数学 において、行列指数関数 は、通常の指数関数に類似した 正方行列 上の行列関数 です。これは、線形微分方程式系を解くために用いられます。リー群の理論では、行列指数関数は、行列リー代数 とそれに対応するリー群との間の 指数写像 を与えます。
X を n × n の実数 または複素数 行列 とする。Xの指数関数は、e X exp( X ) と表記され、べき級数 で与えられるn × n 行列である。
e X = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! X k {\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}}
どこX 0 {\displaystyle X^{0}} 私 {\displaystyle I} X {\displaystyle X} そして X k = X X k − 1 {\displaystyle X^{k}=XX^{k-1}} の 場合 k > 0 {\displaystyle k>0} [ 1 ] この級数は常に収束するので、 X の指数関数は適切に定義されます。
同様に、 e X = リム k → ∞ （ 私 + X k ） k {\displaystyle e^{X}=\lim _{k\rightarrow \infty }\left(I+{\frac {X}{k}}\right)^{k}}
整数値のk に対して、Iは n × n 単位行列 である。
同等に、行列指数関数は解によって与えられる。Y （ t ） = e X t {\displaystyle Y(t)=e^{Xt}}
d d t Y （ t ） = X Y （ t ） 、 Y （ 0 ） = 私 、 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}Y(t)=X\,Y(t),\quad Y(0)=I,} t = 1
Xが n × n の対角行列 である場合、 exp( X ) は、各対角要素がX の対応する対角要素に適用された通常の指数関数に等しい n × n の
物件
線形微分方程式系 行列指数関数が重要な理由の一つは、線形常微分方程式 系を解くために使用できることである。 d d t y （ t ） = A y （ t ） 、 y （ 0 ） = y 0 、 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0},} A は定数行列、y は列ベクトルであり、次のように表される。 y （ t ） = e A t y 0 。 {\displaystyle y(t)=e^{At}y_{0}.}
行列指数関数は、非同次方程式を解くためにも使用できます。 d d t y （ t ） = A y （ t ） + z （ t ） 、 y （ 0 ） = y 0 。 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}.} 使用例については、下記の「アプリケーション」 のセクションをご覧ください。
次の形式の微分方程式には閉形式解は存在しない。 d d t y （ t ） = A （ t ） y （ t ） 、 y （ 0 ） = y 0 、 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0},} A は定数ではないが、マグナス級数を 用いると解は無限級数として得られる。
行列指数関数の行列式 ヤコビの公式 により、任意の複素正方行列に対して次のトレース恒等式 が成り立つ。[ 3 ]
検出 （ e A ） = e tr （ A ） 。 {\displaystyle \det \left(e^{A}\right)=e^{\operatorname {tr} (A)}~.}
この式は計算ツールを提供するだけでなく、行列指数関数が常に可逆行列で あることを示しています。これは、上記の式の右辺が常にゼロではないため、det( e A ) ≠ 0 となり、e A
実数値の場合、この式は写像も示します。 exp : M n （ R ） → G L （ n 、 R ） {\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )} 先に述べた複素数の場合とは異なり、全射 ではない。これは、実数値行列の場合、式の右辺は常に正であるのに対し、負の行列式を持つ可逆行列が存在するという事実から導かれる。
指数関数のテンソル積 クロネッカー和 の指数[ 4 ] ⊕ ¯ {\displaystyle {\overline {\oplus }}} A 、 B {\displaystyle A,B} これは直接和 と混同してはならないが、単純な形をとる。 A ⊕ ¯ B = A ⊗ 私 m + 私 n ⊗ B {\displaystyle A\,{\overline {\oplus }}\,B=A\otimes \mathrm {I} _{m}+\mathrm {I} _{n}\otimes B} テンソル積である。 ⊗ {\displaystyle \otimes } [ 5 ]
exp （ A ⊕ ¯ B ） = exp A ⊗ exp B \exp(A\,B)=\expA\,\otimes \expB
ここでは、A 、 B {\displaystyle A,B} n 、 m {\displaystyle n,m} 私 k {\displaystyle \mathrm {I} _{k}} 単位行列 ですk {\displaystyle k} これは、クロネッカー和の項の交換関係と、上述の性質から導かれる。 この結果は、リー群 の直積とそれに関連するリー代数 に結びついており、[ A ⊕ ¯ B 、 C ⊕ ¯ D ] = [ A 、 C ] ⊕ ¯ [ B 、 D ] {\displaystyle [A\,{\overline {\oplus }}\,B,C\,{\overline {\oplus }}\,D]=[A,C]\,{\overline {\oplus }}\,[B,D]} リー代数 の直和の表現として。
この公式のもう一つの応用例は、非相互作用系の物理学である。その逆公式は ログ A ⊕ ¯ ログ B = ログ （ A ⊗ B ） {\displaystyle \log {A}\,{\overline {\oplus }}\,\log {B}=\log {\left(A\otimes B\right)}} フォン・ノイマンエントロピー の加法性につながる。
和の指数 任意の数（スカラー）a とb に対して、指数関数はe a + b e a e b X とYが 可換である場合（つまり、XY = YX e X + Y = e X e Y 。 {\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}.}
しかし、可換でない行列の場合、上記の等式は必ずしも成り立たない。
X とY が可換でない場合でも、指数関数e X + Y はリー積公式 [ 6 ] e X + Y = リム k → ∞ （ e 1 k X e 1 k Y ） k 。 {\displaystyle e^{X+Y}=\lim _{k\to \infty }\left(e^{{\frac {1}{k}}X}e^{{\frac {1}{k}}Y}\right)^{k}.}
上記を近似するために大きな有限のkを使用することは、 数値時間発展 でよく使用される鈴木トロッター展開の基礎です。
反対に、X とY が十分に小さい（ただし必ずしも可換ではない）行列である場合、次のようになります。 e X e Y = e Z 、 {\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z},} Z は Baker–Campbell–Hausdorff の公式 によりX とY の交換子 の級数として計算できます。[ 7 ] Z = X + Y + 1 2 [ X 、 Y ] + 1 12 [ X 、 [ X 、 Y ] ] − 1 12 [ Y 、 [ X 、 Y ] ] + ⋯ 、 {\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,} X とY を含む反復交換子です。XとY が 可換であれば、すべての交換子はゼロになり、単純にZ = X + Y
エルミート行列の指数関数に関する不等式 エルミート行列 に関しては、行列指数関数のトレース に関連する注目すべき定理が存在する。
A とB がエルミート行列である場合、 [ 8 ] tr exp （ A + B ） ≤ tr [ exp （ A ） exp （ B ） ] 。 {\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B)\leq \operatorname {tr} \left[\exp(A)\exp(B)\right].}
可換性の要件はありません。ゴールデン・トンプソン不等式を3つの行列に拡張できないことを示す反例があり、いずれにせよ、エルミート行列A B C に対してtr(exp( A )exp( B )exp( C )) が実数であるとは保証されません。しかし、Liebは [ 9 ] [ 10 ] tr exp （ A + B + C ） ≤ ∫ 0 ∞ d t tr [ e A （ e − B + t ） − 1 e C （ e − B + t ） − 1 ] 。 {\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B+C)\leq \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\operatorname {tr} \left[e^{A}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}e^{C}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}\right].}
指数マップ 行列の指数関数は常に可逆行列です。e X e − X 、 exp : M n （ C ） → G L （ n 、 C ） {\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )} すべてのn × n 行列 の空間から、次数nの 一般線形群 、すなわちすべてのn × n可逆行列の 群 への写像です。実際、この写像は全射で あり、すべての可逆行列は他の何らかの行列の指数関数として記述できることを意味します[ 11 ] (このためには、 R ではなく複素数の体C を考慮することが不可欠です)。
