乗法スケーリング動作を持つ関数
数学 において 、 同次関数とは、次が成り立つような 複数の変数の関数 である 。関数の各引数に同じ スカラーを掛けると、関数の値にはこのスカラーの何らかの累乗が掛けられる。この累乗は 同次次数 、または単に 次数 と呼ばれる 。つまり、 k が整数の場合、 n 変数の関数 f は次数 k の同次関数である。
ふ （ s
x
1
、 … 、 s
x
ん
） =
s
け
ふ （
x
1
、 … 、
x
ん
）
{\displaystyle f(sx_{1},\ldots,sx_{n})=s^{k}f(x_{1},\ldots,x_{n})}
あらゆる場合において 、これは k 次 または k 次の 同次関数とも呼ばれます 。
x
1
、 … 、
x
ん
、
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}
s ≠ 0.
{\displaystyle s\neq 0.}
たとえば、 次数 kの 同次多項式は次数 k の同次関数を定義します 。
上記の定義は、 定義域 と 余定義域が 体 F 上の ベクトル空間 である関数にも拡張される。2 つの F ベクトル空間間の 関数が 次数 同次 となるのは、
ふ : 五 → わ
{\displaystyle f:V\to W}
け
{\displaystyle k}
すべての非ゼロのスカラー s に対して と なります。この定義は 、多くの場合、定義域が V ではなく V 内の 錐 、つまり、すべての非ゼロのスカラー s に対してとなる V の サブセット C である関数にさらに一般化されます 。
s ∈ ふ
{\displaystyle s\in F}
ヴ ∈ 五 。
{\displaystyle v\in V.}
ヴ
∈ Ｃ
{\displaystyle \mathbf {v} \in C}
s
ヴ
∈ Ｃ
{\displaystyle s\mathbf {v} \in C}
複数の実変数を持つ関数 や 実ベクトル空間 の場合、 正同次性 と呼ばれるもう少し一般的な同次性形式 がしばしば考慮されます。これは、上記の恒等式が に対して成り立つことだけを要求し 、任意の実数 k を 同次性の次数として許容することによって行われます。すべての同次実関数は 正同次 です。逆は真ではありませんが、(整数次数の場合) 特定の点付近の関数の挙動を考慮しても 2 種類の同次性を区別できないという意味で局所的に真です。
s > 0 、
{\displaystyle s>0,}
実ベクトル空間上のノルム は 、同次ではない正同次関数の例です。特殊なケースとして、実数の 絶対値があります。同じ次数の 2 つの同次多項式の商は、次数 0 の同次関数の例となります。この例は 、射影スキーム の定義において基本的なものです 。
定義 同次関数の概念は、もともと 複数の実変数の関数 のために導入されました。19 世紀末の ベクトル空間の定義により、変数値の 組を 座標ベクトル と見なすことができるため、この概念はベクトル空間間の関数に自然に拡張されました 。この記事では、このより一般的な観点について説明します。
よく使われる定義は 2 つあります。一般的な定義は任意の 体 上のベクトル空間に適用でき、同次性が 整数 に制限されます。
2 つ目は、 実数体 、またはより一般的には 順序体 上で動作することを想定しています。この定義は、定義で発生するスケーリング係数を正の値に制限するため、 正同次性 と呼ばれます。混乱の恐れがない場合、修飾語の 正は 省略されることがよくあります。正同次性により、より多くの関数を同次と見なすことができます。たとえば、 絶対値 とすべての ノルムは 、同次ではない正同次関数です。
スケーリング係数を正の実数値に制限することで、同次度が任意の実数である同次関数も考慮できるようになります。
全体的な均質性 V と W を 体 F 上の 2つの ベクトル空間 とする 。V の 線型錐は 、 すべての およびすべての非ゼロ に対して、
V の 部分集合 Cである。
s x ∈ Ｃ
{\displaystyle sx\in C}
x ∈ Ｃ
{\displaystyle x\in C}
s ∈ ふ 。
{\displaystyle s\in F.}
V から W への 同次関数 f は 、線型錐 Cを定義 域 とする V から W への 部分関数 であり 、
ふ （ s x ） =
s
け
ふ （ x ）
{\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}
ある整数 k に対して 、任意 の非ゼロの 整数 k は 同次度 、または単に f の 次数 と呼ばれます 。
x ∈ Ｃ 、
{\displaystyle x\in C,}
s ∈ ふ 。
{\displaystyle s\in F.}
k 次同次関数の典型的な例は、 k 次 同次多項式 によって定義される関数です 。 2 つの同次多項式の商によって定義される 有理関数 は同次関数です。その次数は分子と分母の次数の差であり、 定義円錐は 分母の値が 0 でない点の線形円錐です。
同次関数は射影幾何学 において基本的な役割を果たします。 なぜなら、 V から W への任意の同次関数 f は、 V と W の 射影化 の間の明確に定義された関数を定義するからです。 0次の同次有理関数（同じ次数の2つの同次多項式の商によって定義される関数）は、 射影スキーム の Proj 構成 において重要な役割を果たします 。
肯定的な同質性 実数 、またはより一般的には 順序体 上で作業する場合、 正の同次性 を考慮すると便利です。この定義は、線形円錐と同次関数の定義で「非ゼロ s 」を「 s > 0 」に置き換えた、前のセクションとまったく同じです 。
この変更により、正の実数を底とする指数関数 が明確に定義される
ため、任意の実数を次数とする（正の）同次関数を考慮できるようになります。
整数次数の場合でも、同次ではないが正同次である有用な関数は多数あります。特に、絶対 値 関数と ノルム の場合がこれに該当し、これらはすべて次数 1の正同次です。これらは 、 の 場合、である ため同次ではありません。これは複素数の 場合でも当てはまります。 複素数体 とすべての複素ベクトル空間は、実ベクトル空間と見なすことができるからです。
|
− x
|
=
|
x
|
≠ −
|
x
|
{\displaystyle |-x|=|x|\neq -|x|}
x ≠ 0.
