直交多項式

数学において、直交多項式列とは、その列に含まれる任意の異なる2つの多項式が、何らかの内積に関して互いに直交するような多項式の族のことである。

最も広く使われている直交多項式は、エルミート多項式、ラゲール多項式、ヤコビ多項式からなる古典的な直交多項式です。ゲーゲンバウアー多項式はヤコビ多項式の最も重要なクラスを形成し、チェビシェフ多項式とルジャンドル多項式を特殊な場合として含みます。これらはしばしばロドリゲスの公式で表されます。

直交多項式の分野は、19 世紀後半にP.L. チェビシェフによる連分数の研究から発展し、A.A. マルコフとT.J. スティルチェスによって研究されました。直交多項式は、数値解析(求積法)、確率論、表現論(リー群、量子群、および関連する対象)、列挙的組み合わせ論、代数的組み合わせ論、数理物理学(ランダム行列、可積分系などの理論)、数論など、幅広い分野に登場します。直交多項式に取り組んだ数学者には、ガーボル・セゲー、セルゲイ・ベルンシュタイン、ナウム・アキエゼル、アーサー・エルデリー、ヤコフ・ゲロニムス、ヴォルフガング・ハーン、セオドア・セイオ・チハラ、ムラド・イスマイル、ワリード・アル・サラム、リチャード・アスキー、レフエル・ロバットなどがいます。

実測値の1変数ケースの定義

実数上の任意の非減少関数 $α$ に対して、ルベーグ・スティルチェス積分を定義することができる。 $\int f(x)\,d\alpha (x)$ 関数fの積分。この積分がすべての多項式fに対して有限である場合、多項式fとgのペアに対して内積を次のように定義できます。 $\langle f,g\rangle =\int f(x)g(x)\,d\alpha (x).$

この演算は、すべての多項式からなるベクトル空間上の正半定値内積であり、関数αが無限個の成長点を持つ場合は正定値となります。これは、通常の方法で直交性の概念を導きます。すなわち、2つの多項式の内積がゼロであれば、それらの多項式は直交するという概念です。

すると、直交多項式の列 $(P n) \infty n =0は次の関係式で定義される。$ $\deg P_{n}=n~,\quad \langle P_{m},\,P_{n}\rangle =0\quad {\text{for}}\quad m\neq n~.$

言い換えれば、この数列は、単項式 1、x、x ²、…の数列から、この内積に関するグラム・シュミット変換によって得られる。

通常、数列は正規直交であることが求められます。すなわち、 $\langle P_{n},P_{n}\rangle =1,$ ただし、他の正規化方法が用いられる場合もある。

絶対連続ケース

時には私たちは $d\alpha (x)=W(x)\,dx$ どこ $W:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R}$ は、実数直線上の区間 $[x 1, x 2]$ 上に台を持つ非負関数です(ただし、 $x 1 = -\infty$ および $x 2 = \infty$ は許容されます)。このような $W$ は重み関数と呼ばれます。^{[ 1 ]}すると、内積は次のように与えられます。 $\langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\,dx.$ $しかし、直交多項式には、測度dα (x)$ が非ゼロの測度を持つ点を持つ例が多くあり、関数 $α$ は不連続であるため、上記のように重み関数 $W$ で与えることはできません。

直交多項式の例

最も一般的に使用される直交多項式は、実数区間内にサポートを持つ測度に対して直交します。これには以下が含まれます。

古典的な直交多項式（ヤコビ多項式、ラゲール多項式、エルミート多項式、およびそれらの特殊な場合であるゲーゲンバウアー多項式、チェビシェフ多項式、ルジャンドル多項式）。
ウィルソン多項式は、ヤコビ多項式を一般化したものです。これには、メクスナー・ポラチェック多項式、連続ハーン多項式、連続双対ハーン多項式、アスキー方式で記述される古典的多項式など、多くの直交多項式が特殊な場合として含まれます。
アスキー・ウィルソン多項式は、ウィルソン多項式にパラメータqを追加したものである。

離散直交多項式は、ある離散測度に関して直交します。測度が有限のサポートを持つ場合、直交多項式の族は無限列ではなく有限列になります。ラカー多項式は離散直交多項式の例であり、ハーン多項式と双対ハーン多項式を特殊な場合として含みます。さらに、ハーン多項式と双対ハーン多項式は、メクスナー多項式、クラウチュク多項式、シャルリエ多項式を特殊な場合として含みます。

メクスナーはすべての直交シェファー数列を分類しました。エルミート、ラゲール、シャルリエ、メクスナー、メクスナー・ポラチェックの6種類のみです。ある意味ではクラウチュクもこのリストに含めるべきですが、これらは有限数列です。これら6つの族はNEF-QVFに対応し、特定のレヴィ過程のマルチンゲール多項式です。

篩分けされた直交多項式、例えば篩分けされた超球面多項式、篩分けされたヤコビ多項式、篩分けされたポラチェック多項式などは、修正された漸化式を持つ。

複素平面上の曲線に対して直交多項式を考えることもできます。最も重要なケース（実数区間を除く）は、曲線が単位円である場合で、ロジャース・セゲー多項式などの単位円上の直交多項式が得られます。

