マイヤー・ヴィエトリス系列

非還元相同性の場合、Mayer–Vietoris シーケンスは次のシーケンスが正確であると述べています: ^{[ 13 ]}$$\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(X)\,\xrightarrow {\partial _{*}} \,H_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow {\left({\begin{smallmatrix}i_{*}\\j_{*}\end{smallmatrix}}\right)} \,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,\xrightarrow {k_{*}-l_{*}} \,H_{n}(X)\,\xrightarrow {\partial _{*}} \,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots }$$$${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.}$$ ここ${\displaystyle i:A\cap B\hookrightarrow A,j:A\cap B\hookrightarrow B,k:A\hookrightarrow X}$、 そして${\displaystyle l:B\hookrightarrow X}$ 包含マップと${\displaystyle \oplus }$はアーベル群の直和を表す。^{[ 13 ]}

境界地図${\displaystyle \partial _{*}}$次元を下げることは、次のように定義できます。${\displaystyle H_{n}(X)}$は、${\displaystyle n}$-サイクル${\displaystyle x}$例えば重心分割によって、これは2つの和として表すことができる。${\displaystyle n}$-チェーン${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$そのイメージは完全に${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$それぞれ。したがって${\displaystyle \partial x=\partial (u+v)=\partial u+\partial v}$。 以来${\displaystyle x}$サイクルです。${\displaystyle \partial x=0}$、 それで${\displaystyle \partial u=-\partial v}$これは、これら二つの境界の画像が${\displaystyle (n-1)}$交差部分にサイクルが含まれています${\displaystyle A\cap B}$。 それから${\displaystyle \partial _{*}([x])}$は、${\displaystyle \partial u}$で${\displaystyle H_{n-1}(A\cap B)}$別の分解を選択する${\displaystyle x=u'+v'}$影響しない${\displaystyle [\partial u]}$、 以来${\displaystyle \partial u+\partial v=\partial x=\partial u'+\partial v'}$これは、${\displaystyle \partial u-\partial u'=\partial (v'-v)}$したがって${\displaystyle \partial u}$そして${\displaystyle \partial u'}$同じ相同性クラスに属する。また、別の代表者を選択しても${\displaystyle x'}$、 それ以来${\displaystyle x'-x=\partial \phi }$一部の人にとって${\displaystyle \phi }$で${\displaystyle H_{n+1}(X)}$メイエル・ヴィエトリス系列のマップは、次の順序を選択することに依存することに注意してください。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$特に、境界マップの符号が変わるのは、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$入れ替わる。^{[ 14 ]}

相同性が低い場合、以下の仮定の下でMayer–Vietorisシーケンスも存在する。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$空でない共通部分を持つ。正の次元の場合、シーケンスは同一であり、次のように終わる：^{[ 15 ]}$${\displaystyle \cdots \to {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\to 0.}$$

メイヤー・ヴィートリス数列（特に次元1のホモロジー群の場合）とザイフェルト・ファン・カンペン定理の間には類似性がある。^{[ 16 ]}${\displaystyle A\cap B}$はパス連結であり、縮約されたマイヤー・ヴィエトリス列は同型写像を与える。 $${\displaystyle H_{1}(X)\cong (H_{1}(A)\oplus H_{1}(B))/{\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})}$$ 正確に言えば、 $${\displaystyle {\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})\cong {\text{Im}}(i_{*},j_{*}).}$$ これはまさにセイフェルト・ファン・カンペン定理のアーベル化された表現である。次の事実と比較してみよう。${\displaystyle H_{1}(X)}$基本群のアーベル化${\displaystyle \pi _{1}(X)}$いつ${\displaystyle X}$パス連結である。^{[ 17 ]}

相同性を完全に計算するには${\displaystyle k}$-球${\displaystyle X=S^{k}}$、 させて${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$2つの半球${\displaystyle X}$交差ホモトピーは${\displaystyle (k-1)}$次元赤道球。${\displaystyle k}$次元半球は同相である${\displaystyle k}$縮約可能なディスク、ホモロジー群${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$これらは自明である。縮小相同群 に対するメイヤー・ヴィエトリス系列は、$${\displaystyle \cdots \longrightarrow 0\longrightarrow {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\,{\xrightarrow {\overset {}{\partial _{*}}}}\,{\tilde {H}}_{n-1}\!\left(S^{k-1}\right)\longrightarrow 0\longrightarrow \cdots }$$

