連続ハーン多項式

数学において、連続ハーン多項式は、アスキーの超幾何直交多項式の体系における直交多項式の族である。これらは、一般化された超幾何関数を用いて次のように定義される。

${\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d)=i^{n}{\frac {(a+c)_{n}(a+d)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,n+a+b+c+d-1,a+ix\\a+c,a+d\end{array}};1\right)}$

Roelof Koekoek、Peter A. Lesky、およびRené F. Swarttouw ( 2010、14 )は、彼らの所有する不動産の詳細なリストを提示している。 

密接に関連する多項式には、双対ハーン多項式R _n ( x ;γ,δ, N )、ハーン多項式Q _n ( x ; a , b , c )、および連続双対ハーン多項式S _n ( x ; a , b , c ) があります。これらの多項式はすべて、q-ハーン多項式Q _n ( x ;α,β, N ; q )など、追加のパラメータqを持つq-類似の多項式を持っています。

連続ハーン多項式p _n ( x ; a , b , c , d ) は重み関数に関して直交する。

${\displaystyle w(x)=\ガンマ (a+ix)\,\ガンマ (b+ix)\,\ガンマ (c-ix)\,\ガンマ (d-ix)。}$

特に、それらは直交関係を満たします^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{m}(x;a,b,c,d)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\,dx\\&\qquad \qquad ={\frac {\Gamma (n+a+c)\,\Gamma (n+a+d)\,\Gamma (n+b+c)\,\Gamma (n+b+d)}{n!(2n+a+b+c+d-1)\,\Gamma (n+a+b+c+d-1)}}\,\delta _{nm}\end{aligned}}}$

のために${\displaystyle \Re (a)>0}$、${\displaystyle \Re (b)>0}$、${\displaystyle \Re (c)>0}$、${\displaystyle \Re (d)>0}$、${\displaystyle c={\overline {a}}}$、${\displaystyle d={\overline {b}}}$。

連続ハーン多項式の列は漸化式^{[ 4 ]を満たす。}

${\displaystyle xp_{n}(x)=p_{n+1}(x)+i(A_{n}+C_{n})p_{n}(x)-A_{n-1}C_{n}p_{n-1}(x),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{where}}\quad &p_{n}(x)={\frac {n!(n+a+b+c+d-1)!}{(2n+a+b+c+d-1)!}}p_{n}(x;a,b,c,d),\\&A_{n}=-{\frac {(n+a+b+c+d-1)(n+a+c)(n+a+d)}{(2n+a+b+c+d-1)(2n+a+b+c+d)}},\\{\text{and}}\quad &C_{n}={\frac {n(n+b+c-1)(n+b+d-1)}{(2n+a+b+c+d-2)(2n+a+b+c+d-1)}}.\end{aligned}}}$

連続ハーン多項式はロドリゲスのような公式^{[ 5 ]で与えられる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad ={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(\Gamma \left(a+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(b+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(c+{\frac {n}{2}}-ix\right)\,\Gamma \left(d+{\frac {n}{2}}-ix\right)\right).\end{aligned}}}$

連続ハーン多項式は、次の生成関数を持つ：^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+a+b+c+d)\,\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (a+d+1)}{\Gamma (a+b+c+d)\,\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+a+d+1)}}(-it)^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad =(1-t)^{1-a-b-c-d}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}(a+b+c+d-1),{\frac {1}{2}}(a+b+c+d),a+ix\\a+c,a+d\end{array}};-{\frac {4t}{(1-t)^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

2番目の、異なる生成関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (b+d+1)}{\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+b+d+1)}}t^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)=\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}a+ix\\a+c\end{array}};-it\right)\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}d-ix\\b+d\end{array}};it\right).}$

• ウィルソン多項式は、連続ハーン多項式の一般化である。
• バットマン多項式F _n (x) は、連続ハーン多項式の特殊な場合a = b = c = d = 1/2 と次のように関連付けられます。

${\displaystyle p_{n}\left(x;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)=i^{n}n!F_{n}\left(2ix\right).}$

• ヤコビ多項式P _n ^(α,β) (x) は、連続ハーン多項式の極限として得られる: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\lim _{t\to \infty }t^{-n}p_{n}\left({\tfrac {1}{2}}xt;{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1-it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1-it)\right).}$

• Hahn、Wolfgang (1949)、「Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen」、Mathematische Nachrichten、2 : 4–34、doi : 10.1002/mana.19490020103、ISSN 0025-584X、MR 0030647  
• ロエロフ・コエコーク。レスキー、ピーター A. Swarttouw、René F. (2010)、Hypergeometric orthogonal Polynomials and their q-analogues、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi : 10.1007/978-3-642-05014-5、ISBN 978-3-642-05013-8MR 2656096​ 
• コーンワインダー、トム H.ウォン、ロデリック SC。ロエロフ・コエコーク。 Swarttouw、René F. (2010)、「Hahn Class: Definitions」、Olver、Frank WJ ;ロジエ、ダニエル M.ボワヴェール、ロナルド F. Clark, Charles W. (編)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ 。
• Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, ​​Ranjan (1999)、特殊関数、数学とその応用百科事典71、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-62321-6