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内部収益率（IRR ）とは、投資の収益率を計算する方法の一つです。内部収益率とは、リスクフリーレート、インフレ率、資本コスト、財務リスクといった外部要因を計算に含めないことを意味します。
この方法は、事後的にも事前的にも適用できます。事前的に適用する場合、IRRは将来の年間収益率の推定値となります。事後的に適用する場合、IRRは過去の投資で実際に達成された投資収益率を測定します。
これは割引キャッシュフロー収益率（DCFROR）[ 1 ]または利回り率[ 2 ]とも呼ばれます。
投資またはプロジェクトのIRRは、「年率換算の実効複利収益率」、つまり投資からのすべてのキャッシュフロー（プラスとマイナスの両方）の正味現在価値（NPV）をゼロにする収益率です。 [ 2 ] [ 3 ]同様に、将来のキャッシュフローの正味現在価値が初期投資と等しくなる金利であり、 [ 2 ] [ 3 ]また、総コスト（マイナスのキャッシュフロー）の現在価値が総便益（プラスのキャッシュフロー）の現在価値と等しくなる金利でもあります。
IRRは、プロジェクトが損益分岐点に達したときに達成される投資収益率を表し、これはプロジェクトがわずかに価値があると正当化されることを意味します。NPVが正の値を示す場合、プロジェクトが価値を生み出すと予想されます。逆に、NPVが負の値を示す場合、プロジェクトは価値を失うと予想されます。本質的に、IRRは、プロジェクトのNPVが中立状態に達したとき、つまりNPVが損益分岐点に達したときに達成される収益率を示します。[ 4 ]
IRRは、お金と投資の時間選好を考慮に入れています。ある時点で得られる投資収益は、それより後の時点で得られる同じ収益よりも価値が高いため、他のすべての条件が同じであれば、後者のIRRは前者よりも低くなります。資金を一度預け入れ、一定期間ごとに指定された利率で利息が支払われ、元の預金額が増減しない固定利回り投資の場合、IRRは指定された利率に等しくなります。前の投資と同じ総収益が得られるものの、収益の受け取りが1期間以上遅れる投資は、IRRが低くなります。
貯蓄や融資の文脈では、IRRは実効金利とも呼ばれます。
IRRは、投資の収益性、効率性、品質、または利回りを示す指標です。これは、投資を行うことによって得られる正味の価値または規模を示す指標であるNPVとは対照的です。
事業の価値を最大化するには、内部収益率で測定される収益性が最低許容収益率を上回る場合にのみ投資を行うべきである。プロジェクトまたは投資（例えば、新工場の建設）の推定IRRが、そのプロジェクトに投資された企業の資本コストを上回る場合、その投資は収益性がある。推定IRRが資本コストを下回る場合、提案されたプロジェクトは実施すべきではない。[ 5 ]
投資の選択は予算制約の影響を受ける可能性があります。相互に排他的な競合プロジェクトが存在したり、企業が複数のプロジェクトを管理する能力に限界があったりする場合があります。こうした理由から、企業は資本予算編成においてIRR（内部収益率）を用いて、複数の代替資本プロジェクトの収益性を比較します。例えば、企業は新規工場への投資と既存工場の拡張投資を、それぞれのIRRに基づいて比較します。収益を最大化するために、プロジェクトのIRRが高いほど、そのプロジェクトを実施することが望ましいと言えます。
投資の内部収益率（IRR）を測定する方法は少なくとも2つあります。プロジェクトIRRとエクイティIRRです。プロジェクトIRRはキャッシュフローがプロジェクトに直接利益をもたらすと仮定するのに対し、エクイティIRRは負債の返済後の会社の株主へのリターンを考慮します。[ 6 ]
IRRは投資の実現可能性を検証し、代替プロジェクトの収益を比較するために最もよく使われる指標の一つですが、IRRだけを見て投資判断を下すのは最善のアプローチとは言えないかもしれません。IRRの計算時に用いられるいくつかの仮定は、必ずしも投資に適用できるとは限りません。特に、IRRはプロジェクトに中間キャッシュフローがないか、中間キャッシュフローがプロジェクトに再投資されることを前提としていますが、これは必ずしも当てはまるわけではありません。この不一致により収益率が過大評価され、プロジェクトの価値を正しく反映していない可能性があります。[ 7 ]
IRRは、満期利回りやコール利回りなどの指標を用いて、固定利付証券への投資を評価するために使用されます。
IRRと正味現在価値は、投資だけでなく負債にも適用できます。負債の場合、IRRは低い方が高いよりも望ましいです。