任意の2つの行列X とY について、 ‖ e X + Y − e X ‖ ≤ ‖ Y ‖ e ‖ X ‖ e ‖ Y ‖ 、 {\displaystyle \left\|e^{X+Y}-e^{X}\right\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|},}
ここで、‖ · ‖ は任意の行列ノルム を表します。したがって、指数写像はM n ( C ) のコンパクト 部分集合上で連続 かつリプシッツ連続と なります。
地図 t ↦ e t X 、 t ∈ R {\displaystyle t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R} } 一般線形群において、 t = 0 のときの単位元を通る滑らかな 曲線 を定義します。
実際、これは一般線形群の 1パラメータ部分群を与える。 e t X e s X = e （ t + s ） X 。 {\displaystyle e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}.}
この曲線（または接線ベクトル ）の点t における導関数は次のように表されます。
t = 0X そのもので、つまりX は この 1 パラメータ部分群を生成する。
より一般的には、[ 12 ] t 依存指数X ( t )
d d t e X （ t ） = ∫ 0 1 e α X （ t ） d X （ t ） d t e （ 1 − α ） X （ t ） d α 。 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{\alpha X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{(1-\alpha )X(t)}\,d\alpha ~.}
上記の式e X ( t )を積分記号の外に出し、アダマールの補題 を用いて被積分関数を展開すると、行列指数の導関数について次の有用な式が得られます。[ 13 ] e − X （ t ） （ d d t e X （ t ） ） = d d t X （ t ） − 1 2 ! [ X （ t ） 、 d d t X （ t ） ] + 1 3 ! [ X （ t ） 、 [ X （ t ） 、 d d t X （ t ） ] ] − ⋯ {\displaystyle e^{-X(t)}\left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)={\frac {d}{dt}}X(t)-{\frac {1}{2!}}\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]+{\frac {1}{3!}}\left[X(t),\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]\right]-\cdots }
上記の式の係数は、指数関数に現れる係数とは異なります。閉じた形式については、「指数写像の導関数」を 参照してください。
エルミート行列に限定した場合の方向微分 させてX {\displaystyle X} n × n {\displaystyle n\times n} X = E 診断 （ Λ ） E * {\displaystyle X=E{\textrm {diag}}(\Lambda )E^{*}} E {\displaystyle E} X {\displaystyle X} E * {\displaystyle E^{*}} Λ = （ λ 1 、 … 、 λ n ） {\displaystyle \Lambda =\left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\right)} n × n {\displaystyle n\times n} V {\displaystyle V} 微分 exp : X → e X {\displaystyle \exp :X\to e^{X}} X {\displaystyle X} V {\displaystyle V} 14 ] [ 15 ] D exp （ X ） [ V ] ≜ リム ϵ → 0 1 ϵ （ e X + ϵ V − e X ） = E （ G ⊙ V ¯ ） E * {\displaystyle D\exp(X)[V]\triangleq \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon V}-e^{X}\right)=E(G\odot {\bar {V}})E^{*}} V ¯ = E * V E {\displaystyle {\bar {V}}=E^{*}VE} ⊙ {\displaystyle \odot } 1 ≤ 私 、 j ≤ n {\displaystyle 1\leq i,j\leq n} G {\displaystyle G} G 私 、 j = { e λ 私 − e λ j λ 私 − λ j もし 私 ≠ j 、 e λ 私 さもないと 。 {\displaystyle G_{i,j}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {e^{\lambda _{i}}-e^{\lambda _{j}}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&e^{\lambda _{i}}&{\text{ otherwise}}.\\\end{aligned}}\right.} n × n {\displaystyle n\times n} U {\displaystyle U} U {\displaystyle U} V {\displaystyle V} 15 ] D 2 exp （ X ） [ U 、 V ] ≜ リム ϵ u → 0 リム ϵ v → 0 1 4 ϵ u ϵ v （ e X + ϵ u U + ϵ v V − e X − ϵ u U + ϵ v V − e X + ϵ u U − ϵ v V + e X − ϵ u U − ϵ v V ） = E F （ U 、 V ） E * {\displaystyle D^{2}\exp(X)[U,V]\triangleq \lim _{\epsilon _{u}\to 0}\lim _{\epsilon _{v}\to 0}{\frac {1}{4\epsilon _{u}\epsilon _{v}}}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X-\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X+\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}+e^{X-\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}\right)=EF(U,V)E^{*}} F {\displaystyle F} 1 ≤ 私 、 j ≤ n {\displaystyle 1\leq i,j\leq n} F （ U 、 V ） 私 、 j = ∑ k = 1 n ϕ 私 、 j 、 k （ U ¯ 私 k V ¯ j k * + V ¯ 私 k U ¯ j k * ） {\displaystyle F(U,V)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}\phi _{i,j,k}({\bar {U}}_{ik}{\bar {V}}_{jk}^{*}+{\bar {V}}_{ik}{\bar {U}}_{jk}^{*})} ϕ 私 、 j 、 k = { G 私 k − G j k λ 私 − λ j もし 私 ≠ j 、 G 私 私 − G 私 k λ 私 − λ k もし 私 = j そして k ≠ 私 、 G 私 私 2 もし 私 = j = k 。 {\displaystyle \phi _{i,j,k}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {G_{ik}-G_{jk}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&{\frac {G_{ii}-G_{ik}}{\lambda _{i}-\lambda _{k}}}&{\text{ if }}i=j{\text{ and }}k\neq i,\\&{\frac {G_{ii}}{2}}&{\text{ if }}i=j=k.\\\end{aligned}}\right.}
行列指数関数の計算 行列指数を計算するための信頼性が高く正確な方法を見つけることは難しく、これは数学と数値解析における現在の重要な研究テーマです。Matlab 、GNU Octave 、R 、およびSciPy は すべてパデ近似 を使用しています。[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]
対角化可能な場合 行列が対角行列 である場合： A = [ 1 1 0 ⋯ 0 0 1 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 n ] 、 {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}},} e A = [ e 1 1 0 ⋯ 0 0 e 1 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ e 1 n ] 。 {\displaystyle e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\cdots &0\\0&e^{a_{2}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.}
この結果により、対角化可能な行列 を指数化することもできます。
A = UDU −1
それから
e A Ue D U −1
これは、 Dが
