離散直交多項式

数学において、離散直交多項式の列は、離散測度に関して対になって直交する多項式の列です。例として、離散チェビシェフ多項式、シャルリエ多項式、 クラフチューク多項式、メイクスナー多項式、双対ハーン多項式、 ハーン多項式、ラカー多項式などがあります。

測度が有限の台を持つ場合、対応する離散直交多項式のシーケンスには有限個の要素しかありません。Racah多項式は、この例を示しています。

重み関数を持つある集合上の離散測度 を考えます。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle S=\{s_{0},s_{1},\dots \}}$${\displaystyle \omega (x)}$

直交多項式の族は、 （それぞれ）に関して直交している場合、離散的と呼ばれます。つまり、 ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \sum \limits _{x\in S}p_{n}(x)p_{m}(x)\omega (x)=\kappa _{n}\delta _{n,m},}$

クロネッカーデルタはどこにありますか。^[1]${\displaystyle \delta_{n,m}}$

任意の離散測度は次の形式をとる。

${\displaystyle \mu =\sum _{i}a_{i}\delta _{s_{i}}}$、

したがって重み関数は次のように定義できます。 ${\displaystyle \omega (s_{i})=a_{i}}$

• Baik, Jinho; Kriecherbauer, T.; McLaughlin, KT-R.; Miller, PD (2007)、「離散直交多項式。漸近論と応用」、Annals of Mathematics Studies、vol. 164、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-12734-7、MR  2283089