位相型分布

位相型

パラメータ	${\displaystyle S,\;m\times m}$サブジェネレータ行列、確率行ベクトル ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$
サポート	${\displaystyle x\in [0;\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}e^{xS}{\boldsymbol {S}}^{0}}$ 詳細は記事を参照
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle 1-{\boldsymbol {\alpha }}e^{xS}{\boldsymbol {1}}}$
平均	${\displaystyle -{\boldsymbol {\alpha }}{S}^{-1}\mathbf {1} }$
中央値	単純な閉じた形式ではない
モード	単純な閉じた形式ではない
分散	${\displaystyle 2{\boldsymbol {\alpha }}{S}^{-2}\mathbf {1} -({\boldsymbol {\alpha }}{S}^{-1}\mathbf {1} )^{2}}$
MGF の	${\displaystyle -{\boldsymbol {\alpha }}(tI+S)^{-1}{\boldsymbol {S}}^{0}+\alpha _{0}}$
CF	${\displaystyle -{\boldsymbol {\alpha }}(itI+S)^{-1}{\boldsymbol {S}}^{0}+\alpha _{0}}$

位相型分布は、指数分布の畳み込みまたは混合によって構成される確率分布です。^[1]これは、1つ以上の相互に関連するポアソン過程が順番に、つまり位相で発生するシステムから生じます。各位相が発生する順序自体が確率過程である可能性があります。分布は、1つの吸収状態を持つマルコフ過程の吸収までの時間を記述するランダム変数によって表すことができます。マルコフ過程の各状態は、位相の1つを表します。

離散時間に相当する離散位相型分布があります。

位相型分布の集合は、すべての正の値の分布のフィールド内で密です。つまり、任意の正の値の分布を近似するために使用できます。

m  + 1 個の状態（ m ≥ 1）を持つ連続時間マルコフ過程を考えます。 状態 1、...、mは過渡状態、状態 0 は吸収状態です。さらに、この過程が、確率ベクトル ( α ₀、α ) によって与えられるm + 1 個のフェーズのいずれかで開始する初期確率を持つものとします。ここで、α ₀はスカラー、αは 1 ×  mベクトルです。

連続位相型分布は、上記プロセスの開始から吸収状態への吸収までの時間の分布です。

このプロセスは遷移率行列の形で表すことができる。

${\displaystyle {Q}=\left[{\begin{matrix}0&\mathbf {0} \\\mathbf {S} ^{0}&{S}\\\end{matrix}}\right],}$

ここで、S はm  ×  m行列であり、S ⁰ = –S 1です。ここで、1 は すべての要素が 1 である m × 1 列ベクトルを表します。

過程が吸収状態に達するまでの時間Xの分布は位相分布であると言われ、PH( α , S )と表記される。

Xの分布関数は次のように与えられる。

${\displaystyle F(x)=1-{\boldsymbol {\alpha }}\exp({S}x)\mathbf {1} ,}$

そして密度関数、

${\displaystyle f(x)={\boldsymbol {\alpha }}\exp({S}x)\mathbf {S^{0}} ,}$

全てのx > 0に対して、exp( · )は行列指数関数です。通常、吸収状態でプロセスが開始する確率はゼロ（すなわちα ₀ = 0）と仮定されます。分布関数のモーメントは次のように与えられます。

${\displaystyle E[X^{n}]=(-1)^{n}n!{\boldsymbol {\alpha }}{S}^{-n}\mathbf {1} .}$

位相型分布のラプラス変換は次のように表さ れる。

${\displaystyle M(s)=\alpha _{0}+{\boldsymbol {\alpha }}(sI-S)^{-1}\mathbf {S^{0}} ,}$

