二項定理

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}$

二項係数 は、パスカルの三角形のn行目（最上部は 0 行目）のk番目の要素として表示されます。各要素は、その上にある 2 つの要素の合計です。${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}}$

初等代数学において、二項定理（または二項展開）は二項式のべき乗の代数展開を表します。定理によると、べき乗は⁠ ⁠の形式の項を持つ多項式に展開されます。ここで、指数⁠ ⁠と⁠ ⁠ は⁠ ⁠ を満たす非負の整数であり、各項の係数⁠ ⁠は⁠ ⁠ ⁠と⁠ ⁠に依存する特定の正の整数です。たとえば、⁠ ⁠の場合、 ${\displaystyle \textstyle (x+y)^{n}}$${\displaystyle \textstyle ax^{k}y^{m}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k+m=n}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n=4}$$${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}$$

各項⁠ ⁠の係数⁠ ⁠は、${\displaystyle a}$二項係数⁠ ⁠または⁠ ⁠として知られています(2つは同じ値を持ちます)。⁠ ⁠および⁠ ⁠を変化させるこれらの係数は、パスカルの三角形を形成するように配置できます。 これらの数は組み合わせ論でも使用され、⁠ ⁠ は⁠ ⁠ ⁠要素の集合から選択できる⁠ ⁠要素の異なる組み合わせ(つまり、サブセット)の数を示します。 したがって、⁠ ⁠ は通常「 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 」と発音されます。 ${\displaystyle \textstyle ax^{k}y^{m}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

定理によれば、二項式x + yの任意の非負整数nの展開は、 それぞれが二項係数と呼ばれる正の整数である形式の和であり 、次のように定義される。 $${\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n}x^{0}y^{n},}$$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(nk)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}.}$$

この式は二項式または二項恒等式とも呼ばれる。和の表記法を用いると、より簡潔に次のように書ける。 $${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{nk}y^{k}=\sum _{k=0} ^{n}{n \k}x^{k}y^{nk} を選択してください。}$$

最後の式は、最初の式のxとyの対称性によって前の式から導かれ、比較すると、式の二項係数の順序が対称的であることがわかります。${\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{nk}}.}$

二項式の簡単な変形は、yに1 を代入する ことで得られ、変数は 1 つだけになります。この形式では、式は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+1)^{n}&={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose n}x^{n}\\[4mu]&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}}$$

二項定理の最初のいくつかのケースは次のとおりです。 一般に、( x + y ) ⁿの右側のn行目の展開では(一番上の行が 0 行目になるように番号が付けられます)、 $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\end{aligned}}}$$

• 各項のxの指数はn、n − 1、...、 2、 1、 0です（最後の項には暗黙的にx ⁰ = 1が含まれます）。
• 各項のyの指数は0, 1, 2, ..., n − 1, n（最初の項には暗黙的にy ⁰ = 1が含まれる）である。
• 係数はパスカルの三角形のn行目を形成します。
• 同類項を結合する前は、展開図に2 ⁿ個の項x ⁱ y ^{jが存在する（図示せず）。}
• 同類項を結合するとn + 1個の項が存在し、それらの係数の合計は2 ⁿになります。

最後の 2 つのポイントを示す例: 。$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{terms}})\end{aligned}}}$$${\displaystyle 1+3+3+1=2^{3}}$

yの特定の正の値を使用した簡単な例: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}}$$

yの特定の負の値を使用した簡単な例: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{aligned}}}$$

aとbの値が正の場合、 n = 2 のときの二項定理は、辺がa + bの正方形を、辺がaの正方形、辺がbの正方形、および辺が a と b の長方形 2 つに切断できるという、幾何学的に明らかな事実です。 n = 3 の場合、この定理は、辺が a + b の立方体を、辺が a の立方体、辺が b の立方体、3 つのa × a × bの長方形のボックス、および3つのa × b × bの長方形のボックスに切断できることを示しています。

