アスキー方式

数学において、アスキー方式は、超幾何型または基本超幾何型の直交多項式を階層的に編成する方法です。Andrews & Askey (1985) で議論された古典的な直交多項式の場合、アスキー方式は Labelle (1985) とAskeyおよび Wilson (1985) によって最初に作成され、その後 Koekoek & Swarttouw (1998) および Koekoek、Lesky、Swarttouw (2010) によって拡張され、基本直交多項式をカバーしています。

Koekoek、Lesky、Swarttouw (2010、p.183) は、Askey スキームの次のバージョンを示しています。

${\displaystyle {}_{4}F_{3}(4)}$

ウィルソン|ラカ

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(3)}$

連続デュアルハーン|連続ハーン|ハーン|デュアルハーン

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(2)}$

マイクスナー・ポラチェク|ジャコビ|擬似ヤコビ|メイクナー|クロチョーク

${\displaystyle {}_{2}F_{0}(1)\ \ /\ \ {}_{1}F_{1}(1)}$

ラゲール|ベッセル|シャルリエ

${\displaystyle {}_{2}F_{0}(0)}$

エルミート

ここではパラメータ を持つ超幾何級数表現を示す${\displaystyle {}_{p}F_{q}(n)}$${\displaystyle n}$

Koekoek、Lesky、Swarttouw (2010、p.413) は、基本的な超幾何直交多項式について次のスキームを示しています。

_{4 3}${\displaystyle \phi}$

アスキー・ウィルソン| q-Racah

_{3 2}${\displaystyle \phi}$

連続デュアル q-ハーン|連続 q-ハーン|ビッグ q-ヤコビ| q-ハーン|デュアル q-ハーン

_{2 1}${\displaystyle \phi}$

アルサラーム – 千原| q-マイクスナー・ポラチェク|連続 q-Jacobi |ビッグ・ク・ラゲール|リトル・キュー・ヤコビ| q-マイクスナー|量子q-クラウチョーク| q-クラウチョーク|アフィン・ク・クラウチョーク|デュアル q-クローチョーク

_{2 0} / _{1 1}${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$

連続大 q-エルミート|連続 q-ラゲール|小 q-ラゲール| q-ラゲール| q-ベッセル| q-シャルリエ|アル・サラム・カルリッツ I |アル・サラム・カルリッツ II

_{1 0}${\displaystyle \phi}$

連続 q-エルミート|スティルチェス-ヴィゲルト|離散 q-エルミート I |離散 q-エルミート II

より一般的な直交多項式の族を構築する方法はいくつかあるが、同じ形式の超幾何関数を再利用してアスキー方式を拡張することは通常不可能である。例えば、次のような新しい例が見つかるのではないかと単純に期待する人もいるかもしれない。

${\displaystyle p_{n}(x)={}_{q+1}F_{q}\left({\begin{array}{c}-n,n+\mu ,a_{1}(x),\dots ,a_{q-1}(x)\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};1\right)}$

これはウィルソン多項式に対応する。これはCheikh、Lamiri、Ouni (2009)で、1次の多項式であり、 ${\displaystyle q=3}$${\displaystyle a_{i}(x)}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{q-1}(a_{i}(x)+r)=\prod _{i=1}^{q-1}a_{i}(x)+\pi (r)}$

ある多項式に対して。 ${\displaystyle \pi (r)}$

• Andrews, George E.; Askey, Richard (1985)、「Classical orthogonal polynomials」、Brezinski, C.、Draux, A.、Magnus, Alphonse P.、Maroni, Pascal、Ronveaux, A. (eds.)、Polynômes orthogonaux et applications。1984 年 10 月 15 ～ 18 日に Bar-le-Duc で開催された Laguerre シンポジウムの議事録。、Lecture Notes in Math.、vol. 1171、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 36 ～ 62、doi :10.1007/BFb0076530、ISBN 978-3-540-16059-5、MR  0838970
• アスキー、リチャード、ウィルソン、ジェームズ（1985）、「ヤコビ多項式を一般化するいくつかの基本的な超幾何直交多項式」、アメリカ数学会誌、54（319）：iv+55、doi：10.1090/memo/0319、ISBN 978-0-8218-2321-7、ISSN  0065-9266、MR  0783216
• Cheikh, Y. Ben; Lamiri, I.; Ouni, A. (2009)、「Askey スキームと d-直交性について、I: 特性定理」、Journal of Computational and Applied Mathematics、233 : 621–629
• Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (1998)、「超幾何直交多項式の Askey スキームとその q 類似体」、第 98 ～ 17 巻、デルフト工科大学、情報技術システム学部、技術数学および情報科学科
• ロエロフ・コエコーク。レスキー、ピーター A. Swarttouw、René F. (2010)、Hypergeometric orthogonal Polynomials and their q-analogues、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-642-05014-5、ISBN 978-3-642-05013-8、MR  2656096
• Koornwinder, Tom H. (1988)、「Askey の超幾何直交多項式のスキームの群論的解釈」、直交多項式とその応用 (Segovia、1986)、数学講義ノート、第 1329 巻、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 46–72、doi :10.1007/BFb0083353、ISBN 978-3-540-19489-7、MR  0973421
• Labelle, Jacques (1985)、「Tableau d'Askey」、ブレジンスキー、C.ドロー、A.マグナス、アルフォンス P.マローニ、パスカル。 Ronveaux, A. (編)、Polynômes Orthogonaux et Applications。 Bar-le-Duc で開催されたラゲール シンポジウムの議事録、Lecture Notes in Math.、vol. 1171、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. xxxvi–xxxvii、doi :10.1007/BFb0076527、ISBN 978-3-540-16059-5、MR  0838967