単位円上の直交多項式

数学において、単位円上の直交多項式は、単位円上の何らかの確率測度に対して、複素平面上の単位円上の積分に関して直交する多項式の族である。これらは Szegő (1920, 1921, 1939) によって導入された。

を単位円上の確率測度とし、が非自明、すなわちその台が無限集合であると仮定する。ラドン・ニコディム分解定理 とルベーグ分解定理を組み合わせると、このような測度は一意に次のように分解できる 。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle d\mu =w(\theta ){\frac {d\theta }{2\pi }}+d\mu _{s}}$、

ここで は に関して特異であり、の絶対連続部分と特異である。^[1]${\displaystyle d\mu_{s}}$${\displaystyle d\theta /2\pi }$${\displaystyle w\in L^{1}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle wd\theta /2\pi }$${\displaystyle d\mu}$

に関連する直交多項式は次のように定義される。 ${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=z^{n}+{\text{lower order}}}$、

そのような

${\displaystyle \int {\bar {z}}^{j}\Phi _{n}(z)\,d\mu (z)=0,\quad j=0,1,\dots ,n-1}$。

モニック直交Szegő多項式は、次の形式の再帰関係を満たす。

${\displaystyle \Phi _{n+1}(z)=z\Phi _{n}(z)-{\overline {\alpha }}_{n}\Phi _{n}^{*}(z)}$

${\displaystyle \Phi _{n+1}^{\ast }(z)=\Phi _{n}^{\ast }(z)-\alpha _{n}z\Phi _{n}(z)}$

および初期条件、 ${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \Phi _{0}=1}$

${\displaystyle \Phi _{n}^{*}(z)=z^{n}{\overline {\Phi _{n}(1/{\overline {z}})}}}$

および、開いた単位円内の定数​​は次のように与えられる。 ${\displaystyle \alpha _{n}}$${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$

${\displaystyle \alpha _{n}=-{\overline {\Phi _{n+1}(0)}}}$

ヴェルブランスキー係数と呼ばれる。^[2]さらに、

${\displaystyle \|\Phi _{n+1}\|^{2}=\prod _{j=0}^{n}(1-|\alpha _{j}|^{2})=(1-|\alpha _{n}|^{2})\|\Phi _{n}\|^{2}}$。

ジェロニムスの定理によれば、関連するヴェルブランスキー係数はシュアパラメータである：^[3]${\displaystyle d\mu }$

${\displaystyle \alpha _{n}(d\mu )=\gamma _{n}}$

ヴェルブランスキーの定理は、内の任意の数列に対して、 上の唯一の非自明な確率測度が存在することを述べています。[ 4 ^]${\displaystyle \{\alpha _{j}^{(0)}\}_{j=0}^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \alpha _{j}(d\mu )=\alpha _{j}^{(0)}}$

バクスターの定理は、ヴェルブランスキー係数が絶対収束級数を形成するのは、のモーメントが絶対収束級数を形成し、重み関数がどこでも厳密に正である場合のみであることを述べています。^[5]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle w}$

上の任意の非自明な確率測度に対して、ヴェルブルンスキーのセゲーの定理の形式は次のように述べている。 ${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle \mathbb {T} }$

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }(1-|\alpha _{n}|^{2})=\exp {\big (}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log w(\theta )\,d\theta {\big )}.}$

左辺は とは独立であるが、 である Szegő の原版とは異なり、 Verblunsky の形式では が許容される。^[6]続いて、 ${\displaystyle d\mu _{s}}$${\displaystyle d\mu =d\mu _{ac}}$${\displaystyle d\mu _{s}\neq 0}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|\alpha _{n}|^{2}<\infty \;\iff \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log w(\theta )\,d\theta >-\infty }$。

その結果の一つは、離散化されたシュレーディンガー作用素の混合スペクトルの存在である。^[7]

ラクマノフの定理は、測度の絶対連続部分がほぼどこでも正である場合、ヴェルブランスキー係数は0 に近づくことを述べています。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha _{n}}$

ロジャース・セゲー多項式は、単位円上の直交多項式の例です。

• 三角モーメント問題
• シュールクラス

• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010)、「単位円上の直交多項式」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
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