シルベスターの公式 を適用しても同じ結果が得られます。（これを理解するには、対角行列の加算と乗算、したがってべき乗は、要素ごとの加算と乗算、したがってべき乗と同等であることに注意してください。特に、対角行列の場合、「一次元」のべき乗は要素ごとに適用されます。）
例 ：対角化可能 例えば、行列 A = [ 1 4 1 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&4\\1&1\\\end{bmatrix}}} [ − 2 2 1 1 ] [ − 1 0 0 3 ] [ − 2 2 1 1 ] − 1 。 {\displaystyle {\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}.}
したがって、 e A = [ − 2 2 1 1 ] e [ − 1 0 0 3 ] [ − 2 2 1 1 ] − 1 = [ − 2 2 1 1 ] [ 1 e 0 0 e 3 ] [ − 2 2 1 1 ] − 1 = [ e 4 + 1 2 e e 4 − 1 e e 4 − 1 4 e e 4 + 1 2 e ] 。 {\displaystyle e^{A}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}e^{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{e}}&0\\0&e^{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {e^{4}+1}{2e}}&{\frac {e^{4}-1}{e}}\\{\frac {e^{4}-1}{4e}}&{\frac {e^{4}+1}{2e}}\\\end{bmatrix}}.}
冪零の場合 行列N は 、ある整数qに対して N q = 0 となる場合、冪零行列 である。この場合、級数は有限個の項で終了するため、行列指数e N は
e N = 私 + N + 1 2 N 2 + 1 6 N 3 + ⋯ + 1 （ q − 1 ） ! N q − 1 。 {\displaystyle e^{N}=I+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}~.}
この数列は有限個のステップを持つため、行列多項式となり、効率的に計算 できます。
一般的なケース
ジョルダン・シュヴァレー分解 により、任意のn × n {\displaystyle n\times n} X は 次のように表すことができます。 X = A + N {\displaystyle X=A+N}
これは、 X の指数関数を計算するには、前の2つのケースに還元すればよいことを意味します。 e X = e A + N = e A e N 。 {\displaystyle e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}.}
最後のステップが機能するためには、A とN の可換性が必要であることに注意してください。
密接に関連する方法として、体が代数的に閉じている場合、 X のジョルダン形式 を用いる方法がある。X = PJP −1 Jは X のジョルダン形式である。すると e X = P e J P − 1 。 {\displaystyle e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.}
また、 J = J 1 1 （ λ 1 ） ⊕ J 1 2 （ λ 2 ） ⊕ ⋯ ⊕ J 1 n （ λ n ） 、 e J = exp （ J 1 1 （ λ 1 ） ⊕ J 1 2 （ λ 2 ） ⊕ ⋯ ⊕ J 1 n （ λ n ） ） = exp （ J 1 1 （ λ 1 ） ） ⊕ exp （ J 1 2 （ λ 2 ） ） ⊕ ⋯ ⊕ exp （ J 1 n （ λ n ） ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}J&=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}),\\e^{J}&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}.\end{aligned}}}
したがって、ジョルダンブロック の行列指数を計算する方法だけを知っていればよい。しかし、各ジョルダンブロックは次の形式である。 J 1 （ λ ） = λ 私 + N ⇒ e J 1 （ λ ） = e λ 私 + N = e λ e N 。 {\displaystyle {\begin{aligned}&&J_{a}(\lambda )&=\lambda I+N\\&\Rightarrow &e^{J_{a}(\lambda )}&=e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}.\end{aligned}}}
ここで、N は特別な冪零行列である。Jの行列指数は次のように与えられる 。 e J = e λ 1 e N 1 1 ⊕ e λ 2 e N 1 2 ⊕ ⋯ ⊕ e λ n e N 1 n {\displaystyle e^{J}=e^{\lambda _{1}}e^{N_{a_{1}}}\oplus e^{\lambda _{2}}e^{N_{a_{2}}}\oplus \cdots \oplus e^{\lambda _{n}}e^{N_{a_{n}}}}
投影事例 Pが 射影行列 （つまり冪等行列 ：P 2 = P
e P I + ( e − 1) P
これを指数関数の展開によって導出すると、Pの各べき乗は P に還元され、Pは和の共通因数となる。 e P = ∑ k = 0 ∞ P k k ! = 私 + （ ∑ k = 1 ∞ 1 k ! ） P = 私 + （ e − 1 ） P 。 {\displaystyle e^{P}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {P^{k}}{k!}}=I+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\right)P=I+(e-1)P~.}
回転ケース 垂直な単位ベクトルa b が [ 21 ] 行列 Rは、 生成元 G と角度θ を含む同様の指数関数で表すことができます。[ 22 ] [ 23 ] G = b 1 T − 1 b T P = − G 2 = 1 1 T + b b T P 2 = P P G = G = G P 、 {\displaystyle {\begin{aligned}G&=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}&P&=-G^{2}=\mathbf {aa} ^{\mathsf {T}}+\mathbf {bb} ^{\mathsf {T}}\\P^{2}&=P&PG&=G=GP~,\end{aligned}}} R （ θ ） = e G θ = 私 + G 罪 （ θ ） + G 2 （ 1 − コス （ θ ） ） = 私 − P + P コス （ θ ） + G 罪 （ θ ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}R\left(\theta \right)=e^{G\theta }&=I+G\sin(\theta )+G^{2}(1-\cos(\theta ))\\&=I-P+P\cos(\theta )+G\sin(\theta )~.\\\end{aligned}}}
指数関数の式は、級数展開でG のべき乗を減らし、それぞれの級数係数をG 2 Gをそれぞれ −cos( θ ) とsin( θ ) と同一視することによって得られます。ここでのe Gθ 生成子 R ( θ ) = e Gθ R ( θ ) の式と同じです。
2次元では、1 = [ 1 0 ] {\displaystyle a=\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]} b = [ 0 1 ] {\displaystyle b=\left[{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right]} G = [ 0 − 1 1 0 ] {\displaystyle G=\left[{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]} G 2 = [ − 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle G^{2}=\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]} R （ θ ） = [ コス （ θ ） − 罪 （ θ ） 罪 （ θ ） コス （ θ ） ] = 私 コス （ θ ） + G 罪 （ θ ） {\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}=I\cos(\theta )+G\sin(\theta )}
行列P = − G 2 ab平面に 投影し、回転はこのベクトルの部分のみに影響します。これを説明する例として、 a b 30° = π/6 の回転があります。
