アフィンルートシステム

数学において、アフィンルート系は、ユークリッド空間上のアフィン線型関数のルート系である。アフィンリー代数と超代数、および半単純p進代数群の分類に使用され、マクドナルド多項式の族に対応する。縮小アフィンルート系は、カックとムーディがカック-ムーディ代数に関する研究で使用した。おそらく縮小されていないアフィンルート系は、マクドナルド（1972年）とブルハット＆ティッツ（1972年）によって導入され、分類された（ただし、これらの論文の両方でディンキン図が誤って省略されている）。 ）。

E をアフィン空間、V をその変換のベクトル空間とします。V は E に対して忠実かつ推移的に作用することを思い出してください。特に、の場合、 となる唯一の元 w であると表記されるV内の元が適切に定義されます。 ${\displaystyle u,v\in E}$${\displaystyle uv}$${\displaystyle v+w=u}$

ここで、 Vにスカラー積があるとします。これにより、 E上の計量がとして定義されます。 ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle d(u,v)=\vert (uv,uv)\vert }$

アフィン線形関数のベクトル空間F を考えます。 a を固定すると、Fのすべての要素は、 の選択に依存しないV上の線形関数を使用してと表すことができます。 ${\displaystyle f\colon E\longrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in E}$${\displaystyle f(x)=Df(x-x_{0})+f(x_{0})}$${\displaystyle Df}$${\displaystyle x_{0}}$

ここで、選択されたスカラー積のおかげで、 Vの双対はVと同一視でき、 F上の積を と定義できます。任意の およびに対してそれぞれおよびを設定します。この同一視により、 E上の反射を次のように定義できます。 ${\displaystyle (f,g)=(Df,Dg)}$${\displaystyle f^{\vee }={\frac {2f}{(f,f)}}}$${\displaystyle v^{\vee }={\frac {2v}{(v,v)}}}$${\displaystyle f\in F}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle w_{f}}$

${\displaystyle w_{f}(x)=xf^{\vee }(x)Df}$

転置によりFにも作用する ${\displaystyle w_{f}}$

${\displaystyle w_{f}(g)=g-(f^{\vee},g)f}$

アフィンルート系は次のような部分集合です。 ${\displaystyle S\in F}$

Sの元はアフィン根と呼ばれる。 によって生成される群を で表す。また、 ${\displaystyle w(S)}$${\displaystyle w_{a}}$${\displaystyle a\in S}$

これは、任意の 2 つのコンパクトについて、の元が有限数である ことを意味します。${\displaystyle K,H\subseteq E}$${\displaystyle w(S)}$${\displaystyle w(K)\cap H\neq \varnothing }$

アフィンルートシステムA ₁ = B ₁ = B^∨
₁= C ₁ = C^∨
₁は同じであり、 B ₂ = C ₂、Bのペアも同様である 。^∨
₂=こ^∨
₂、A ₃ = D ₃

表に示されている軌道の数は、ワイル群による単純ルートの軌道の数です。ディンキン図では、簡約されていない単純ルート α (2α がルート) は緑色で表示されます。一連のディンキン図の最初の図は、他の図と同じ規則に従わない場合があります。

ランク 1 : A ₁、BC ₁、( BC ₁、C ₁ )、( C^∨
₁、紀元前₁年）、（C^∨
₁、C ₁）。

ランク2：A ₂、 C ₂、C^∨
₂、BC ₂、（BC ₂、C ₂）、（C^∨
₂、BC ₂）、（B ₂、B^∨
₂）、（C^∨
₂、C ₂）、 G ₂、G^∨
₂。

ランク 3 : A ₃、B ₃、B^∨
₃、C ₃、C^∨
₃、BC ₃、（BC ₃、C ₃）、（C^∨
₃、BC ₃）、（B ₃、B^∨
₃）、（C^∨
₃、C ₃）。

ランク4：A ₄、B ₄、B^∨
₄、C ₄、C^∨
₄、BC ₄、（BC ₄、C ₄）、（C^∨
₄、BC ₄）、（B ₄、B^∨
₄）、（C^∨
₄、C ₄）、D ₄、F ₄、F^∨
₄。

ランク 5 : A ₅、B ₅、B^∨
₅、C ₅、C^∨
₅、BC ₅、（BC ₅、C ₅）、（C^∨
₅、BC ₅）、（B ₅、B^∨
₅）、（C^∨
₅、C ₅）、D ₅。

ランク 6 : A ₆、B ₆、B^∨
₆、C ₆、C^∨
₆、BC ₆、（BC ₆、C ₆）、（C^∨
₆、BC ₆）、（B ₆、B^∨
₆）、（C^∨
₆、C ₆）、D ₆、E ₆、

ランク 7 : A ₇、B ₇、B^∨
₇、C ₇、C^∨
₇、BC ₇、（BC ₇、C ₇）、（C^∨
₇、BC ₇）、（B ₇、B^∨
₇）、（C^∨
₇、C ₇）、D ₇、E ₇、

ランク 8 : A ₈、B ₈、B^∨
₈、C ₈、C^∨
₈、BC ₈、（BC ₈、C ₈）、（C^∨
₈、BC ₈）、（B ₈、B^∨
₈）、（C^∨
₈、C ₈）、D ₈、E ₈、

順位n ( n >8) : A _n、B _n、B^∨
_いいえ、Cn、C_​^∨
_いいえ、BC _n、（BC _n、C _n）、（C^∨
_いいえ、BC _n）、（B _n、B^∨
_いいえ）、（C^∨
_いいえ、C _n）、D _n。

• マクドナルド（1972）は、アフィンルートシステムがマクドナルド恒等式を表すことを示した。
• Bruhat & Tits (1972) は、アフィンルートシステムを使用してp進代数群を研究しました。
• 既約アフィンルート系はアフィンKac-Moody 代数に分類され、非既約アフィンルート系はアフィンLie 超代数に対応します。
• マクドナルド（2003）は、アフィン根系がマクドナルド多項式の族を表すことを示した。

• ブルーハット、F.ティッツ、ジャック (1972)、「Groupes réductifs sur un corps local」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、41 : 5–251、doi :10.1007/bf02715544、ISSN  1618-1913、MR  0327923、S2CID  125864274
• マクドナルド、IG (1972)、「アフィンルートシステムとデデキントのη関数」、Inventiones Mathematicae、15 (2): 91–143、Bibcode :1971InMat..15...91M、doi :10.1007/BF01418931、ISSN  0020-9910、MR  0357528、S2CID  122115111
• マクドナルド、IG (2003)、「アフィン・ヘッケ代数と直交多項式」、ケンブリッジ数学論文集、第157巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、pp. x+175、ISBN 978-0-521-82472-9、MR  1976581