離散測定

数学、より正確には測度論において、 実数直線 上の測度は、それがたかだか可算な集合に集中している場合、（ルベーグ測度に関して）離散測度と呼ばれます。台は離散集合である必要はありません。幾何学的には、（ルベーグ測度に関して）実数直線上の離散測度は質点の集合です。

2つの（正の）σ有限測度 と可測空間が与えられたとき、に最大で可算な部分 集合が存在し、 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle S\subset X}$${\displaystyle \Sigma }$

1. を持つすべてのシングルトン は測定可能（つまり、 の任意の部分集合は測定可能である）${\displaystyle \{s\}}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle S}$
2. ${\displaystyle \nu (S)=0\,}$
3. ${\displaystyle \mu (X\setminus S)=0.\,}$

上の測度が（ に関して）離散的であるとは、次の形式を持つ 場合のみである。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\delta _{s_{i}}}$

と定義される 集合上のディラック測度は${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \delta _{s_{i}}}$${\displaystyle S=\{s_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \delta _{s_{i}}(X)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}s_{i}\in X\\0&{\mbox{ if }}s_{i}\not \in X\\\end{cases}}}$

すべてに対して。 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

符号付き測度に対する離散性の概念を定義することもできる。その場合、上記の条件2と3の代わりに、のすべての測定可能な部分集合上で がゼロであり、の測定可能な部分集合上で がゼロであることを要求する必要がある^{[説明が必要]}${\displaystyle \nu }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X\backslash S.}$

実数直線上のルベーグ可測集合上で定義され、その値が である測度は、（おそらく有限の）数列が 存在する場合、離散的であると言われる。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle [0,\infty ]}$

${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots \,}$

そのような

${\displaystyle \mu (\mathbb {R} \backslash \{s_{1},s_{2},\dots \})=0.}$

前のセクションの最初の 2 つの要件は、 がルベーグ測度である 場合、実数直線のせいぜい可算な部分集合に対して常に満たされることに注意してください。${\displaystyle \nu }$

実数直線上の離散測度の最も単純な例はディラックのデルタ関数 である。 ${\displaystyle \delta .}$${\displaystyle \delta (\mathbb {R} \backslash \{0\})=0}$${\displaystyle \delta (\{0\})=1.}$

より一般的には、実数直線上の任意の離散測度が次の形を持つことが証明できる。

${\displaystyle \mu =\sum _{i}a_{i}\delta _{s_{i}}}$

適切に選択された（おそらく有限の）実数列と、同じ長さの 内の数列に対して。${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots }$${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$${\displaystyle [0,\infty ]}$

• 孤立点 - 部分集合 S の点であり、その周囲に S の他の点が存在しない点
• ルベーグの分解定理
• シングルトン（数学）  – ちょうど1つの要素を持つ集合
• 特異測度 - サポートがルベーグ測度（またはその他の測度）がゼロである測度または確率分布Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

• 「なぜ離散原子測度はディラック測度への分解を許さなければならないのか？さらに、「原子クラス」とは何なのか？」。math.stackexchange.com。2022年2月24日。
• Kurbatov, VG (1999)。関数微分演算子と方程式。Kluwer Academic Publishers。ISBN 0-7923-5624-1。

• AP Terekhin (2001) [1994]、「離散測度」、数学百科事典、EMS Press