企業は、株式発行や自社株買いプログラムを評価する際に内部収益率（IRR）を用います。株主への資本還元による自社株買いの収益は、現在の市場価格における候補となる設備投資プロジェクトや買収プロジェクトよりも高いIRRを示す場合に、実施する価値があります。新規負債を調達して新規プロジェクトに資金を供給する場合、満期利回り（内部収益率）の観点から新規負債のコストを測定することも必要となる場合があります。
IRRは、プライベートエクイティにおいても、有限責任組合員の視点から、投資マネージャーとしてのゼネラルパートナーのパフォーマンスの尺度として使用されます。[ 8 ]これは、有限責任組合員によるコミットメント資本の引き出しを含むキャッシュフローを管理するのはゼネラルパートナーであるためです。
プロジェクトを表すペア（時間、キャッシュフロー）の集合が与えられた場合、正味現在価値（NPV）は収益率の関数となります。内部収益率は、この関数がゼロとなるような収益率、すなわち、NPV = 0 という方程式の解です（裁定取引条件が存在しないと仮定した場合）。
(期間、キャッシュフロー) ペアが与えられた場合 (、） どこは非負の整数で、周期の総数です。、そして（正味現在価値）内部収益率は次式で与えられる。で：
[ 2 ] [ 3 ]
この有理多項式は、 g（ゲイン）を置き換えることで、同じ根を持つ通常の多項式に変換できます。そして掛け合わせる同等だがより単純な条件を得る
可能な IRR は、最初の条件を満たし、2 番目の条件の実根より 1 小さいrの実数値です(つまり、各ルートgについて）。両方の式において、これはプロジェクト開始時の初期投資の否定であり、これはプロジェクト終了時の現金価値であり、プロジェクトが清算され、プロジェクトの価値がゼロになるように支払われた場合に引き出される現金に相当する。2番目の条件ではは、 gの通常の多項式の最高次係数であり、は定数項です。
期間通常は年単位で表されますが、計算は次のように簡略化できます。は、問題の大部分が定義されている期間（たとえば、キャッシュフローの大部分が月単位で発生する場合は月単位）を使用して計算され、その後、年間期間に変換されます。
現在の代わりに任意の固定期間（例えば、年金の一定期間の終了時）を使用できます。得られる値は、正味現在価値（NPV）がゼロの場合に限りゼロになります。
終身年金のようにキャッシュフローが確率変数である場合は、期待値を上記の式に代入します。
多くの場合、上記の式を満たす関数は解析的に求めることができない。この場合、数値解法または図解法を用いる必要がある。
投資はキャッシュフローのシーケンスによって与えられる可能性がある
そしてIRRは
この場合、答えは5.96%です（計算上、r = 0.0596）。
上記は方程式の根を求めるという一般的な問題の現れであるため推定に使用できる数値的方法は多数あります例えば、割線法を用いると、は
どこはIRRの近似値。
これは任意の精度で求めることができます。会計ソフトによって、精度レベルが異なる関数が用意されている場合があります。例えば、Microsoft ExcelとGoogle Sheetsには、固定期間と変動期間の両方でIRRを計算する組み込み関数「=IRR(...)」と「=XIRR(...)」があります。
収束挙動は以下のとおりです。
持ついつまたはいつ収束を加速させる可能性があるに。
特に注目すべきは、支払いの流れが単一の流出と、それに続く等間隔で発生する複数の流入から構成される場合である。上記の表記では、これは以下に対応する。
この場合、支払ストリームの正味現在価値（NPV）は、金利の凸関数であり、厳密に減少する関数です。内部収益率（IRR）には常に唯一の解が存在します。
2つの推定値を考慮するとそしてIRRの場合、割線法の式（上記参照）常に改善された見積もりを生み出すこれは、試行錯誤法（または試行錯誤法）と呼ばれることもあります。より正確な補間式も得られます。例えば、補正付き割線公式などです。
（最も正確なのは）は、幅広い金利と初期推定値に対して、割線公式よりもほぼ10倍正確であることが示されています。たとえば、支払いの流れ{ − 4000、1200、1410、1875、1050}と初期推定値を使用すると、そして補正を加えた割線公式によるIRR推定値は14.2%（誤差0.7%）であり、割線法によるIRR = 13.2%（誤差7%）と比較して高い値を示した。
繰り返し適用すれば、割線法も改良された公式も、必ず正しい解に収束する。
割線法と改良式はいずれも、IRRの初期推定値に依存します。以下の初期推定値を使用できます。
どこ
ここ、流入のNPVのみを指します（つまり、そしてNPVを計算する。
キャッシュフローいつでも発生する可能性がありますプロジェクト開始から数年後。整数値にならない場合もある。キャッシュフローは、やはり係数で割り引く必要がある。そしてその公式は
数値解法にはニュートン法を用いることができる。