1 = [ 1 0 0 ] b = 1 5 [ 0 1 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}&\mathbf {b} &={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{bmatrix}0\\1\\2\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}} G = 1 5 [ 0 − 1 − 2 1 0 0 2 0 0 ] P = − G 2 = 1 5 [ 5 0 0 0 1 2 0 2 4 ] P [ 1 2 3 ] = 1 5 [ 5 8 16 ] = 1 + 8 5 b R （ π 6 ） = 1 10 [ 5 3 − 5 − 2 5 5 8 + 3 − 4 + 2 3 2 5 − 4 + 2 3 2 + 4 3 ] {\displaystyle {\begin{aligned}G={\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\begin{bmatrix}0&-1&-2\\1&0&0\\2&0&0\\\end{bmatrix}}&P=-G^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}5&0&0\\0&1&2\\0&2&4\\\end{bmatrix}}\\P{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}&{\begin{bmatrix}5\\8\\16\\\end{bmatrix}}=\mathbf {a} +{\frac {8}{\sqrt {5}}}\mathbf {b} &R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}5{\sqrt {3}}&-{\sqrt {5}}&-2{\sqrt {5}}\\{\sqrt {5}}&8+{\sqrt {3}}&-4+2{\sqrt {3}}\\2{\sqrt {5}}&-4+2{\sqrt {3}}&2+4{\sqrt {3}}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}
N = I - P N 2 = Nとなり、 P G R
R （ π 6 ） = N + P 3 2 + G 1 2 R （ π 6 ） 2 = N + P 1 2 + G 3 2 R （ π 6 ） 3 = N + G R （ π 6 ） 6 = N − P R （ π 6 ） 12 = N + P = 私 {\displaystyle {\begin{aligned}R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&=N+P{\frac {\sqrt {3}}{2}}+G{\frac {1}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{2}&=N+P{\frac {1}{2}}+G{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{3}&=N+G\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{6}&=N-P\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{12}&=N+P=I\\\end{aligned}}}
ローランシリーズによる評価 ケイリー・ハミルトンの定理 により、行列指数関数はn- 1次の多項式として表現できる。
P とQtが 、 そして有理 型が f （ z ） = e t z − Q t （ z ） P （ z ） {\displaystyle f(z)={\frac {e^{tz}-Q_{t}(z)}{P(z)}}} 全体で ある場合、 e t A = Q t （ A ） 。 {\displaystyle e^{tA}=Q_{t}(A).} P ( z )z を A に置き換えます。
このような多項式Q t ( z ) はシルベスターの公式 を参照）。a を P の根とすると、Q a,t ( z )は、 Pと a におけるf のローラン級数 の主項 との積から解かれます。これは、関連するフロベニウス共変量に比例します。すると、 a が P のすべての根を走るQ a ,t S t Q t Q t は、 S t ( z ) にP の倍数を加えることによって得られます。特に、ラグランジュ・シルベスター多項式 S t ( z ) は、次数がP の次数より小さい唯一のQ t
例：任意の 2 × 2 行列の場合を考えてみましょう。 A := [ 1 b c d ] 。 {\displaystyle A:={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.}
ケイリー・ハミルトンの定理 により、指数行列e tA は次の形式でなければならない。 e t A = s 0 （ t ） 私 + s 1 （ t ） A 。 {\displaystyle e^{tA}=s_{0}(t)\,I+s_{1}(t)\,A.}
（任意の複素数z と任意のC Bに対して、 z は再び、 zと B の単位との積を表すものとする。）
α とβを A の特性多項式 の根とする。 P （ z ） = z 2 − （ 1 + d ） z + 1 d − b c = （ z − α ） （ z − β ） 。 {\displaystyle P(z)=z^{2}-(a+d)\ z+ad-bc=(z-\alpha )(z-\beta )~.}
次に S t （ z ） = e α t z − β α − β + e β t z − α β − α 、 {\displaystyle S_{t}(z)=e^{\alpha t}{\frac {z-\beta }{\alpha -\beta }}+e^{\beta t}{\frac {z-\alpha }{\beta -\alpha }}~,} s 0 （ t ） = α e β t − β e α t α − β 、 s 1 （ t ） = e α t − e β t α − β {\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&={\frac {\alpha \,e^{\beta t}-\beta \,e^{\alpha t}}{\alpha -\beta }},&s_{1}(t)&={\frac {e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{\alpha -\beta }}\end{aligned}}}
α ≠ β α = β S t （ z ） = e α t （ 1 + t （ z − α ） ） 、 {\displaystyle S_{t}(z)=e^{\alpha t}(1+t(z-\alpha ))~,}
となることによって s 0 （ t ） = （ 1 − α t ） e α t 、 s 1 （ t ） = t e α t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&=(1-\alpha \,t)\,e^{\alpha t},&s_{1}(t)&=t\,e^{\alpha t}~.\end{aligned}}}
定義する s ≡ α + β 2 = tr A 2 、 q ≡ α − β 2 = ± − 検出 （ A − s 私 ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}s&\equiv {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\operatorname {tr} A}{2}}~,&q&\equiv {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\pm {\sqrt {-\det \left(A-sI\right)}},\end{aligned}}}
我々は持っています s 0 （ t ） = e s t （ コッシュ （ q t ） − s シン （ q t ） q ） 、 s 1 （ t ） = e s t シン （ q t ） q 、 {\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&=e^{st}\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right),&s_{1}(t)&=e^{st}{\frac {\sinh(qt)}{q}},\end{aligned}}}
ここで、sin( qt )/ qは t =0q =0 の場合はtと なる。
したがって、
e t A = e s t （ （ コッシュ （ q t ） − s シン （ q t ） q ） 私 + シン （ q t ） q A ） 。 {\displaystyle e^{tA}=e^{st}\left(\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right)~I~+{\frac {\sinh(qt)}{q}}A\right)~.}
したがって、上述のように、行列A は互いに可換な 2 つの部分、トレースのある部分とトレースのない部分の和に分解され、 A = s 私 + （ A − s 私 ） 、 {\displaystyle A=sI+(A-sI)~,}
行列指数関数は、それぞれの2つの部分の指数関数の単純な積に簡約されます。これは物理学でよく使われる公式で、パウリ スピン行列 に対するオイラーの公式、つまり群 SU(2) の二重表現の回転の類似物に相当します。
多項式S t に 補間 」特性も与えることができます。e t ( z ) ≡ e tz n ≡ deg P S t ( z )k が P の根としてのa の 重複度より小さいとき、S t ( k ) ( a ) = e t ( k ) ( a )です 。 明らかにそうであるように、 Pは A の最小多項式 であると仮定します。さらに、 Aは 対角化可能な行列 であると仮定します。特に、 P の根は単純であり、「補間」特性は S t がラグランジュ補間 式で与えられることを示しているので、これはラグランジュ-シルベスター多項式 です。
もう一方の極端な例として、P = ( z - a ) n S t = e 1 t ∑ k = 0 n − 1 t k k ! （ z − 1 ） k 。 {\displaystyle S_{t}=e^{at}\ \sum _{k=0}^{n-1}\ {\frac {t^{k}}{k!}}\ (z-a)^{k}~.}
上記の観察でカバーされていない最も単純なケースは、P = （ z − 1 ） 2 （ z − b ） {\displaystyle P=(z-a)^{2}\,(z-b)} a ≠ b S t = e 1 t z − b 1 − b （ 1 + （ t + 1 b − 1 ） （ z − 1 ） ） + e b t （ z − 1 ） 2 （ b − 1 ） 2 。 {\displaystyle S_{t}=e^{at}\ {\frac {z-b}{a-b}}\ \left(1+\left(t+{\frac {1}{b-a}}\right)(z-a)\right)+e^{bt}\ {\frac {(z-a)^{2}}{(b-a)^{2}}}.}
