コーンワインダー多項式

数学において、マクドナルド・コーンワインダー多項式（コーンワインダー多項式とも呼ばれる）は、コーンワインダー^[1]とIGマクドナルド^[2]によって導入された、複数の変数を持つ直交多項式の族であり、アスキー・ウィルソン多項式を一般化したものである。これらは、（C^∨
_いいえ, C _n）であり、特にマクドナルド予想の類似物を満たしています。^[3]さらに、Jan Felipe van Diejenは、任意の古典ルートシステムに関連付けられたマクドナルド多項式がマクドナルド-コーンワインダー多項式の極限または特殊なケースとして表現できることを示し、それらによって対角化された具体的な可換差分演算子の完全なセットを見つけました。^[4]さらに、マクドナルド-コーンワインダー多項式の退化したケースである古典ルートシステムに関連付けられた多変数直交多項式の興味深い族の大きなクラスがあります。^{[5]マクドナルド-コーンワインダー多項式は、}アフィンヘッケ代数の助けを借りて研究されてきました。^[6]

分割λに関連するn変数のマクドナルド・コーンワインダー多項式は、変数の置換と反転に対して唯一のローラン多項式不変量であり、主導単項式 x ^{λ を}持ち、密度に関して直交する。

\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {(x_{i}x_{j},x_{i}/x_{j},x_{j}/x_{i},1/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}{(tx_{i}x_{j},tx_{i}/x_{j},tx_{j}/x_{i},t/x_{i}x_{j};q)_{\infty }}}\prod _{1\leq i\leq n}{\frac {(x_{i}^{2},1/x_{i}^{2};q)_{\infty }}{(ax_{i},a/x_{i},bx_{i},b/x_{i},cx_{i},c/x_{i},dx_{i},d/x_{i};q)_{\infty }}}

単位トーラス上

|x_{1}|=|x_{2}|=\cdots |x_{n}|=1

、

ここでパラメータは制約を満たす

|a|,|b|,|c|,|d|,|q|,|t|<1,

また、 ( x ; q ) _{∞ は}無限q-ポッホハマー記号を表します。ここで、主単項式x ^{λ は}、係数がゼロでないすべての項 x ^μについて μ≤λ であることを意味します。ただし、 μ≤λ であるためには、 μ ₁ ≤λ ₁、 μ ₁ +μ ₂ ≤λ ₁ +λ ₂、…、 μ ₁ +…+μ _n ≤λ ₁ +…+λ _{n が}成立する必要があります。qとt が実数であり、a、b、c、dが実数であるか、複素数の場合は共役ペアになるというさらなる制約の下では、与えられた密度は正になります。

引用

^ コーンワインダー 1992年。
^ Macdonald 1987、重要な特殊なケース^{[全文引用が必要]}
^ ファン・ディージェン 1996;サヒ 1999;マクドナルド、2003 年、第 5.3 章。
^ ヴァン・ディーエン 1995.
^ ヴァン・ディーエン 1999.
^ 能見 1995;サヒ 1999;マクドナルド2003年。

参考文献

Koornwinder, Tom H. (1992)、「BC 型ルートシステムの Askey-Wilson 多項式」、Contemporary Mathematics、138 : 189–204、doi :10.1090/conm/138/1199128、MR 1199128、S2CID 14028685
van Diejen, Jan F. (1996)、「自己双対 Koornwinder-Macdonald 多項式」、Inventiones Mathematicae、126 (2): 319–339、arXiv : q-alg/9507033、Bibcode :1996InMat.126..319V、doi :10.1007/s002220050102、MR 1411136、S2CID 17405644
Sahi, S. (1999)、「非対称 Koornwinder 多項式と双対性」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、150 (1): 267–282、arXiv : q-alg/9710032、doi :10.2307/121102、JSTOR 121102、MR 1715325、S2CID 8958999
van Diejen, Jan F. (1995)、「多項式固有関数による差分演算子の可換性」、Compositio Mathematica、95 :183–233、arXiv : funct-an/9306002、MR 1313873
van Diejen, Jan F. (1999)、「いくつかの変数の超幾何直交多項式のいくつかの族の特性」、Trans. Amer. Math. Soc.、351 : 233–70、arXiv : q-alg/9604004、doi : 10.1090/S0002-9947-99-02000-0、MR 1433128、S2CID 16214156
能見正之 (1995)、「マクドナルド・コーンワインダー多項式とアフィン・ヘッケ環」、超幾何関数の諸相、数理計算研究所講究録、第919巻、pp. 44–55、MR 1388325
マクドナルド、IG (2003)、「アフィン・ヘッケ代数と直交多項式」、ケンブリッジ数学論文集、第157巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、pp. x+175、ISBN 978-0-521-82472-9、MR 1976581
Stokman, Jasper V. (2004)、「Koornwinder 多項式の講義ノート」、Laredo Lectures on Orthogonal Polynomials and Special Functions、Adv. Theory Spec. Funct. Orthogonal Polynomials、Hauppauge、NY: Nova Science Publishers、pp. 145–207、MR 2085855

[FOOTNOTEKoornwinder1992-1] コーンワインダー 1992年。

[2] Macdonald 1987、重要な特殊なケース^{[全文引用が必要]}

[FOOTNOTEvan_Diejen1996Sahi1999Macdonald2003Chapter_5.3-3] ファン・ディージェン 1996;サヒ 1999;マクドナルド、2003 年、第 5.3 章。

[FOOTNOTEvan_Diejen1995-4] ヴァン・ディーエン 1995.

[FOOTNOTEvan_Diejen1999-5] ヴァン・ディーエン 1999.

[FOOTNOTENoumi1995Sahi1999Macdonald2003-6] 能見 1995;サヒ 1999;マクドナルド2003年。