正確さは、地図が${\displaystyle \partial _{*}}$これは同型写像である。0-球面（2点）の縮小ホモロジーを基本ケースとして用いると、次のようになる。 $${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\cong \delta _{kn}\,\mathbb {Z} ={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=k,\\0&{\mbox{if }}n\neq k,\end{cases}}}$$ どこ${\displaystyle \delta }$はクロネッカーのデルタである。^{[ 18 ]}球面のホモロジー群に関するこのような完全な理解は、特にの場合における球面のホモトピー群に関する現在の知識とは著しく対照的である。${\displaystyle n>k}$それについてはほとんど知られていない。^{[ 19 ]}

マイヤー・ヴィートリス数列のやや難しい応用例として、クラインの壺の相同群の計算が挙げられる。${\displaystyle X}$分解を用いる ${\displaystyle X}$2つのメビウスの帯の結合として${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$境界円に沿って接着します（右の図を参照）。${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、そしてそれらの交点${\displaystyle A\cap B}$は円とホモトピー同値であるため、数列の非自明な部分は^{[ 20 ]となる。}$${\displaystyle 0\rightarrow {\tilde {H}}_{2}(X)\rightarrow \mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\overset {}{\alpha }}}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,{\tilde {H}}_{1}(X)\rightarrow 0}$$ そして自明な部分は、2次元より大きい次元ではホモロジーが消滅することを意味する。中心マップ${\displaystyle \alpha }$送信する${\displaystyle 1}$に${\displaystyle (2,-2)}$メビウスの帯の境界円は中心円を2周するため、${\displaystyle \alpha }$は単射であるため、次元2のホモロジーも消滅します。最後に、 を選択すると${\displaystyle (1,0)}$そして${\displaystyle (1,-1)}$基礎として${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$以下に続く。$${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\left(X\right)\cong \delta _{1n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}&{\mbox{if }}n=1,\\0&{\mbox{if }}n\neq 1.\end{cases}}}$$

させて${\displaystyle X}$2 つの空間のウェッジ和とする${\displaystyle K}$そして${\displaystyle L}$さらに、特定された基点が開いた近傍の変形レトラクトであると仮定する。${\displaystyle U\subset K}$そして${\displaystyle V\subset L}$貸す${\displaystyle A=K\cup V}$そして${\displaystyle B=U\cup L}$したがって、${\displaystyle A\cup B=X}$そして${\displaystyle A\cap B=U\cup V}$これは構成上縮約可能である。この数列の縮約版は（完全性により） $${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(K\vee L)\cong {\tilde {H}}_{n}(K)\oplus {\tilde {H}}_{n}(L)}$$ すべての次元において${\displaystyle n}$[ ^{21 ]​}

もし${\displaystyle X}$サスペンションは${\displaystyle SY}$空間の${\displaystyle Y}$、 させて${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$補語となる${\displaystyle X}$それぞれ二重円錐の上部と下部の「頂点」の。${\displaystyle X}$組合は${\displaystyle A\cup B}$、 と${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$収縮可能。また、交差点${\displaystyle A\cap B}$ホモトピーは${\displaystyle Y}$したがって、Mayer–Vietoris シーケンスは、すべての に対して、次の式を与える。${\displaystyle n}$[ ^{22 ]​}$${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(SY)\cong {\tilde {H}}_{n-1}(Y).}$$

Mayer–Vietoris シーケンスの相対形式も存在する。${\displaystyle Y\subset X}$そしてそれは内部の結合である${\displaystyle C\subset A}$そして${\displaystyle D\subset B}$すると、正確なシーケンスは次のようになります。^{[ 23 ]}$${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\to \cdots }$$

相同群は、もし${\displaystyle f:X_{1}\to X_{2}}$が連続写像である場合、相同群の正準プッシュフォワード写像が存在する。${\displaystyle f_{*}:H_{k}(X_{1})\to H_{k}(X_{2})}$つまり、プッシュフォワードの合成は合成のプッシュフォワードである。${\displaystyle (g\circ h)_{*}=g_{*}\circ h_{*}.}$Mayer–Vietoris シーケンスは、もし $${\displaystyle {\begin{matrix}X_{1}=A_{1}\cup B_{1}\\X_{2}=A_{2}\cup B_{2}\end{matrix}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{matrix}f(A_{1})\subset A_{2}\\f(B_{1})\subset B_{2}\end{matrix}},}$$ 次に、Mayer–Vietoris シーケンスの接続射、${\displaystyle \partial _{*}}$通勤する${\displaystyle f_{*}}$^{[ 24 ]}つまり、次の図は可換である（水平方向の写像は通常の写像である）：^{[ 25 ]}$${\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &H_{n+1}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1})\oplus H_{n}(B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &\cdots \\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }\\\cdots &H_{n+1}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2})\oplus H_{n}(B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &\cdots \\\end{matrix}}}$$