平面上の三角形や円盤などの領域で直交する直交多項式の族がいくつか存在する。これらはヤコビ多項式を用いて表すことができる場合がある。例えば、ゼルニケ多項式は単位円盤上で直交する。

エルミート多項式の異なる次数間の直交性の利点は、一般化周波数分割多重（GFDM）構造に応用されています。時間周波数格子の各グリッドには、複数のシンボルを伝送できます。^{[ 2 ]}

物件

実数直線上の非負測度によって定義される1変数直交多項式は、以下の性質を持つ。

瞬間との関係

直交多項式P _{n は}モーメントで表すことができる

m_{n}=\int x^{n}\,d\alpha (x)

次のように：

P_{n}(x)=c_{n}\,\det {\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}~,

ここで定数c _nは任意である（ P _nの正規化に依存する）。

これは、グラム・シュミット法を単項式に適用し、各多項式が前の多項式と直交するように課すことから直接得られる。例えば、直交性とは $P_{0}$ 規定する $P_{1}$ フォームが必要です $P_{1}(x)=c_{1}\left(x-{\frac {\langle P_{0},x\rangle P_{0}}{\langle P_{0},P_{0}\rangle }}\right)=c_{1}(x-m_{1}),$ これは、先に示されていた行列式と一致することがわかる。

漸化式

多項式P _{n は}、次の形式の3 項の漸化式を満たす。

P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)

ここでA _{n は}0 ではない。逆もまた真である。ファヴァールの定理を参照のこと。これらの漸化式は、直交多項式の性質を導出する上で重要である。

クリストッフェル・ダルブーの公式

ゼロ

測度 d α が区間 [ a , b ] 上に定義されている場合、 P _nのすべての零点は[ a , b ] 内に存在します。さらに、零点には次の相互連結特性があります。m < n の場合、P mの_任意の 2 つの零点の間にP _nの零点が存在します。

組み合わせ解釈

1980年代以降、XG Viennot、J. Labelle、Y.-N. Yeh、D. Foataらの研究により、すべての古典的な直交多項式の組み合わせ論的解釈が見出された。^{[ 3 ]}

その他の直交多項式

多変数直交多項式

マクドナルド多項式は、アフィン根系の選択に応じて、複数の変数に関する直交多項式です。ジャック多項式、ホール・リトルウッド多項式、ヘックマン・オプダム多項式、コーンウィンダー多項式など、他の多くの多変数直交多項式の族が特殊な場合として含まれます。アスキー・ウィルソン多項式は、ランク1の特定の非縮約根系に対するマクドナルド多項式の特殊な場合です。

複数の直交多項式

多重直交多項式とは、ある1つの変数に関する多項式で、有限個の測度族に関して直交するものである。

ソボレフ直交多項式

これらは、ソボレフ内積、すなわち導関数を含む内積に関する直交多項式です。導関数を含めることは多項式に大きな影響を与え、一般に、古典的な直交多項式の持つ優れた特性の一部を失います。

行列を用いた直交多項式

行列を含む直交多項式は、係数が行列であるか、または不定元が行列であるかのいずれかである。

よく知られている例は 2 つあります。係数 $\{a_{i}\}$ 行列または $x$ :

バリアント 1: $P(x)=A_{n}x^{n}+A_{n-1}x^{n-1}+\cdots +A_{1}x+A_{0}$ 、どこ $\{A_{i}\}$ は $p\times p$ 行列。
バリアント2： $P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}I_{p}$ どこ $X$ は $p\times p$ -行列と $I_{p}$ は単位行列です。

量子多項式

量子多項式、またはq多項式は、直交多項式のq版である。

歪直交多項式

直交多項式はベクトル基底セットとして定義できる。 $P_{0},P_{1},P_{2},\dots$ 対称双線形形式の $B$ 多項式について。直交多項式の基底では、双線形形式は次のように対角化される。 $B(P_{i},P_{j})=B(P_{i},P_{i})\delta _{ij}$ 同様に、多項式上の非退化歪対称双線形形式が与えられた場合、ベクトル基底セットのペアを見つけることができます。 $P_{0},P_{1},P_{2},\dots$ そして $Q_{0},Q_{1},Q_{2},\dots$ 双線形形式は次のように歪対角化される $B(P_{i},Q_{j})=B(P_{i},Q_{i})\delta _{ij}$ 。

参考文献

↑異なる重み関数に対して得られた正規直交多項式のデモ
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[1] 異なる重み関数に対して得られた正規直交多項式のデモ

[2] Catak, E.; Durak-Ata, L. (2017). "直交多項式を用いた重ね合わせ波形のための効率的な送受信機設計". 2017 IEEE International Black Sea Conference on Communications and Networking (BlackSeaCom) . pp. 1– 5. doi : 10.1109/BlackSeaCom.2017.8277657 . ISBN 978-1-5090-5049-9. S2CID 22592277 .

[3] Viennot, Xavier (2017). "The Art of Bijective Combinatorics, Part IV, Combinatorial theory of orthogonal polynomials and continued fractions" . Chennai: IMSc.

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