上記の計算を実用的かつ迅速に行うには、次の手順を踏む必要があります。 上で述べたように、n × n exp( tA )は 、ケイリー・ハミルトンの定理 により、 A の最初のn −1 乗の線形結合に相当します。上で示したように、例えば2 × 2 の場合のように 対角化可能な 行列の場合、シルベスターの公式は exp( tA ) = B α exp( tα ) + B β exp( tβ ) となります。ここで、Bは A のフロベニウス共変量 です。
しかし、最も簡単なのは、この式とt = 0におけるその1階微分を A とI を用いて評価し、これらのB を直接解くことで、上記と同じ答えを得ることです。
しかし、この単純な手順は、ブッフハイムによる一般化により、欠陥のある行列にも有効です。 [ 24 ] 対角化できない 4×4 行列の例として、B が射影行列ではない場合について説明します。
考慮する A = [ 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 − 1 8 0 0 1 2 1 2 ] 、 {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}~,} λ 1 = 3/4λ 2 = 1
各固有値の指数関数にt を掛けたもの、exp( λ i t ) を考えます。指数関数化された各固有値に、対応する未定係数行列B i t の係数を追加で掛けるという手順を繰り返します。
（もしある固有値の重複度が３であれば、次の３つの項が存在するでしょう。）B 私 1 e λ 私 t 、 B 私 2 t e λ 私 t 、 B 私 3 t 2 e λ 私 t {\displaystyle B_{i_{1}}e^{\lambda _{i}t},~B_{i_{2}}te^{\lambda _{i}t},~B_{i_{3}}t^{2}e^{\lambda _{i}t}} Bは フロベニウス共変量 となり、以下のように解くことは、これら 4 つの固有値のヴァンデルモンド行列 の逆行列を求めることに相当します。各固有値に任意の重複が許容される一般の場合、合流ヴァンデルモンド行列 を用いたエルミート補間法が得られます（Higham [ 25 ]
このような項をすべて合計すると、ここでは 4 つの項があります。 e A t = B 1 1 e λ 1 t + B 1 2 t e λ 1 t + B 2 1 e λ 2 t + B 2 2 t e λ 2 t 、 e A t = B 1 1 e 3 4 t + B 1 2 t e 3 4 t + B 2 1 e 1 t + B 2 2 t e 1 t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{At}&=B_{1_{1}}e^{\lambda _{1}t}+B_{1_{2}}te^{\lambda _{1}t}+B_{2_{1}}e^{\lambda _{2}t}+B_{2_{2}}te^{\lambda _{2}t},\\e^{At}&=B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{1_{2}}te^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+B_{2_{2}}te^{1t}~.\end{aligned}}}
未知の行列Bを A の最初の 3 乗と単位行列で解くには、4 つの方程式が必要であり、上記の方程式はt = 0 でそのような方程式の 1 つを提供します。さらに、それを t に関して微分すると、 A e A t = 3 4 B 1 1 e 3 4 t + （ 3 4 t + 1 ） B 1 2 e 3 4 t + 1 B 2 1 e 1 t + （ 1 t + 1 ） B 2 2 e 1 t 、 {\displaystyle Ae^{At}={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left({\frac {3}{4}}t+1\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+1B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1t+1\right)B_{2_{2}}e^{1t}~,}
そしてまた、 A 2 e A t = （ 3 4 ） 2 B 1 1 e 3 4 t + （ （ 3 4 ） 2 t + （ 3 4 + 1 ⋅ 3 4 ） ） B 1 2 e 3 4 t + B 2 1 e 1 t + （ 1 2 t + （ 1 + 1 ⋅ 1 ） ） B 2 2 e 1 t = （ 3 4 ） 2 B 1 1 e 3 4 t + （ （ 3 4 ） 2 t + 3 2 ） B 1 2 e 3 4 t + B 2 1 e t + （ t + 2 ） B 2 2 e t 、 {\displaystyle {\begin{aligned}A^{2}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+\left({\frac {3}{4}}+1\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{2}t+(1+1\cdot 1)\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+{\frac {3}{2}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{t}+\left(t+2\right)B_{2_{2}}e^{t}~,\end{aligned}}}
そしてもう一度、 A 3 e A t = （ 3 4 ） 3 B 1 1 e 3 4 t + （ （ 3 4 ） 3 t + （ （ 3 4 ） 2 + （ 3 2 ） ⋅ 3 4 ） ） B 1 2 e 3 4 t + B 2 1 e 1 t + （ 1 3 t + （ 1 + 2 ） ⋅ 1 ） B 2 2 e 1 t = （ 3 4 ） 3 B 1 1 e 3 4 t + （ （ 3 4 ） 3 t + 27 16 ） B 1 2 e 3 4 t + B 2 1 e t + （ t + 3 ⋅ 1 ） B 2 2 e t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{3}t+(1+2)\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t\!+{\frac {27}{16}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+B_{2_{1}}e^{t}\!+\left(t+3\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{t}~.\end{aligned}}}
（一般的には、n -1回の微分を行う必要がある。）
これら4つの式でt = 0とすると、4つの係数行列Bs を求めることができる。 私 = B 1 1 + B 2 1 A = 3 4 B 1 1 + B 1 2 + B 2 1 + B 2 2 A 2 = （ 3 4 ） 2 B 1 1 + 3 2 B 1 2 + B 2 1 + 2 B 2 2 A 3 = （ 3 4 ） 3 B 1 1 + 27 16 B 1 2 + B 2 1 + 3 B 2 2 、 {\displaystyle {\begin{aligned}I&=B_{1_{1}}+B_{2_{1}}\\A&={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}+B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+B_{2_{2}}\\A^{2}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}+{\frac {3}{2}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+2B_{2_{2}}\\A^{3}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}+{\frac {27}{16}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+3B_{2_{2}}~,\end{aligned}}}
収穫する B 1 1 = 128 A 3 − 366 A 2 + 288 A − 80 私 B 1 2 = 16 A 3 − 44 A 2 + 40 A − 12 私 B 2 1 = − 128 A 3 + 366 A 2 − 288 A + 80 私 B 2 2 = 16 A 3 − 40 A 2 + 33 A − 9 私 。 {\displaystyle {\begin{aligned}B_{1_{1}}&=128A^{3}-366A^{2}+288A-80I\\B_{1_{2}}&=16A^{3}-44A^{2}+40A-12I\\B_{2_{1}}&=-128A^{3}+366A^{2}-288A+80I\\B_{2_{2}}&=16A^{3}-40A^{2}+33A-9I~.\end{aligned}}}
A の値を代入すると、係数行列が得られます。 B 1 1 = [ 0 0 48 − 16 0 0 − 8 2 0 0 1 0 0 0 0 1 ] B 1 2 = [ 0 0 4 − 2 0 0 − 1 1 2 0 0 1 4 − 1 8 0 0 1 2 − 1 4 ] B 2 1 = [ 1 0 − 48 16 0 1 8 − 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ] B 2 2 = [ 0 1 8 − 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{aligned}B_{1_{1}}&={\begin{bmatrix}0&0&48&-16\\0&0&-8&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\\B_{1_{2}}&={\begin{bmatrix}0&0&4&-2\\0&0&-1&{\frac {1}{2}}\\0&0&{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}\\B_{2_{1}}&={\begin{bmatrix}1&0&-48&16\\0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\\B_{2_{2}}&={\begin{bmatrix}0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
