ラカ多項式

数学において、ラカー多項式は、その直交関係がラカー係数の直交関係と等しいことから、ジュリオ・ラカーにちなんで名付けられた直交多項式です。

ラカ多項式はウィルソン（1978）によって初めて定義され、次のように与えられる。

${\displaystyle p_{n}(x(x+\gamma +\delta +1))={}_{4}F_{3}\left[{\begin{matrix}-n&n+\alpha +\beta +1&-x&x+\gamma +\delta +1\\\alpha +1&\gamma +1&\beta +\delta +1\\\end{matrix}};1\right].}$

${\displaystyle \sum _{y=0}^{N}\operatorname {R} _{n}(x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\operatorname {R} _{m}(x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ){\frac {\gamma +\delta +1+2y}{\gamma +\delta +1+y}}\omega _{y}=h_{n}\operatorname {\delta } _{n,m},}$^[1]

いつ、${\displaystyle \alpha +1=-N}$

ラカ多項式はどこにあるか、${\displaystyle \operatorname {R} }$

${\displaystyle x=y(y+\gamma +\delta +1),}$

${\displaystyle \operatorname {\delta } _{n,m}}$はクロネッカーのデルタ関数であり、重み関数は

${\displaystyle \omega _{y}={\frac {(\alpha +1)_{y}(\beta +\delta +1)_{y}(\gamma +1)_{y}(\gamma +\delta +2)_{y}}{(-\alpha +\gamma +\delta +1)_{y}(-\beta +\gamma +1)_{y}(\delta +1)_{y}y!}},}$

そして

${\displaystyle h_{n}={\frac {(-\beta )_{N}(\gamma +\delta +1)_{N}}{(-\beta +\gamma +1)_{N}(\delta +1)_{N}}}{\frac {(n+\alpha +\beta +1)_{n}n!}{(\alpha +\beta +2)_{2n}}}{\frac {(\alpha +\delta -\gamma +1)_{n}(\alpha -\delta +1)_{n}(\beta +1)_{n}}{(\alpha +1)_{n}(\beta +\delta +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}},}$

${\displaystyle (\cdot )_{n}}$はポッホハマー記号です。

${\displaystyle \omega (x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=(\gamma +\delta +1)_{n}{\frac {\nabla ^{n}}{\nabla \lambda (x)^{n}}}\omega (x;\alpha +n,\beta +n,\gamma +n,\delta ),}$^[2]

ここで、は後退差分演算子であり、${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \lambda (x)=x(x+\gamma +\delta +1).}$

生成関数は3つあります${\displaystyle x\in \{0,1,2,...,N\}}$

いつまたは${\displaystyle \beta +\delta +1=-N\quad }$${\displaystyle \quad \gamma +1=-N,}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-x,-x+\alpha -\gamma -\delta ;\alpha +1;t){}_{2}F_{1}(x+\beta +\delta +1,x+\gamma +1;\beta +1;t)}$

${\displaystyle \quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\beta +\delta +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}{(\beta +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n},}$

いつまたは${\displaystyle \alpha +1=-N\quad }$${\displaystyle \quad \gamma +1=-N,}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-x,-x+\beta -\gamma ;\beta +\delta +1;t){}_{2}F_{1}(x+\alpha +1,x+\gamma +1;\alpha -\delta +1;t)}$

${\displaystyle \quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}{(\alpha -\delta +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n},}$

いつまたは${\displaystyle \alpha +1=-N\quad }$${\displaystyle \quad \beta +\delta +1=-N,}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-x,-x-\delta ;\gamma +1;t){}_{2}F_{1}(x+\alpha +1;x+\beta +\gamma +1;\alpha +\beta -\gamma +1;t)}$

${\displaystyle \quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +1)_{n}(\beta +\delta +1)_{n}}{(\alpha +\beta -\gamma +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n}.}$

いつ${\displaystyle \alpha =a+b-1,\beta =c+d-1,\gamma =a+d-1,\delta =a-d,x\rightarrow -a+ix,}$

${\displaystyle \operatorname {R} _{n}(\lambda (-a+ix);a+b-1,c+d-1,a+d-1,a-d)={\frac {\operatorname {W} _{n}(x^{2};a,b,c,d)}{(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}}},}$

ウィルソン多項式はどこですか。${\displaystyle \operatorname {W} }$

アスキーとウィルソン（1979）は、基本 的な超幾何関数で定義されたq-ラカ多項式を導入した。

${\displaystyle p_{n}(q^{-x}+q^{x+1}cd;a,b,c,d;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^{n+1}&q^{-x}&q^{x+1}cd\\aq&bdq&cq\\\end{matrix}};q;q\right].}$

変数の変更によって与えられることもある。

${\displaystyle W_{n}(x;a,b,c,N;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^{n+1}&q^{-x}&cq^{x-n}\\aq&bcq&q^{-N}\\\end{matrix}};q;q\right].}$

• Askey, Richard; Wilson, James (1979)、「Racah 係数または 6-j シンボルを一般化する直交多項式のセット」(PDF)、SIAM Journal on Mathematical Analysis、10 (5): 1008–1016、doi :10.1137/0510092、ISSN  0036-1410、MR  0541097、2017 年 9 月 25 日のオリジナルからアーカイブ
• ウィルソン、J. (1978)、超幾何級数の再帰関係といくつかの新しい直交関数、博士論文、ウィスコンシン大学、マディソン校