どこはそして、
初期値与えることができる
プロジェクトが価値を生み出すかどうかという投資判断を行うためのツールとして、他のプロジェクトとは切り離して、単一プロジェクトのIRRを要求収益率と比較することは、NPV法と同等です。適切なIRR（正しく算出できる場合）が要求収益率よりも大きい場合、要求収益率を用いてキャッシュフローを現在価値に割り引くと、そのプロジェクトのNPVは正の値となり、逆もまた然りです。ただし、IRRを用いてプロジェクトを優先順位付けしても、NPVを用いた場合と同じ順序にはなりません。
投資目標の一つとして、プロジェクトの総正味現在価値（NPV）を最大化することが考えられる。
総価値を最大化することを目的とする場合、算出された内部収益率（IRR）は、相互に排他的なプロジェクトを選択するために使用すべきではない。
一方のプロジェクトの初期投資額が他方の相互排他的なプロジェクトよりも高い場合、最初のプロジェクトは内部収益率（期待収益率）は低いものの、正味現在価値（株主の富の増加）は高くなる可能性があり、したがって（資本制約がないと仮定した場合）2番目のプロジェクトよりも最初のプロジェクトを採用すべきである。
総価値の最大化を目的とする場合、IRRは期間の異なるプロジェクトを比較するために使用すべきではありません。例えば、期間が長くIRRが低いプロジェクトによって追加されるNPVは、総正味キャッシュフローの規模が同程度であっても、期間が短くIRRが高いプロジェクトによって追加されるNPVよりも大きくなる可能性があります。
学術的にはNPVが強く好まれるにもかかわらず、調査によると経営幹部はNPVよりもIRRを好むことが示されている。[ 9 ]明らかに、経営者はNPVで企業価値を最大化するよりも、IRRを使用して予測投資パフォーマンスの観点から異なる規模の投資を比較することを好む。この好みは、相互排他的なプロジェクトを比較する場合に違いを生む。
総価値の最大化は、考えられる唯一の投資目標ではありません。例えば、長期的な収益の最大化という目標も考えられます。このような目標であれば、資本予算内で最も高い内部収益率（IRR）を持つ新規プロジェクトを優先的に受け入れるのが合理的でしょう。なぜなら、そのようなプロジェクトを追加することで、全体的な長期収益を最大化できる傾向があるからです。
これを理解するために、マックス・バリューとマックス・リターンという2人の投資家を考えてみましょう。マックス・バリューは自身の純資産をできるだけ大きくしたいと考えており、そのためには使える資金をすべて投資するつもりです。一方、マックス・リターンは長期的な収益率を最大化したいと考えており、初期投資額は少ないものの収益率の高いプロジェクトを選ぶことを好みます。マックス・バリューとマックス・リターンはそれぞれ、銀行から年間10%の金利で最大10万米ドルを調達でき、その金利は年末に支払われます。
投資家のマックスバリューとマックスリターンは、「ビッグイズベスト」と「スモールイズビューティフル」という2つの投資候補プロジェクトを提示されます。「ビッグイズベスト」は本日10万米ドルの投資が必要で、幸運な投資家は1年後に13万2000米ドルの配当を受け取ることができます。「スモールイズビューティフル」は本日1万米ドルの投資で済み、1年後に1万3750米ドルの配当を受け取ることができます。
両投資家にとっての資本コストは10パーセントである。
「大きい方が良い」と「小さい方が良い」はどちらも正の正味現在価値（NPV）を持つ。
そして、それぞれの内部収益率（IRR）は（当然ながら）資本コストよりも高い。
つまり、Big-Is-BestのIRRは32パーセントで、
つまり、Small-Is-Beautifulの内部収益率（IRR）は37.5パーセントです。
どちらの投資も投資家にとって受け入れ可能なものですが、問題は、両投資家の資金予算が10万米ドルに制限されているため、これらのプロジェクトは互いに排他的であるということです。投資家はどのようにしてこの2つのプロジェクトから合理的な選択をするのでしょうか？
例えば、Max Valueは正味現在価値が20,000米ドルと高い「Big-Is-Best」を選択し、Max Returnは「Big-Is-Best」の32%のリターンに対し、37.5%と高いリターンが見込める「Small-Is-Beautiful」を選択します。結果として、それぞれの意思決定者は対立することなく、異なるプロジェクトを選択することになります。