最終的な答えは e t A = [ e t t e t （ 8 t − 48 ） e t + （ 4 t + 48 ） e 3 4 t （ 16 − 2 t ） e t + （ − 2 t − 16 ） e 3 4 t 0 e t 8 e t + （ − t − 8 ） e 3 4 t − 2 e t + t + 4 2 e 3 4 t 0 0 t + 4 4 e 3 4 t − t 8 e 3 4 t 0 0 t 2 e 3 4 t − t − 4 4 e 3 4 t 。 ] {\displaystyle e^{tA}={\begin{bmatrix}e^{t}&te^{t}&\left(8t-48\right)e^{t}\!+\left(4t+48\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&\left(16-2\,t\right)e^{t}\!+\left(-2t-16\right)e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&e^{t}&8e^{t}\!+\left(-t-8\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&-2e^{t}+{\frac {t+4}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t+4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t}{8}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t-4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}~.\end{bmatrix}}}
この手順は、このような場合に時折用いられるプッツァーのアルゴリズム よりもはるかに短い。
イラスト の指数を計算したいとします。 B = [ 21 17 6 − 5 − 1 − 6 4 4 16 ] 。 {\displaystyle B={\begin{bmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{bmatrix}}.}
そのジョーダン形 は J = P − 1 B P = [ 4 0 0 0 16 1 0 0 16 ] 、 {\displaystyle J=P^{-1}BP={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&16&1\\0&0&16\end{bmatrix}},} P は次のように与えられる。 P = [ − 1 4 2 5 4 1 4 − 2 − 1 4 0 4 0 ] 。 {\displaystyle P={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&2&{\frac {5}{4}}\\{\frac {1}{4}}&-2&-{\frac {1}{4}}\\0&4&0\end{bmatrix}}.}
まず、exp( J )を計算してみましょう。 J = J 1 （ 4 ） ⊕ J 2 （ 16 ） {\displaystyle J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)}
1 × 1 行列の指数関数は、行列の 1 つの要素の指数関数なので、exp( J 1 (4)) = [ e 4 ]となります。J 2 (16)の指数関数は、上記 の式e (λ I + N ) = e λ e N [ 26 ]が得られます。
exp （ [ 16 1 0 16 ] ） = e 16 exp （ [ 0 1 0 0 ] ） = = e 16 （ [ 1 0 0 1 ] + [ 0 1 0 0 ] + 1 2 ! [ 0 0 0 0 ] + ⋯ ） = [ e 16 e 16 0 e 16 ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=\\[6pt]{}={}&e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}+\cdots {}\right)={\begin{bmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
したがって、元の行列B の指数関数は exp （ B ） = P exp （ J ） P − 1 = P [ e 4 0 0 0 e 16 e 16 0 0 e 16 ] P − 1 = 1 4 [ 13 e 16 − e 4 13 e 16 − 5 e 4 2 e 16 − 2 e 4 − 9 e 16 + e 4 − 9 e 16 + 5 e 4 − 2 e 16 + 2 e 4 16 e 16 16 e 16 4 e 16 ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\exp(B)&=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{bmatrix}}P^{-1}\\[6pt]&={1 \over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
アプリケーション
線形微分方程式 行列指数関数は線形微分方程式 系に応用されます。（行列微分方程式 も参照してください。）この記事の前半で述べたように、次の形式の 同次微分方程式は y ′ = A y {\displaystyle \mathbf {y} '=A\mathbf {y} } y (0) には e
ベクトルを考えると y （ t ） = [ y 1 （ t ） ⋮ y n （ t ） ] 、 {\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{bmatrix}}~,} 非同次 連立線形微分方程式 系は次のように表現できます。y ′ （ t ） = A y （ t ） + b （ t ） 。 {\displaystyle \mathbf {y} '(t)=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {b} (t).} e − At 仮説を 立てて全体に掛けると、次の式が得られる。 e − A t y ′ − e − A t A y = e − A t b ⇒ e − A t y ′ − A e − A t y = e − A t b ⇒ d d t （ e − A t y ） = e − A t b 。 {\displaystyle {\begin{aligned}&&e^{-At}\mathbf {y} '-e^{-At}A\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &e^{-At}\mathbf {y} '-Ae^{-At}\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &{\frac {d}{dt}}\left(e^{-At}\mathbf {y} \right)&=e^{-At}\mathbf {b} ~.\end{aligned}}}
2 番目のステップは、 AB = BA e At B = Be At e At を計算すると、3 番目のステップをt に関して積分するだけで、システムの解が得られます。
これに対する解は、積分して乗算することで得られます。e A t {\displaystyle e^{{\textbf {A}}t}} e A t {\displaystyle e^{{\textbf {A}}t}} e A t e − A t = 私 {\displaystyle e^{{\textbf {A}}t}e^{-{\textbf {A}}t}=I} exp A t = exp （ − A t ） − 1 {\displaystyle \exp {{\textbf {A}}t}=\exp {{(-{\textbf {A}}t)}^{-1}}}
システムについて考えてみましょう x ′ = 2 x − y + z y ′ = 3 y − 1 z z ′ = 2 x + y + 3 z 。 {\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z\end{matrix}}~.}
関連する欠陥マトリックス は A = [ 2 − 1 1 0 3 − 1 2 1 3 ] 。 {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.}
行列指数関数は e t A = 1 2 [ e 2 t （ 1 + e 2 t − 2 t ） − 2 t e 2 t e 2 t （ − 1 + e 2 t ） − e 2 t （ − 1 + e 2 t − 2 t ） 2 （ t + 1 ） e 2 t − e 2 t （ − 1 + e 2 t ） e 2 t （ − 1 + e 2 t + 2 t ） 2 t e 2 t e 2 t （ 1 + e 2 t ） ] 、 {\displaystyle e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)&-2te^{2t}&e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)&2te^{2t}&e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,}
したがって、同次系の一般解は次のようになる。 [ x y z ] = x （ 0 ） 2 [ e 2 t （ 1 + e 2 t − 2 t ） − e 2 t （ − 1 + e 2 t − 2 t ） e 2 t （ − 1 + e 2 t + 2 t ） ] + y （ 0 ） 2 [ − 2 t e 2 t 2 （ t + 1 ） e 2 t 2 t e 2 t ] + z （ 0 ） 2 [ e 2 t （ − 1 + e 2 t ） − e 2 t （ − 1 + e 2 t ） e 2 t （ 1 + e 2 t ） ] 、 {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,}