微積分学では、この図は微分 ^[1]の幾何学的証明も与えます。を とし、b をaの微小変化と解釈すると、この図はn次元超立方体の体積の微小変化を示します。ここで、線形項 ( )の係数は、各次元がn − 1であるn面の面積です。 これを差分商を介して微分の定義に代入し、極限を取ると、より高次の項、およびより高次の項は無視できるようになり、次のように解釈される 式が得られます。${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:}$${\displaystyle a=x}$${\displaystyle b=\Delta x,}$${\displaystyle (x+\Delta x)^{n},}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle nx^{n-1},}$$${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$$${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},}$

「 n立方体の辺の長さの変化に伴う体積の微小な変化率は、その( n − 1)次元面のnの面積である」。

この図を積分すると、微積分の基本定理を適用することになり、カヴァリエリの求積法公式、つまり積分が得られます。詳細についてはカヴァリエリの求積法公式の証明を参照してください。 ^[1]${\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}$

二項展開に現れる係数は二項係数と呼ばれます。これらは通常、「n choose k」と書かれ、発音されます。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$

x ^{n − k} y ^kの係数は、階乗関数n ! で定義される式で与えられます 。同様に、この式は分数の分子と分母の両方に k 個の因数を使っ て表すことができます 。この式には分数が含まれていますが、二項係数は実際には整数です。 $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(nk)!}},}$$$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}$$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

二項係数は、n要素の集合 (組み合わせ)からk要素を選択する方法の数として解釈できます。これは、次の理由で二項式に関連しています。( x + y ) ^{n を}積として書くと、分配法則 に従って、積の各二項式からxまたはy を選択するたびに、展開に 1 つの項が存在することになります。たとえば、各二項式からx を選択することに対応する項x ^{n は}1 つだけです。ただし、 x ^{n −2} y ²という形式の項は複数存在し、 yに寄与する 2 つの二項式を選択する方法ごとに 1 つ存在します。したがって、同類項を結合した後、 x ^{n −2} y ²の係数は、n要素の集合から2 つの要素を選択する方法の数に等しくなります。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ $${\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),}$$

( x + y ) ⁿを展開すると、e ₁ e ₂ ... e n の形式の2 ⁿ個の積の合計が得られます。ここ_で、各e _{i は}xまたは yです。因数を並べ替えると、各積は、0から nまでのいずれかkに対してx ^{n − k} y ^{k に}等しいことがわかります。特定のkに対して、次の式が順に等しいことが証明されています。

• 展開式においてx ^{n − k} y ^kに等しい項の数
• ちょうどk 個の位置にy を持つn文字のx , y文字列の数
• {1, 2, ..., n }のk要素部分集合の数
• ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$定義によって、あるいは、次のように定義する場合には短い組み合わせ論的議論によって、${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle {\tfrac {n!}{k!(nk)!}}.}$

これは二項定理を証明します。

における xy ²の係数 は、長さ 3 のx、y文字列が 3 つあり、 yが 2 つあるため、つまり、 {1, 2, 3} の 3 つの 2 要素サブセットに対応しているため、つまり、 各サブセットは対応する文字列内の y の位置を指定するため、等しくなります。$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3}$$${\displaystyle xyy,\;yxy,\;yyx,}$$$${\displaystyle \{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},}$$

帰納法によって、二項定理の別の証明が得られます。n = 0のとき、 x ⁰ = 1であり、であるので、両辺は 1 に等しくなります。ここで、 この等式が与えられたnに対して成り立つと仮定します。 n + 1について証明します。 j、k ≥ 0について、[ f ( x、y ) ] _{j、k が}多項式f ( x、y )におけるx ^j y ^kの係数を表すものとします。 帰納的仮説により、( x + y ) ^{n は}xおよびyの多項式で、 j + k = nの場合は[( x + y ) ⁿ ] _j、k、それ以外の場合は 0 となります。恒等式 から、 ( x + y ) ^{n +1}もxおよびyの多項式であること が示され、 j + k = n + 1 の場合は、( j − 1) + k = nかつj + ( k − 1) = nとなります。さて、右辺は パスカルの恒等式 によるものです。^[2]一方、j + k ≠ n + 1であれば、( j – 1) + k ≠ nかつj + ( k – 1) ≠ nなので、 0 + 0 = 0となります。したがって 、これはn をn + 1に置き換えた 帰納的仮説であり、帰納的ステップが完了します。 ${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$$${\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}$$$${\displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},}$$$${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},}$$$${\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},}$$

