双直交多項式

数学において、双直交多項式は、複数の異なる測度に直交する多項式です。双直交多項式は直交多項式の一般化であり、直交多項式の多くの特性を共有しています。文献には双直交多項式の 2 つの異なる概念が存在します。Iserles & Nørsett (1988) は、測度のシーケンスに関して双直交する多項式の概念を導入し、Szegő は、互いに双直交する 2 つの多項式シーケンスの概念を導入しました。

多項式pは測度列μ ₁ , μ ₂ , ... に関して双直交的であるとは、

${\displaystyle \int p(x)\,d\mu _{i}(x)=0}$i ≤ deg( p ) の場合に常に成立します。

2つの多項式列ψ ₀ , ψ ₁ , ... とφ ₀ , φ _{1 , ... は、（ある測度}μに対して） 双直交的であるという。

${\displaystyle \int \phi _{m}(x)\psi _{n}(x)\,d\mu (x)=0}$

m  ≠  nの場合。

双直交列のペアの定義は、ある意味では、測度の列に関する双直交性の定義の特殊なケースです。より正確には、2 つの多項式列 ψ ₀、 ψ ₁、... および φ ₀、 φ _{1 、... が測度の列 φ 0} μ、 φ ₁ μ、 ... に対して双直交であり、かつ、列 φ 0 、 φ 1 、... が測度の列 ψ ₀ μ 、_{ψ 1 μ} ​​、... に対して双直交である場合に限り、測度_{μに対して双}直交です。

• イゼルレス、アリエ; ノーセット、シバート・ポール (1988)、「双直交多項式の理論について」、アメリカ数学会誌、306 (2): 455–474、doi : 10.2307/2000806、ISSN  0002-9947、JSTOR  2000806、MR  0933301