相当する 2 x = x （ 0 ） e 2 t （ 1 + e 2 t − 2 t ） + y （ 0 ） （ − 2 t e 2 t ） + z （ 0 ） e 2 t （ − 1 + e 2 t ） 2 y = x （ 0 ） （ − e 2 t ） （ − 1 + e 2 t − 2 t ） + y （ 0 ） 2 （ t + 1 ） e 2 t + z （ 0 ） （ − e 2 t ） （ − 1 + e 2 t ） 2 z = x （ 0 ） e 2 t （ − 1 + e 2 t + 2 t ） + y （ 0 ） 2 t e 2 t + z （ 0 ） e 2 t （ 1 + e 2 t ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}2x&=x(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)+y(0)\left(-2te^{2t}\right)+z(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2y&=x(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}-2t\right)+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2z&=x(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)+y(0)2te^{2t}+z(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)~.\end{aligned}}}
次に、不均一系について考えてみましょう。 x ′ = 2 x − y + z + e 2 t y ′ = 3 y − z z ′ = 2 x + y + 3 z + e 2 t 。 {\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}~.}
また、 A = [ 2 − 1 1 0 3 − 1 2 1 3 ] 、 {\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,}
そして b = e 2 t [ 1 0 1 ] 。 {\displaystyle \mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}.}
先に述べたように、同次方程式の一般解は既に得られています。同次解と特殊解の和が非同次問題の一般解を与えるので、ここでは特殊解を求めるだけで済みます。
上記により、 y p = e t A ∫ 0 t e （ − u ） A [ e 2 u 0 e 2 u ] d u + e t A c = e t A ∫ 0 t [ 2 e u − 2 u e 2 u − 2 u e 2 u 0 − 2 e u + 2 （ u + 1 ） e 2 u 2 （ u + 1 ） e 2 u 0 2 u e 2 u 2 u e 2 u 2 e u ] [ e 2 u 0 e 2 u ] d u + e t A c = e t A ∫ 0 t [ e 2 u （ 2 e u − 2 u e 2 u ） e 2 u （ − 2 e u + 2 （ 1 + u ） e 2 u ） 2 e 3 u + 2 u e 4 u ] d u + e t A c = e t A [ − 1 24 e 3 t （ 3 e t （ 4 t − 1 ） − 16 ） 1 24 e 3 t （ 3 e t （ 4 t + 4 ） − 16 ） 1 24 e 3 t （ 3 e t （ 4 t − 1 ） − 16 ） ] + [ 2 e t − 2 t e 2 t − 2 t e 2 t 0 − 2 e t + 2 （ t + 1 ） e 2 t 2 （ t + 1 ） e 2 t 0 2 t e 2 t 2 t e 2 t 2 e t ] [ c 1 c 2 c 3 ] 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}\left(2e^{u}-2ue^{2u}\right)\\e^{2u}\left(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u}\right)\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t+4)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,\end{aligned}}} y p (0) であることに注意。より厳密な説明 については、以下の一般化を参照のこと。
不均一ケースの一般化：パラメータの変動 不均質なケースでは、積分因子（ パラメータ変動法 に似た方法）を使用できます。 y p ( t ) = exp( tA ) z ( t )y p ′ （ t ） = （ e t A ） ′ z （ t ） + e t A z ′ （ t ） = A e t A z （ t ） + e t A z ′ （ t ） = A y p （ t ） + e t A z ′ （ t ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=\left(e^{tA}\right)'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}}
y p e t A z ′ （ t ） = b （ t ） z ′ （ t ） = （ e t A ） − 1 b （ t ） z （ t ） = ∫ 0 t e − u A b （ u ） d u + c 。 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=\left(e^{tA}\right)^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}}
したがって、 y p （ t ） = e t A ∫ 0 t e − u A b （ u ） d u + e t A c = ∫ 0 t e （ t − u ） A b （ u ） d u + e t A c 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}(t)&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} ~,\end{aligned}}} c
より正確には、次の式を考えてみましょう。 Y ′ − A Y = F （ t ） {\displaystyle Y'-A\ Y=F(t)}
初期条件Y ( t 0 ) = Y 0
Aは n ×n の複素行列であり、Fはある開区間 Iから C n t 0 {\displaystyle t_{0}} はI の点であり、Y 0 {\displaystyle Y_{0}} はC n 上記の等式にe −tAを左から掛ける と、 Y （ t ） = e （ t − t 0 ） A Y 0 + ∫ t 0 t e （ t − x ） A F （ x ） d x 。 {\displaystyle Y(t)=e^{(t-t_{0})A}\ Y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{(t-x)A}\ F(x)\ dx~.}
我々は、方程式の解が P （ d / d t ） y = f （ t ） {\displaystyle P(d/dt)\ y=f(t)}
初期条件y （ k ） （ t 0 ） = y k {\displaystyle y^{(k)}(t_{0})=y_{k}} 0 ≤ k < n の場合、 y （ t ） = ∑ k = 0 n − 1 y k s k （ t − t 0 ） + ∫ t 0 t s n − 1 （ t − x ） f （ x ） d x 、 {\displaystyle y(t)=\sum _{k=0}^{n-1}\ y_{k}\ s_{k}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{n-1}(t-x)\ f(x)\ dx~,}
表記法は以下のとおりです。
P ∈ C [ X ] {\displaystyle P\in \mathbb {C} [X]} は次数n > 0fはある開区間 I 上で定義された連続複素数値関数である。t 0 {\displaystyle t_{0}} は 、y k {\displaystyle y_{k}} s k ( t )X k {\displaystyle X^{k}} S t ∈ C [ X ] {\displaystyle S_{t}\in \mathbb {C} [X]} 上記のローランシリーズによる 小節評価を参照してください。
この主張を正当化するために、通常の1階システムへの還元によって、 n 階スカラー方程式を1階ベクトル方程式に変換します。ベクトル方程式は次の形式になります。 d Y d t − A Y = F （ t ） 、 Y （ t 0 ） = Y 0 、 {\displaystyle {\frac {dY}{dt}}-A\ Y=F(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0},} 、Aは P の転置 行列 です。上記のシルベスターの 公式の実装による評価の項で述べた観察に基づいて行列指数を計算し、上記のようにこの方程式を解きます。
n = 2の場合、次のステートメントが得られます。 y 」 − （ α + β ） y ′ + α β y = f （ t ） 、 y （ t 0 ） = y 0 、 y ′ （ t 0 ） = y 1 {\displaystyle y''-(\alpha +\beta )\ y'+\alpha \,\beta \ y=f(t),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=y_{1}}