これは両方の投資家にとってどのように合理的と言えるのでしょうか？その答えは、投資家が10万米ドル全額を投資する必要がないという点にあります。マックス・リターンは今のところ1万米ドルだけを投資することに満足しています。結局のところ、マックス・リターンは、明日には銀行がマックス・リターンに貸し出す残りの9万米ドルを、さらに高い内部収益率（IRR）で投資できる新たな機会が現れるかもしれないと考え、この結果を正当化するかもしれません。たとえスモール・イズ・ビューティフルと全く同じプロジェクトがさらに7件しか現れなかったとしても、マックス・リターンはわずか8万米ドルの投資でビッグ・イズ・ベストの正味現在価値（NPV）に匹敵することができ、さらに2万米ドルを本当に見逃せない機会のために予算に残しておくことができます。マックス・バリューもまた、すぐに資本予算を使い切ったので満足しており、残りの1年間は投資を休むことに決めました。
キャッシュフローの符号が複数回変化する場合、例えばプラスのキャッシュフローの後にマイナスのキャッシュフローが続き、その後プラスのキャッシュフローが続く場合（+ + − − − +）、IRRは複数の実数値を持つ可能性があります。例えば、( − 10, 21, − 11 ) のような一連のキャッシュフローでは、最初は投資を行うため、高い収益率が望ましいですが、その後、保有額を超える収入を得るため、負債が発生し、今度は低い収益率が望ましいことになります。この場合、高いIRRと低いIRRのどちらが良いのかさえ明確ではありません。
一つのプロジェクトでも、例えば0%と10%のように、複数の実質的な内部収益率（IRR）が存在する場合があります。このようなプロジェクトの例としては、露天掘り鉱山や原子力発電所などが挙げられ、これらのプロジェクトでは通常、プロジェクト終了時に多額の資金流出が発生します。
IRRは多項式方程式を満たします。シュトゥルムの定理を用いると、その方程式が唯一の実数解を持つかどうかを判定できます。一般に、IRR方程式は解析的に解くことはできず、反復法によってのみ解くことができます。
複数の内部収益率がある場合でも、基礎となる投資の流れが純投資または純借入として正しく識別されていれば、IRRアプローチは現在価値アプローチと整合性のある方法で解釈することができます。[ 10 ]
複数のIRR解の中から関連するIRRを特定する方法については[ 11 ]を参照してください。
ルドヴィック・ファリッポウによれば、生存者バイアスという文脈では、大手プライベートエクイティ企業の高いIRRは平均を適切に表していない。
「プレゼンテーションや資料で収益率としてよく目立つ形で示される主要な数値は、実際にはIRRです。IRRは収益率ではありません。大手PEファームに共通しているのは、初期の投資がうまくいったことです。これらの初期の成功により、これらのファームの設立以来のIRRは、人為的に高い水準に維持されています。IRRの数学的な性質上、ファームが大きな失敗を回避している限り、IRRはこの水準に永遠に留まります。ちなみに、これは、欧米諸国のLBOでは他のPE投資よりもIRRを操作しやすいため、非常に不公平な状況を生み出しています。つまり、PE業界の残りの部分（例えば、新興国市場の成長資本）は、操作可能なパフォーマンス指標を使用しているという理由だけで、相対的に悪く見える運命にあるということです。」[ 12 ]
また、
「年金基金のパフォーマンスの提示に関するもう1つの問題は、PEの場合、時間加重リターンがパフォーマンスの最も適切な指標ではないということです。年金基金がPEからドル建てでどれだけの資金を出し、どれだけの資金を回収したか、つまり月次で尋ねる方がより適切でしょう。私は上位15のファンドのウェブサイトを調べて、パフォーマンスに関する情報を収集しました。PEファンドのリターンをオンラインで公開しているファンドはほとんどありません。ほとんどの場合、PEにおける過去のパフォーマンスに関する情報は公開されていますが、意味のあるベンチマークを可能にするものは何もありません。たとえば、CalSTRS（カリフォルニア州の公的年金基金）は、投資している各ファンドの純IRRのみを提供しています。IRRは誤解を招くことが多く、集計したり株式市場のリターンと比較したりすることは決してできないため、このような情報は基本的にパフォーマンスを評価するのに役立ちません。」[ 13 ]
修正内部収益率（MIRR）は資本コストを考慮した指標であり、プロジェクトの収益見込みをより正確に示すことを目的としています。これは、資金の借入に対する割引率を適用し、投資キャッシュフローに基づいて内部収益率（IRR）を計算します。これは、例えば顧客が特定の機械の製造前に前払い金を支払う場合など、現実世界において適用されます。
プロジェクトに複数のIRRがある場合、利益を再投資したプロジェクトのIRRを計算する方が便利な場合があります。[ 14 ]そのため、MIRRが使用されます。MIRRは、通常プロジェクトの資本コストに等しい再投資率を想定しています。