係数群Gを持つ特異コホモロジー群に対するMayer–Vietoris長完全列は、ホモロジー版と 双対である。それは以下の通りである。$${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X;G)\to H^{n}(A;G)\oplus H^{n}(B;G)\to H^{n}(A\cap B;G)\to H^{n+1}(X;G)\to \cdots }$$ ここで、次元保存マップは包含関係から誘導される制限マップであり、（共）境界マップは相同性バージョンと同様の方法で定義される。相対的な定式化もある。^{[ 26 ]}

重要な特殊ケースとして${\displaystyle G}$は実数の群であり、基礎となる位相空間は滑らかな多様体という追加構造を持つ。ド・ラームコホモロジーのマイヤー・ヴィエトリス列は $${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\,{\xrightarrow {\rho }}\,H^{n}(U)\oplus H^{n}(V)\,{\xrightarrow {\Delta }}\,H^{n}(U\cap V)\,{\xrightarrow {d^{*}}}\,H^{n+1}(X)\to \cdots }$$ どこ${\displaystyle \{U,V\}}$開いたカバーは${\displaystyle X}$、${\displaystyle \rho }$は制限マップを表し、${\displaystyle \Delta }$違いは地図です。${\displaystyle d^{*}}$地図と同様に定義される${\displaystyle \partial _{*}}$上から。簡単に説明すると次のようになります。閉じたコホモロジークラスで表すと、${\displaystyle p}$-形状${\displaystyle \omega }$の上${\displaystyle U\cap V}$単位分割を選択する${\displaystyle \rho _{U}+\rho _{V}=1}$開いたカバーに従属する${\displaystyle \{U,V\}}$、 と${\displaystyle \rho _{U}}$サポートされている${\displaystyle U}$そして${\displaystyle \rho _{V}}$サポートされている${\displaystyle V}$。 それから${\displaystyle \rho _{V}\omega }$ゼロだけ拡張して${\displaystyle p}$-フォーム${\displaystyle U}$、 そして${\displaystyle \rho _{U}\omega }$ゼロだけ拡張して${\displaystyle p}$-フォーム${\displaystyle V}$.${\displaystyle (p+1)}$-形式${\displaystyle -\,d\rho _{V}\wedge \omega }$の上${\displaystyle U}$そして${\displaystyle d\rho _{U}\wedge \omega }$の上${\displaystyle V}$同意する${\displaystyle U\cap V}$、 なぜなら${\displaystyle d\rho _{U}=-\,d\rho _{V}}$そこで。したがって、それらはグローバルに接着します。${\displaystyle (p+1)}$-フォーム${\displaystyle X=U\cup V}$これは、局所的に完全であるため閉じています（局所的に、または${\displaystyle -d(\rho _{V}\omega )}$または${\displaystyle d(\rho _{U}\omega )}$) 連結準同型${\displaystyle d^{*}}$送信する${\displaystyle [\omega ]}$このグローバル形式のド・ラームコホモロジークラスへ。^{[ 27 ]}