は y （ t ） = y 0 s 0 （ t − t 0 ） + y 1 s 1 （ t − t 0 ） + ∫ t 0 t s 1 （ t − x ） f （ x ） d x 、 {\displaystyle y(t)=y_{0}\ s_{0}(t-t_{0})+y_{1}\ s_{1}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{1}(t-x)\,f(x)\ dx,}
ここで、関数s 0 s 1 は、上記のサブセクション Laurent 級数による評価 と同じです。
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![{\displaystyle [A\,{\overline {\oplus }}\,B,C\,{\overline {\oplus }}\,D]=[A,C]\,{\overline {\oplus }}\,[B,D]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3297b5de9d33a5ac559da9660dd7af2aa468017)
![{\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ebd57eb47ed56f6d8111bbd7dc460e0242019b4)
![\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B)\leq \operatorname {tr} \left[\exp(A)\exp(B)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a67f5a9c156589dcc0627529aeb987b7ab57ff77)
![\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B+C)\leq \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\operatorname {tr} \left[e^{A}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}e^{C}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8395467e8b32cac1f2fd5634a920770cb7eca5e)
![{\displaystyle e^{-X(t)}\left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)={\frac {d}{dt}}X(t)-{\frac {1}{2!}}\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]+{\frac {1}{3!}}\left[X(t),\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]\right]-\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9a0bbb74d417bc62aa3c81147358048b2272c0c)
![{\displaystyle D\exp(X)[V]\triangleq \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon V}-e^{X}\right)=E(G\odot {\bar {V}})E^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720434d760d91904b61a54c17630773a2adee785)
![{\displaystyle D^{2}\exp(X)[U,V]\triangleq \lim _{\epsilon _{u}\to 0}\lim _{\epsilon _{v}\to 0}{\frac {1}{4\epsilon _{u}\epsilon _{v}}}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X-\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X+\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}+e^{X-\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}\right)=EF(U,V)E^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60283f8a1d7b8a53fd09a079916761b54b40d524)
![{\displaystyle a=\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d56aced6e2c51dc00d64c3e48ad7877dfd5f72)
![{\displaystyle b=\left[{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b84e6c7fbab00f661b759ea592102d294e6c3393)
![{\displaystyle G=\left[{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66979defb968641217b24636f83ee2bd5c48135)
![{\displaystyle G^{2}=\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a245a10c8a673650524b9f214b72dbcd04558c2e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=\\[6pt]{}={}&e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}+\cdots {}\right)={\begin{bmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645acc0496a216b8b6bd59c4f7bc8ba0023e82d4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\exp(B)&=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{bmatrix}}P^{-1}\\[6pt]&={1 \over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf04ed9a5767fa06004d8c32cb391df66373de5b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2x&=x(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)+y(0)\left(-2te^{2t}\right)+z(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2y&=x(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}-2t\right )+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2z&=x(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)+y(0)2te^{2t}+z(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37743b1b3b11a50a71b628fede06041391b9c98)
![{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a866884769332fa1a366783b9a1d1955f7dc05)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\2ue^{2 u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}\left(2e^{u}-2ue^{2u}\right)\\e^{2u}\left(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u}\right)\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t+4)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef0cccdaf2d5b0fe9d53a321c37fdde8f71b782)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=\left(e^{tA}\right)'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1870f9bb07a06edb36c925a5612cc28d61d36722)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=\left(e^{tA}\right)^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8517346e558b122ce5039cdeb54006e7e0e7eb18)
![{\displaystyle P\in \mathbb {C} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e0f3045d57f5926108bade04c243a473b2cdf1)
![{\displaystyle S_{t}\in \mathbb {C} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600abf70e16defa72aa00bb637b53ca1d04049b5)
