適切な長さ

固有長^[1]または静止長^{[2]は、物体の}静止系における物体の長さである。

相対性理論では、長さの測定は古典力学よりも複雑です。古典力学では、関係するすべての点の位置が同時に測定されるという仮定に基づいて長さが測定されます。しかし、相対性理論では、同時性の概念は観察者に依存します。

別の用語である「固有距離」は、すべての観測者に対して値が同じである不変の尺度を提供します。

固有距離は固有時間と類似しています。違いは、固有距離は空間的に分離された 2 つのイベント間 (または空間的な経路に沿って) で定義されるのに対し、固有時間は時間的に分離された 2 つのイベント間 (または時間的な経路に沿って) で定義される点です。

物体の固有長^[1]または静止長^[2]とは、物体に対して静止している観測者が、物体に標準の測定棒を当てて測定した物体の長さである。物体の端点の測定は同時である必要はなく、端点は物体の静止系内で常に同じ位置に静止しているため、Δ tとは無関係である。したがって、この長さは次のように表される。

${\displaystyle L_{0}=\Delta x.}$

しかし、相対的に動くフレームでは、物体の端点は常に位置を変えているため、同時に測定する必要があります。結果として得られる長さは静止長よりも短く、長さの収縮の式で与えられます（γはローレンツ因子です）。

${\displaystyle L={\frac {L_{0}}{\gamma }}.}$

比較すると、同じオブジェクトの端点で発生する 2 つの任意のイベント間の不変の固有距離は次のように与えられます。

${\displaystyle \Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}}.}$

したがって、 Δ σ はΔ tに依存しますが、（上で説明したように）物体の静止長L _{0 はΔ} tとは独立して測定できます。したがって、同じ物体の端点で測定された Δ σとL ₀は、物体の静止フレームで測定イベントが同時であった場合にのみ互いに​​一致し、 Δ tはゼロになります。Fayngold は次のように説明しています。^[1]

p. 407: 「2 つのイベント間の適切な距離は、通常、両端がこれらのイベントとそれぞれ一致するオブジェクトの適切な長さと同じではないことに注意してください。 適切な長さl ₀が一定の固体ロッドを考えてみましょう。 ロッドの静止系K ₀にいて、その長さを測りたい場合は、まず両端に印を付けることで測ることができます。 また、K _{0で同時に印を付ける必要はありません。} K ₀で、片方の端に (瞬間t ₁ ) 印を付け、後でもう一方の端に (瞬間t ₂ )印を付け、印の間の距離を静かに測ることができます。 このような測定は、適切な長さの操作的定義として考えることができます。 実験物理学の観点からは、印を同時に付けるという要件は、一定の形状とサイズを持つ静止したオブジェクトには不要であり、この場合はこのような定義から削除できます。 ロッドはK ₀で静止しているため、 2 つの印を付けた時間経過に関係なく、印の間の距離がロッドの適切な長さになります。一方、K ₀でマークが同時に行われない場合、マーキング イベント間の距離は適切ではありません。

特殊相対論では、空間的に離れた2つのイベント間の適切な距離は、イベントが同時に発生する慣性基準系で測定された2つのイベント間の距離です。 ^{[3] [4]}このような特定のフレームでは、距離は次のように表されます。

$${\displaystyle \Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}},}$$

どこ

• Δ x、 Δ y、および Δ z は、 2 つのイベントの線形、直交、空間座標の差です。

この定義は、任意の慣性系に関して（その系でイベントが同時に起こることを要求せずに）次のように同等に与えることができる。

$${\displaystyle \Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}},}$$

どこ

• Δ tは2つのイベントの時間座標の差であり、
• c は光の速度です。

2 つの式は、時空間隔の不変性と、特定のフレームでイベントが同時に発生するときに Δ t = 0 となるため、同等です。

上記の式が Δ σにゼロ以外の実数値を与える場合にのみ、2 つのイベントは空間的に分離されます。

2 つのイベント間の適切な距離を表す上記の式は、2 つのイベントが発生する時空が平坦であると仮定しています。したがって、上記の式は、曲がった時空が考慮される一般相対性理論では通常使用できません。ただし、曲がっているか平坦であるかにかかわらず、任意の時空で経路に沿った適切な距離を定義することは可能です。平坦な時空では、2 つのイベント間の適切な距離は、2 つのイベント間の直線経路に沿った適切な距離です。曲がった時空では、2 つのイベント間に複数の直線経路 (測地線) がある場合があり、2 つのイベント間の直線経路に沿った適切な距離は、2 つのイベント間の適切な距離を一意に定義しません。

任意の空間的経路Pに沿った適切な距離は、線積分によってテンソル構文で与えられる。

$${\displaystyle L=c\int _{P}{\sqrt {-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}},}$$

どこ

• g _μνは現在の時空と座標のマッピングの計量テンソルであり、
• dx ^μは、パスPに沿った隣接するイベント間の座標距離です。

上記の式では、計量テンソルは計量シグネチャを使用し、距離ではなく時間を返すように正規化されているものと想定されています。 代わりに計量シグネチャ を使用する計量テンソルでは、式の - 記号を削除する必要があります。 また、距離を使用するように正規化された計量テンソル、または幾何化された単位を使用する計量テンソルでは、 を削除する必要があります。 +−−− −+++${\displaystyle c}$

• 不変間隔
• 適切な時間
• 共動距離
• 同時性の相対性