作用素理論

数学において、作用素論は、微分作用素と積分作用素から始まる関数空間上の線型作用素の研究である。作用素は、有界線型作用素や閉作用素などの特性によって抽象的に表現される場合があり、非線型作用素が考慮されることもある。関数空間の位相に大きく依存するこの研究は、関数解析の一分野である。

作用素の集合が体上の代数を形成する場合、それは作用素代数である。作用素代数の記述は作用素理論の一部である。

単一演算子理論は、演算子の特性と分類を 1 つずつ考慮して扱います。たとえば、スペクトルの観点から見た通常の演算子の分類は、このカテゴリに分類されます。

スペクトル定理は、線型作用素または行列に関するいくつかの結果のいずれかです。^[1]大まかに言えば、スペクトル定理は、作用素または行列を対角化できる（つまり、何らかの基底で対角行列として表される）条件を提供します。この対角化の概念は、有限次元空間上の作用素については比較的単純ですが、無限次元空間上の作用素についてはいくらかの修正が必要です。一般に、スペクトル定理は、期待できる限り単純な乗算作用素によってモデル化できる線型作用素のクラスを特定します。より抽象的な言葉で言えば、スペクトル定理は可換C*-代数に関するステートメントです。歴史的な観点についてはスペクトル理論も参照してください。

スペクトル定理が適用される演算子の例としては、自己随伴演算子、またはより一般的にはヒルベルト空間上の正規演算子があります。

スペクトル定理は、演算子が作用する基礎となるベクトル空間の、 スペクトル分解、固有値分解、または固有分解と呼ばれる標準分解も提供します。

複素ヒルベルト空間H上の正規作用素は連続線型作用素N  : H → Hであり、そのエルミート随伴作用素N*と可換である。つまり、NN* = N*Nである。^[2]

正規作用素はスペクトル定理が成り立つため重要である。今日では、正規作用素のクラスはよく理解されている。正規作用素の例としては、

• ユニタリ演算子: N* = N ⁻¹
• エルミート演算子（すなわち、自己随伴演算子）：N* = N ; （また、反自己随伴演算子：N* = − N）
• 正の演算子: N = MM*
• ヒルベルト空間をC ⁿとすると、正規行列は正規演算子として見ることができます。

スペクトル定理は、より一般的なクラスの行列に拡張されます。A を有限次元内積空間上の演算子とします。A ^* A = AA ^* の場合、A は正規であるといわれます。Aが正規であるためには、ユニタリ対角化可能である必要があります。シューア分解により、 A = UTU ^*となります。ここで、Uはユニタリで、T は上三角です。Aは正規なので、TT ^* = T ^* Tです。したがって、正規の上三角行列は対角であるため、 T は対角である必要があります。逆は明らかです。

言い換えれば、A が正規行列となるのは、次を満たすユニタリ行列 U が存在する場合のみであり、ここ でDは対角行列です。この場合、 Dの対角要素はAの固有値です。U の列ベクトルはAの固有ベクトルであり、正規直交です。エルミートの場合とは異なり、 Dの要素は実数である必要はありません。 $${\displaystyle A=UDU^{*}}$$

複素ヒルベルト空間間の任意の有界線型作用素Aの極分解は、部分等長変換と非負の作用素の積としての標準的な因数分解である。 ^[3]

行列の極分解は次のように一般化されます。A が有界線型演算子である場合、 A の唯一の因数分解は積 A = UP として存在します。ここで、Uは部分等長変換、P は非負の自己随伴演算子であり、Uの初期空間はPの値域の閉包です。

演算子U は、次の問題のため、ユニタリではなく部分等長演算子に弱められなければなりません。Aがl ² ( N )上の片側シフトである場合、 | A | = ( A*A ) ^1/2 = Iです。したがって、A = U | A | である場合、U はユニタリではないAである必要があります。

極分解の存在はダグラスの補題の結果である。

演算子C は、 C ( Bh ) = Ahによって定義され、 Ran ( B )の閉包への連続性とRan( B )の直交補集合上のゼロによって拡張されます。演算子C は、 A*A ≤ B*B がKer( B ) ⊂ Ker( A )を意味するため、明確に定義されます。次に補題が続きます。

特に、A*A = B*Bの場合、C は部分等長変換であり、 Ker( B* ) ⊂ Ker( C )の場合には一意です。 一般に、任意の有界演算子Aに対して、 ( A*A ) ^{1/2 は}通常の関数計算によって与えられるA*Aの一意の正の平方根です。したがって、補題により、 ある部分等長変換Uに対して、 Ker( A ) ⊂ Ker( U )の場合には一意です。( Ker( A ) = Ker( A*A ) = Ker( B ) = Ker( B* )であり、B = B* = ( A*A ) ^1/2であることに注意してください。) Pを ( A*A ) ^1/2とすると、極分解A = UPが得られます。同様の議論を使用して、 A = P'U' を示すことができることに注意してください。ここで、P'は正であり、U' は部分等長変換です。 $${\displaystyle A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}},}$$$${\displaystyle A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}}$$

Hが有限次元の場合、 U はユニタリ演算子に拡張できますが、これは一般には当てはまりません (上記の例を参照)。代わりに、極分解は特異値分解の演算子バージョンを使用して示すことができます。

連続関数計算の性質により、 | A | はAによって生成されるC*-代数内にあります。部分等長変換についても、同様ですが弱い記述が成り立ちます。つまり、極部分UはAによって生成されるフォン・ノイマン代数内にあります。Aが可逆である場合、U もAによって生成されるC*-代数内にあります。

研究されている演算子の多くは、正則関数のヒルベルト空間上の演算子であり、演算子の研究は関数論の問題と密接に関連しています。たとえば、Beurlingの定理は、ユニラテラルシフトの不変部分空間を内部関数によって記述します。内部関数は、円上のほぼすべての場所でユニモジュラ境界値を持つ単位円上の有界な正則関数です。Beurlingは、ユニラテラルシフトをハーディ空間上の独立変数による乗算として解釈しました。^[4] 乗算演算子、およびより一般的にはテプリッツ演算子（乗算に続いてハーディ空間への射影）の研究の成功は、バーグマン空間などの他の空間に関する同様の問題の研究に影響を与えました。

作用素環理論は、C* 環などの作用素環を前面に 押し出します。

AC*-代数Aは、複素数体上のバナッハ代数であり、写像* : A → Aを伴う。 Aの元xの像をx*と書く。写像 * は以下の性質を持つ: ^[5]

• これは反転であり、Aの任意のxに対して $${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$$
• A内のすべてのx、yについて:$${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$$ $${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$$
• Cのすべての λとAのすべてのxについて:$${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.}$$
• A内のすべてのxについて:$${\displaystyle \|x^{*}x\|=\left\|x\right\|\left\|x^{*}\right\|.}$$

注意:最初の 3 つの恒等式は、Aが*-代数であることを示しています。最後の恒等式はC* 恒等式と呼ばれ、次と同等です。 $${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2},}$$

C*恒等式は非常に強い要件です。例えば、スペクトル半径の公式と組み合わせると、C*ノルムが代数構造によって一意に決定されることを意味します。 $${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ は逆行列を持たない}}\}}.}$$

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• コンウェイ、JB：関数解析コース、第2版、Springer-Verlag、1994年、ISBN 0-387-97245-5 
• 吉野 隆 (1993)。作用素理論入門。Chapman and Hall/CRC。ISBN 978-0582237438。

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