関数解析

数学において、関数計算とは、数学的関数を数学的演算子に適用することを可能にする理論である。^{[ 1 ]}これは現在、関数解析の分野（より正確には、いくつかの関連分野）の一分野であり、スペクトル理論と結びついている。歴史的には、この用語は変分法と同義であった。後者の用語は物理学や工学の教科書で広く使われているが、関数計算は、より数学的に注意深く、形式的で、抽象的で、正確な表現でこの主題をさらに発展させたものである。古い用法は、変分微分と呼ばれることが多い関数微分に今でも見られる。

「関数計算」という用語には、いくつかの関連性のない用法がある。関数方程式の種類に適用される場合もあれば、述語論理における論理体系に適用される場合もある。

「関数微積分」という用語に含まれる数学分野には、以下のようなものがある。

• 演算法とは、微分方程式を多項式方程式に変換することで解く手法である。その中心となる考え方は、積分と微分をそれ自体独立した演算子とみなすことである。そうすることで、微分方程式はこれらの演算子に関する多項式の代数形式で表されるようになる。
• 正則関数解析は、正則関数を研究するために一般的に用いられる手法を拡張しようとするものである。${\displaystyle f(z)}$表現${\displaystyle f(T)}$どこ${\displaystyle T}$は行列演算子または線形演算子です。これには、次の特殊なケースが含まれます。${\displaystyle f(z)}$これは多項式であり、「多項式関数解析」につながる。
• 連続関数解析とは、連続関数の応用を考察する学問である。${\displaystyle f(x)}$C*-代数の通常の要素に。この操作が可能であることが、C*-代数をバナッハ代数の部分集合として区別する主な特徴であり、バナッハ代数は正則関数計算のみをサポートします。C*-代数は、もともと量子力学、特に行列力学のために開発されていた演算子方程式を探求し、形式化するために開発されました。量子力学の決定的な特徴には、演算子がヒルベルト空間に作用すること、演算子の期待値を表すノルムが存在すること、複素共役が対合であり、演算子の随伴を表し、それによって*-代数を形成するという考え方が含まれていました。
• ボレル関数計算は、可換代数からの演算子に適用される任意のボレル関数を考慮することで、連続関数計算を一般化したものです。例えば、ボレル関数計算は、（負の）ラプラシアン演算子の「平方根」を厳密に定義することができます。${\displaystyle -\Delta }$または指数関数${\displaystyle e^{it\Delta }.}$

変分法のために開発された手法は、関数微積分の一般的な発展の動機付けとなる。例えば、${\displaystyle f(x)}$は多項式である${\displaystyle x}$、 そして${\displaystyle T}$は行列または線形演算子であり、次の式を考えることができる。${\displaystyle f(T)}$この正確な意味を与えるには、収束性、コンパクト性、有界性、連続性の問題に取り組む必要がある。

有限次元の場合、多項式関数計算は演算子に関するかなりの情報を提供する。例えば、演算子を消滅させる多項式の族を考えてみよう。${\displaystyle T}$この族は多項式環のイデアルである。さらに、これは非自明なイデアルである。${\displaystyle N}$行列の代数の有限次元を とすると、${\displaystyle \{I,T,T^{2},\ldots ,T^{N}\}}$線形従属です。したがって${\displaystyle \sum _{i=0}^{N}\alpha _{i}T^{i}=0}$いくつかのスカラーに対して$\displaystyle \alpha _{i}}$すべてが 0 に等しいわけではない。これは、多項式が$\displaystyle \sum _{i=0}^{N}\alpha _{i}x^{i}}$イデアルの中に存在する。多項式の環は主イデアル整域であるため、このイデアルは多項式によって生成される。${\displaystyle m}$必要に応じて単位を掛けると、${\displaystyle m}$単項式になる。これを実行すると、多項式は${\displaystyle m}$は、​${\displaystyle T}$この多項式は、${\displaystyle T}$例えば、スカラー${\displaystyle \alpha }$は、${\displaystyle T}$かつその場合に限り${\displaystyle \alpha }$は${\displaystyle m}$また、時々${\displaystyle m}$指数を計算するために使用できます${\displaystyle T}$効率的に。

多項式計算は、無限次元の場合にはそれほど有益ではありません。多項式計算を用いた片側シフトを考えてみましょう。上で定義したイデアルは自明です。したがって、多項式よりも一般的な関数計算に興味が湧きます。この分野はスペクトル理論と密接に関連しています。なぜなら、対角行列や乗算演算子については、定義がどうあるべきかがかなり明確だからです。

• 直接積分– 数学における直接和の概念の一般化 

• 「関数解析」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]

• ウィキメディア・コモンズにある関数微積分に関連するメディア