使用して、この定数を明示的に計算します。 ${\displaystyle C,D}$$${\displaystyle \int _{T\in E^{2}}|C\cap T(D)|dT=4|C|\cdot |D|}$$${\displaystyle C,D}$

有向直線の空間は、無向直線の空間の二重被覆です。クロフトンの公式は、後者の空間の対応する密度で表現されることが多く、数値係数は 1/4 ではなく 1/2 です。凸曲線はほぼすべての線と 2 回交差するか、まったく交差しないため、凸曲線の無向クロフトンの公式は数値係数なしで表現できます。つまり、凸曲線と交差する直線の集合の測度は、その長さに等しくなります。

運動学的測度が適切にスケーリングされている場合、同じ式（同じ乗法定数を使用）が双曲空間と球面空間に適用されます。証明は基本的に同じです。

クロフトンの公式は任意のリーマン面、より一般的には2次元フィンスラー多様体に一般化され、測地線空間上の自然測度で積分が実行される。^[2]

チャーンの運動学式のようなより一般的な形式も存在する。^[3]

クロフトンの公式は、次のような結果のエレガントな証明をもたらします。

• 入れ子になった凸型の閉曲線が 2 つある場合、内側の曲線の方が短くなります。一般に、このような共次元 1 の曲面が 2 つある場合、内側の曲面の面積の方が小さくなります。
• ネストされた内部を持つ、2 つの凸型の閉じたサーフェス がある場合、ランダムな直線が外側のサーフェスと交差することを条件として、内側のサーフェスと交差する確率は、次のようになります。これは、境界ボリューム階層における表面積ヒューリスティックの根拠です。${\displaystyle S_{1},S_{2}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$$${\displaystyle Pr(l{\text{ intersects }}S_{1}|l{\text{ intersects }}S_{2})={\frac {\operatorname {area} (S_{1})}{\operatorname {area} (S_{2})}}}$$
• コンパクトな凸部分集合 が与えられ、がランダムな直線、 がランダムな超平面であるとすると、はの平均幅、つまり のランダムな線形部分空間への の直交射影の期待長さです。 のとき、等周不等式により、この確率は で上限が定められ、 がディスクである場合に限り、等式 が成立します。${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle Pr(l{\text{ intersects }}P|l,P{\text{ intersects }}S)={\frac {|S|}{|\partial S|\cdot E[{\text{width of }}S]}}}$$${\displaystyle E[{\text{width of }}S]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle S}$
• バルビエの定理:一定幅 wのすべての曲線の周囲はπ wです。
• 等周不等式: 与えられた周囲長を持つすべての閉曲線の中で、円は唯一の最大面積を持ちます。
• すべての有界な修正可能閉曲線Cの凸包の周囲は最大でCの長さであり、 C がすでに凸曲線である場合にのみ等しくなります。
• コーシーの表面積の公式: 任意の凸コンパクト部分集合 が与えられ、の期待される影の面積（つまり、 は のランダムな超平面への直交射影）とすると、クロフトンの公式をまず にわたって積分し、次に にわたって積分すると、次が得られます。特に、 を設定するとバルビエの定理が得られ、古典的な例「凸体の平均的な影はその表面積の 1/4 である」が得られます。一般 は、一定の明るさ の物体に対するバルビエの定理の一般化を与えます。${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle E[|T(S)|]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dp}$${\displaystyle d\varphi }$$${\displaystyle {\frac {|\partial S|}{E[|T(S)|]}}={\frac {|{\text{unit sphere in }}\mathbb {R} ^{n}|}{|{\text{unit ball in }}\mathbb {R} ^{n-1}|}}=2{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle n}$

• ブッフォンの麺
• ラドン変換はクロフトン公式の測度論的一般化とみなすことができ、クロフトン公式はゲルファンドとグラエフのk平面ラドン変換の逆変換公式に使用されている^[4]。
• シュタインハウス経度計

• タバチニコフ、セルジュ(2005)。幾何学とビリヤード。AMS。pp. 36–40。ISBN 0-8218-3919-5。
• ルイジアナ州サンタロ（1953年）。積分幾何学の紹介。 pp . 12–13、54。LCC  QA641.S3。

• コーシー・クロフトン公式ページ（デモアプレット付き）
• アリス、ボブ、そして立方体の平均影、コーシーの表面積の公式の視覚化。