コンパクトな台を持つド・ラームコホモロジーの場合、上記の数列の「反転」バージョンが存在する。 $${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{n}(U\cap V)\,\xrightarrow {\delta } \,H_{c}^{n}(U)\oplus H_{c}^{n}(V)\,\xrightarrow {\Sigma } \,H_{c}^{n}(X)\,\xrightarrow {d^{*}} \,H_{c}^{n+1}(U\cap V)\to \cdots }$$ どこ${\displaystyle U}$、${\displaystyle V}$、${\displaystyle X}$上記のとおりです。${\displaystyle \delta }$署名付き包含マップ${\displaystyle \delta$ :\omega \mapsto (i_{*}^{U}\omega ,-i_{*}^{V}\omega )} ただし${\displaystyle i^{U}}$コンパクトサポートを備えたフォームをフォームに拡張します${\displaystyle U}$ゼロで、${\displaystyle \Sigma }$合計です。接続境界${\displaystyle d^{*}}$コンパクトサポートの記述によって生じる${\displaystyle p}$-形状${\displaystyle \omega }$組合について${\displaystyle X=U\cup V}$合計として${\displaystyle \omega =\omega _{U}+\omega _{V}}$コンパクトに支持された${\displaystyle p}$-形状${\displaystyle \omega _{U}}$の上${\displaystyle U}$そして1つは${\displaystyle V}$。 なぜなら${\displaystyle d\omega _{U}+d\omega _{V}=0}$重なり合う部分では、${\displaystyle \xi }$それは${\displaystyle d\omega _{U}}$の上${\displaystyle U}$そして${\displaystyle -d\omega _{V}}$の上${\displaystyle V}$グローバルな閉鎖型${\displaystyle (p+1)}$-形式、そして${\displaystyle d^{*}[\omega ]}$は次のように定義される。${\displaystyle [\xi ]}$[ ^{27 ]​}

鎖群（鎖複合体の構成群） の短い完全配列に関連付けられた長い完全配列について考えてみましょう。$${\displaystyle 0\to C_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow {\alpha } \,C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\,\xrightarrow {\beta } \,C_{n}(A+B)\to 0,}$$ どこ${\displaystyle \alpha (x)=(x,-x)}$、${\displaystyle \beta (x,y)=x+y}$、 そして${\displaystyle C_{n}(A+B)}$は、鎖の和からなる鎖群である。${\displaystyle A}$そして鎖は${\displaystyle B}$[ ^{13 ]単数}形が${\displaystyle n}$-単体${\displaystyle X}$どちらの画像も${\displaystyle A}$または${\displaystyle B}$相同群をすべて生成する${\displaystyle H_{n}(X)}$。 言い換えると、${\displaystyle H_{n}(A+B)}$は同型である${\displaystyle H_{n}(X)}$これにより、特異相同性に対するメイヤー・ヴィエトリス系列が得られる。^{[ 28 ]}

微分形式のベクトル空間の短い完全列にも同じ計算を適用した。$${\displaystyle 0\to \Omega ^{n}(X)\to \Omega ^{n}(U)\oplus \Omega ^{n}(V)\to \Omega ^{n}(U\cap V)\to 0}$$ ド・ラームコホモロジーのマイヤー・ヴィエトリス列が得られる。^{[ 29 ]}

形式的な観点から言えば、ホモロジー理論のアイレンベルク-スティーンロッド公理から、ホモロジーにおける長完全列を用いてマイヤー-ヴィートリス列を導出することができる。^{[ 30 ]}

アイレンベルク・スティーンロッド公理からマイヤー・ヴィートリス列を導出する際には、次元公理は使用されない。^{[ 31 ]}その結果、この列は通常の理論から、位相的K理論やコボルディズムなどの非凡または一般化された（コ）ホモロジー理論にまで拡張される。^{[ 32 ]}

現代の安定ホモトピー理論では、これはブラウン表現可能性によって説明される。すなわち、縮小された一般化コホモロジー理論はスペクトルによって表現される。${\displaystyle E}$概略的に、次のように書くことができる。 $${\displaystyle {\widetilde {E}}^{n}(X)\cong [\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{n}E],}$$ どこ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }X}$サスペンションスペクトルは${\displaystyle X}$そして${\displaystyle \Sigma ^{n}E}$は${\displaystyle n}$-折り畳みサスペンション（シフト）${\displaystyle E}$[ ^{33 ]この言語では、マイヤー・ヴィエトリス系列は、各理論の}根底に同じ空間の切断接着パターンが存在するという事実を反映している。理論ごとに異なるのは表現スペクトルである。^{[ 34 ]}

層コホモロジーの観点から見ると、Mayer–Vietoris 列はČech コホモロジーと関連しています。具体的には、Čech コホモロジーを計算するために使用される開被覆が 2 つの開集合から構成されている場合、Čech コホモロジーと層コホモロジーを関連付けるスペクトル列 (Mayer–Vietoris スペクトル列と呼ばれることもあります)の退化から生じます。[ 35 ^{]このスペクトル}列は任意のトポスに存在します。^{[ 36 ]}