フロベニウス共変

行列理論において、正方行列Aのフロベニウス共変量は、その特殊な多項式、すなわち Aの 固有値と固有ベクトルに関連付けられた射影 行列A _iである。^{[1] : pp.403, 437–8}これらは数学者フェルディナント・フロベニウスにちなんで名付けられている。

各共変量は、固有値λ _iに関連付けられた固有空間 への射影です。フロベニウス共変量は、行列f ( A )の関数を行列多項式、つまりAの固有値上のその関数の値の線形結合として表すシルベスターの公式の係数です。

A を固有値λ ₁ , ..., λ _kを持つ対角化可能な行列とします。

フロベニウス共変量A _i（i = 1,..., k）は、行列

${\displaystyle A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}(A-\lambda _{j}I)~.}$

これは本質的に行列引数を持つ ラグランジュ多項式です。固有値λ _iが単純であれば、1 次元部分空間へのべき等射影行列として、 A _{i は}単位トレースを持ちます。

行列Aのフロベニウス共変量は、任意の固有分解 A = SDS ⁻¹から得ることができます。ここで、Sは特異ではなく、DはD _iと対角で_、i = λ _iです。Aに多重固有値がない場合、c _{i を}Aの i 番目の右固有ベクトル、つまりSのi番目の列とし、r _{i を}Aのi番目の左固有ベクトル、つまりS ^−1のi番目の行とします。このとき、A _i = c _i r _{i です}。

Aに固有値λ _iが複数回出現する場合、A _i = Σ _j c _j r _jとなり、その合計は固有値λ _iに関連付けられたすべての行と列にわたります。^{[1] : p.521}

2行2列の行列を考えてみましょう。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.}$

この行列には5と-2の2つの固有値があるため、( A -5)( A +2)=0となります。

対応する固有分解は

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\\4&-3\end{bmatrix}}.}$

したがって、フロベニウス共変量、つまり明らかに射影は、

${\displaystyle {\begin{array}{rl}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3/7&3/7\\4/7&4/7\end{bmatrix}}=A_{1}^{2}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}1/7\\-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4/7&-3/7\\-4/7&3/7\end{bmatrix}}=A_{2}^{2}~,\end{array}}}$

と

${\displaystyle A_{1}A_{2}=0,\qquad A_{1}+A_{2}=I~.}$

必要に応じて、 tr  A ₁ = tr  A ₂ = 1であることに注意してください。