ここで、I は単位行列です。

以下の確率分布はすべて、連続位相型分布の特殊なケースと見なされます。

• 退化した分布、質点がゼロ、または空の位相型分布 - 位相が 0 の分布。
• 指数分布 – 1 フェーズ。
• アーラン分布 – 2 つ以上の同一位相が連続して存在します。
• 決定論的分布（または定数） - アーラン分布の極限ケースであり、フェーズの数は無限になり、各状態の時間はゼロになります。
• コックス分布 – 2 つ以上の (必ずしも同一ではない) フェーズが連続し、各フェーズの後に終了/吸収状態に移行する可能性があります。
• 超指数分布(指数分布の混合とも呼ばれる) - 2 つ以上の同一でないフェーズがあり、それぞれが相互に排他的または並行して発生する可能性があります。 (注: 指数分布は、すべての並行フェーズが同一である場合の退化した状況です。)
• 準指数分布 - 連続する 2 つ以上のフェーズは、同一ではない場合もあれば、同一フェーズと同一ではないフェーズが混在している場合もあります。アーランを一般化します。

位相型分布はすべての正の値の分布のフィールドで密なので、任意の正の値の分布を表すことができます。ただし、位相型は軽尾型または扁平尖型分布です。そのため、近似の精度が望むほど良くても、位相型による重尾型または扁平尖型分布の表現は近似です。

以下のすべての例では、ゼロに確率質量がない、つまり α ₀ = 0 であると仮定します。

位相型分布の最も単純で重要な例は、パラメータ λ の指数分布です。位相型分布のパラメータは、S = -λ およびα = 1 です。

λ ₁ ,λ ₂ ,...,λ _{n >0の指数分布または}超指数分布の混合は、位相型分布として表すことができ、

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4},...,\alpha _{n})}$

と​ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1}$

${\displaystyle {S}=\left[{\begin{matrix}-\lambda _{1}&0&0&0&0\\0&-\lambda _{2}&0&0&0\\0&0&-\lambda _{3}&0&0\\0&0&0&-\lambda _{4}&0\\0&0&0&0&-\lambda _{5}\\\end{matrix}}\right].}$

この指数分布のランダム変数の密度の混合は、次のように特徴付けられる。

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{X_{i}}(x),}$

またはその累積分布関数

${\displaystyle F(x)=1-\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e^{-\lambda _{i}x}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}F_{X_{i}}(x).}$

と${\displaystyle X_{i}\sim Exp(\lambda _{i})}$

アーラン分布には、形状（整数k > 0）と率 λ > 0 という 2 つのパラメータがあります。これは、E ( k ,λ ) と表記されることもあります。アーラン分布は、S を対角要素 -λ と上対角要素 λ を持つk × k行列とし、状態 1 から始まる確率を 1 にすることで、位相型分布の形式で記述できます。たとえば、E (5,λ) では、

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(1,0,0,0,0),}$

そして

${\displaystyle {S}=\left[{\begin{matrix}-\lambda &\lambda &0&0&0\\0&-\lambda &\lambda &0&0\\0&0&-\lambda &\lambda &0\\0&0&0&-\lambda &\lambda \\0&0&0&0&-\lambda \\\end{matrix}}\right].}$

与えられた位相数に対して、アーラン分布は変動係数が最も小さい位相型分布である。^[2]

低指数分布は、各遷移に対して異なるレートを持つことにより、アーラン分布を一般化したものです (非同次ケース)。

パラメータE (3,β ₁ )、E (3,β ₂ )、(α ₁ ,α ₂ ) (α ₁ + α _{2 = 1かつ各}iに対してα _i ≥ 0)を持つ2つのアーラン分布の混合は、位相型分布として表すことができ、

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},0,0,\alpha _{2},0,0),}$

そして

${\displaystyle {S}=\left[{\begin{matrix}-\beta _{1}&\beta _{1}&0&0&0&0\\0&-\beta _{1}&\beta _{1}&0&0&0\\0&0&-\beta _{1}&0&0&0\\0&0&0&-\beta _{2}&\beta _{2}&0\\0&0&0&0&-\beta _{2}&\beta _{2}\\0&0&0&0&0&-\beta _{2}\\\end{matrix}}\right].}$