Magni (2010) は、平均の直感的な概念に基づいて IRR の問題を解決する AIRR アプローチと呼ばれる新しいアプローチを導入しました。[ 15 ]しかし、上述の困難は IRR が抱える多くの欠陥のほんの一部にすぎません。Magni (2013) は IRR の 18 の欠陥の詳細なリストを提供し、AIRR アプローチが IRR の問題を引き起こさないことを示しました。 [ 16 ]
数学的には、投資の価値は、ある収益率（ -100 %より大きい任意の値）に従って指数関数的に増加または減少すると想定され、キャッシュフローには不連続性があります。一連のキャッシュフローの内部収益率（IRR）は、正味現在価値（NPV）がゼロになる収益率（または同等に、最後のキャッシュフローの後で正しい値がゼロになる収益率）として定義されます。
したがって、内部収益率は、収益率の関数として正味現在価値 (NPV) から導き出されます。この関数は連続です。収益率が -100% に近づくと、NPV は最後のキャッシュフローの符号で無限大に近づき、収益率が正の無限大に近づくと、NPV は最初のキャッシュフロー (現在のキャッシュフロー) に近づきます。したがって、最初と最後のキャッシュフローの符号が異なる場合、内部収益率 (IRR) が存在します。IRR が存在しない時系列の例:
一連の負のキャッシュフローに続いて一連の正のキャッシュフローが発生する場合、結果として得られる収益率の関数は、正の無限大（収益率が-100%に近づくとき）から最初のキャッシュフローの値（収益率が無限大に近づくとき）まで連続かつ単調減少するため、収益率がゼロになる唯一の収益率が存在します。したがって、IRRも一意（かつ等しい）です。NPV関数自体は定義域全体で必ずしも単調減少するわけではありませんが、IRRでは単調減少します。
同様に、一連の完全にプラスのキャッシュフローの後に一連の完全にマイナスのキャッシュフローが続く場合も、IRRは一意の値をとります。
最後に、デカルトの符号の法則によれば、内部収益率の数は、キャッシュフローの符号の変化の数を超えることは決してない。
IRR（内部収益率）は、プロジェクトの最後まで全てのキャッシュフローが再投資されることを前提としているとよく言われる。しかし、この主張は文献において議論の的となっている。
このような隠れた前提が存在すると述べている情報源は以下に引用されている。[ 14 ] [ 17 ]一方、IRRの再投資に関する前提は存在しないと主張する情報源もある。[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]
この混乱の原因を理解するために、額面1000ドル、クーポン利率5%（つまり50ドル）の3年債を例に考えてみましょう。
ご覧のとおり、総収益は異なっても、内部収益率（IRR）は同じです。言い換えれば、IRRは同じ利率での再投資に対して中立です。現金を早期に引き出すか、同じ利率で再投資して後から引き出すかに関わらず、利率は同じです。
その理由を理解するには、将来のキャッシュフローの現在価値（PV）を計算し、実質的にIRR計算を手動で再現する必要があります。
IRRは、個人投資家の証券口座などの金融投資の金額加重パフォーマンスを測定するために使用できます。このシナリオでは、 IRRの同等の、より直感的な定義は、「IRRは、実際の投資と同じ預金と引き出しが行われた場合、実際の投資と同じ最終残高を持つ固定金利口座（やや理想化された貯蓄口座のようなもの）の年間利率である」です。この固定金利口座は、投資の複製固定金利口座とも呼ばれます。実際の投資ではマイナス残高にならなかったにもかかわらず、複製固定金利口座でマイナス残高が発生する例があります。[ 24 ] これらの場合、IRRの計算では、プラス残高に支払われるのと同じ利率がマイナス残高にも課されると仮定します。この利率の課し方が、IRRの複数の解の問題の根本原因であることが示されています。[ 25 ] [ 26 ]現実世界の場合と同様に、マイナス残高に対して外部から供給される借入コスト（時間とともに変動する可能性あり）が課されるようにモデルを修正すると、複数の解の問題は解消されます。[ 25 ] [ 26 ]結果として得られるレートは、固定レート相当額（FREQ ）と呼ばれます。[ 24 ]
投資パフォーマンス測定の文脈では、上記で定義したIRRなどの期間収益率と保有期間収益率の間に用語の曖昧さが生じることがあります。内部収益率（IRR）または設立以来の内部収益率（SI-IRR）という用語は、特に1年未満の期間において、期間の年率換算されていない収益率を指すために使用されることがあります。[ 27 ]
{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)