1665 年頃、アイザック ニュートンは二項定理を一般化し、非負整数以外の実指数を許容しました (同じ一般化は複素指数にも適用されます)。この一般化では、有限和が無限級数に置き換えられます。これを行うには、任意の上側インデックスを持つ二項係数に意味を与える必要がありますが、これは階乗の通常の公式では行うことができません。ただし、任意の数rに対して、 を定義できます 。 ここではポッホハマー記号で、ここでは下降階乗を表します。これは、 r が非負整数である場合の通常の定義と一致します。次に、 xとyが実数で| x | > | y |の場合^{[注 1]}、r が任意の複素数である場合、 $${\displaystyle {r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},}$$${\displaystyle (\cdot )_{k}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

rが非負の整数の場合、 k > rの二項係数はゼロになるため、この式は通常の二項定理に簡約され、最大でr + 1 個の非ゼロ項が存在します。 rの他の値の場合、通常、この級数は無限個の非ゼロ項を持ちます。

たとえば、r = 1/2の場合、平方根は次のようになります。 $${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .}$$

r = −1とすると、一般化された二項級数は等比級数式を与え、 | x | < 1に対して有効です。 $${\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots .}$$

より一般的には、r = − sのとき、| x | < 1に対して次式が成り立ちます: ^[3] $${\displaystyle {\frac {1}{(1+x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{-s \choose k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}x^{k}.}$$

例えば、s = 1/2のとき、 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

x を-xに置き換えると次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}.}$$

たとえば、s = 1/2のとき、 | x | < 1のときは次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}+{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

一般化された二項定理は、 xとyが複素数の場合に拡張できます。このバージョンでは、再び| x | > | y | ^{[注 1]}と仮定し、xを中心とする半径| x |の開円板上で定義されたlog の正則枝を使用して、x + yとxの累乗を定義します。一般化された二項定理は、xy = yxであり、xが可逆であり、‖ y / x ‖ < 1である限り、バナッハ代数の元xとyに対しても有効です。

二項定理の一種は、次のポッホハマー記号のような多項式族に対して有効である。与えられた実定数cに対して、および を定義する。 すると^[4] c = 0 の場合は通常の二項定理が回復される。 ${\displaystyle x^{(0)}=1}$$${\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}$$${\displaystyle n>0.}$ $${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.}$$

より一般的には、多項式の列が二項式型であるとは、 ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

• ${\displaystyle \deg p_{n}=n}$すべて、${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$、 そして
• ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$すべての、、 に対して。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n}$

多項式空間上の演算子は、すべての に対してであるとき、数列 の基底演算子であるといわれます。数列が二項式となるのは、その基底演算子がデルタ演算子である場合に限ります。^[5]演算子によるシフトについて書くと、上記の「ポッホハマー」多項式族に対応するデルタ演算子は、に対する後方差分、 に対する通常の微分、に対する前方差分です。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$${\displaystyle Qp_{0}=0}$${\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$${\displaystyle n\geqslant 1}$${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$${\displaystyle E^{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle I-E^{-c}}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle E^{-c}-I}$${\displaystyle c<0}$

二項定理は、2項以上の和の累乗を含むように一般化することができます。一般的なバージョンは

$${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},}$$

ここで、合計は非負整数インデックスk ₁からk _mまでのすべてのシーケンスにわたって行われ、すべてのk _iの合計はnになります 。（展開の各項について、指数は nに加算される必要があります）。係数は多項式係数と呼ばれ、次の式で計算できます。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$$${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$$

組み合わせ的には、多項式係数は、n要素セットをサイズk 1 、...、k m の互いに素_なサブセットに_分割する異なる方法の数を数えます。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$

より高次元で作業する場合、二項式の積を扱うことがしばしば有用である。二項定理によれば、これは次の式に等しい。 $${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}$$