コクシアン分布はアーラン分布の一般化です。吸収状態に入ることができるのは状態kからだけではなく、どの位相からでも到達できます。位相型表現は次のように表されます。

${\displaystyle S=\left[{\begin{matrix}-\lambda _{1}&p_{1}\lambda _{1}&0&\dots &0&0\\0&-\lambda _{2}&p_{2}\lambda _{2}&\ddots &0&0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ddots &-\lambda _{k-2}&p_{k-2}\lambda _{k-2}&0\\0&0&\dots &0&-\lambda _{k-1}&p_{k-1}\lambda _{k-1}\\0&0&\dots &0&0&-\lambda _{k}\end{matrix}}\right]}$

そして

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(1,0,\dots ,0),}$

ここで、0 < p ₁、...、p _{k -1 ≤ 1 です。すべての}p _i = 1の場合、アーラン分布になります。コックス分布は、非巡回位相型分布には同等のコックス表現があるため、非常に重要です。

一般化されたコックス分布は、最初のフェーズで開始する必要がある条件を緩和します。

指数分布と同様に、PH 分布のクラスは、独立したランダム変数の最小値に対して閉じています。これについての説明は、ここです。

BuToolsには位相型分散ランダム変数からサンプルを生成するためのメソッドが含まれています。^[3]

どのような分布も位相型分布で任意に近似することができます。^{[4] [5]}しかし、実際には近似プロセスのサイズが固定されている場合、近似が不十分になる可能性があります。時間1の決定論的分布を10の位相で近似すると、平均長さ0.1のそれぞれの分散は0.1になります（アーラン分布の分散が最小であるため^[2]）。

• BuTools は、 3 つの指定されたモーメントに位相型分布をフィッティングするためのMATLABおよびMathematicaスクリプトです。
• 最小位相型分布を3つの指定されたモーメントに適合させるMATLABスクリプトのモーメントマッチング^[6]
• KPCツールボックスは、経験的データセットをマルコフ到着過程と位相型分布に適合させるためのMATLABスクリプトのライブラリです。 ^[7]

位相型分布をデータに当てはめる方法は、最大尤度法とモーメントマッチング法に分類できます。^[8]位相型分布を重裾分布に当てはめることは、状況によっては実用的であることが示されています。^[9]

• PhFitは離散型および連続型の位相分布をデータに適合させるためのCスクリプトです^[10]
• EMphtは、期待最大化アルゴリズムを使用して位相型分布をデータまたはパラメトリック分布に適合させるCスクリプトです。^[11]
• HyperStarは、位相型分布を幅広い分野で利用しやすくするために、位相型フィッティングをシンプルで使いやすいものにするという中核的なアイデアに基づいて開発されました。グラフィカルユーザーインターフェイスを提供し、ユーザーの操作をほとんど必要とせずに優れたフィッティング結果をもたらします。^[12]
• jPhaseは、適合位相型分布を使用してキューのメトリックを計算することもできるJavaライブラリです^[13]

• 離散位相型分布
• 連続時間マルコフ過程
• 指数分布
• 超指数分布
• 待ち行列理論

• MF Neuts (1975)、「位相型の確率分布」、Liber Amicorum Prof. Emeritus H. Florin、173-206 ページ、ルーヴァン大学。
• MF Neuts. 確率モデルにおける行列幾何学的解法: アルゴリズム的アプローチ、第 2 章: 位相タイプの確率分布、Dover Publications Inc.、1981 年。
• G. Latouche、V. Ramaswami。確率モデル化における行列解析手法入門、第 1 版。第 2 章: PH 分布。ASA SIAM、1999 年。
• CA O'Cinneide (1990).位相型分布の特性評価. 統計における通信: 確率モデル, 6 (1), 1-57.
• CA O'Cinneide (1999).位相型分布：未解決の問題といくつかの特性、統計コミュニケーション：確率モデル、15（4）、731-757。