{\displaystyle x\neq 0.}
Ｃ
{\displaystyle \mathbb {C} }
オイラーの同次関数定理は、正同次微分可能関数 の特徴付けであり、 同次関数に関する基本定理 とみなすことができます 。
例 この例が示すように、同次関数は必ずしも 連続では ありません。これは、および の場合に は で定義される 関数です。 この関数は1次同次関数です。つまり、任意の 実数に対して で不連続です。
ふ
{\displaystyle f}
ふ （ x 、 ええ ） = x
{\displaystyle f(x,y)=x}
x ええ > 0
{\displaystyle xy>0}
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
x
y
≤
0.
{\displaystyle xy\leq 0.}
f
(
s
x
,
s
y
)
=
s
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(sx,sy)=sf(x,y)}
s
,
x
,
y
.
{\displaystyle s,x,y.}
y
=
0
,
x
≠
0.
{\displaystyle y=0,x\neq 0.}
簡単な例 この関数は 2次同次関数である。
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}
f
(
t
x
,
t
y
)
=
(
t
x
)
2
+
(
t
y
)
2
=
t
2
(
x
2
+
y
2
)
=
t
2
f
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle f(tx,ty)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=t^{2}f(x,y).}
絶対値と規範 実数 の 絶対 値は 1 次の正同次関数であるが、これは 同 次ではない。 なぜなら 、
|
s
x
|
=
s
|
x
|
{\displaystyle |sx|=s|x|}
s
>
0
,
{\displaystyle s>0,}
|
s
x
|
=
−
s
|
x
|
{\displaystyle |sx|=-s|x|}
s
<
0.
{\displaystyle s<0.}
複素数 の絶対値は、実数上の 次数の正同次関数です （つまり、複素数を実数上の ベクトル空間 として考える場合）。複素数上だけでなく実数上でも同次ではありません。
1
{\displaystyle 1}
より一般的には、すべての ノルム と セミノルムは、同次関数ではない 1 次正同次関数です 。絶対値に関しては、ノルムまたはセミノルムが複素数上のベクトル空間で定義されている場合、正同次関数の定義を適用するには、このベクトル空間を実数上のベクトル空間として考慮する必要があります。
線形関数 体 F 上の ベクトル空間 間の 任意の 線型写像は 、線型性の定義により、次数1の同次
写像
である。
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\to W}
f
(
α
v
)
=
α
f
(
v
)
{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}
α
∈
F
{\displaystyle \alpha \in {F}}
v
∈
V
.
{\displaystyle v\in V.}
同様に、 多重線型関数は 多重線型性の定義により
次数同次で
ある 。
f
:
V
1
×
V
2
×
⋯
V
n
→
W
{\displaystyle f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots V_{n}\to W}
n
,
{\displaystyle n,}
f
(
α
v
1
,
…
,
α
v
n
)
=
α
n
f
(
v
1
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle f\left(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n}\right)=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}
α
∈
F
{\displaystyle \alpha \in {F}}
v
1
∈
V
1
,
v
2
∈
V
2
,
…
,
v
n
∈
V
n
.
{\displaystyle v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\ldots ,v_{n}\in V_{n}.}
同次多項式 変数の 単項式 は同次関数を定義します。 たとえば、
は次数10の同次関数です。
次数は変数の指数の合計です。この例では、
n
{\displaystyle n}
f
:
F
n
→
F
.
{\displaystyle f:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} .}
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
5
y
2
z
3
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}
f
(
α
x
,
α
y
,
α
z
)
=
(
α
x
)
5
(
α
y
)
2
(
α
z
)
3
=
α
10
x
5
y
2
z
3
=
α
10
f
(
x
,
y
,
z
)
.
{\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z).\,}
10
=
5
+
2
+
3.
{\displaystyle 10=5+2+3.}
同 次多項式は、同じ次数の単項式の和で構成される 多項式 です 。たとえば、
は次数 5 の同次多項式です。同次多項式は同次関数も定義します。
x
5
+
2
x
3
y
2
+
9
x
y
4
{\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}
正の値のみを取る実数係数の次数同次多項式が与えられた場合、 それを累乗することで 次数 の正同次関数が得られます 。したがって、たとえば、次の関数は次数 1 の正同次ですが、同次ではありません。
k
{\displaystyle k}
k
/
d
{\displaystyle k/d}
1
/
d
.
{\displaystyle 1/d.}
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
1
2
.
{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}
最小/最大 すべての重みセットに対して、 次の関数は 1 次正同次ですが、同次ではありません。
w
1
,
…
,
w
n
,
{\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n},}
min
(
x
1
w
1
,
…
,
x
n
w
n
)
{\displaystyle \min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}
（ レオンチェフユーティリティ ）
max
(
x
1
w
1
,
…
,
x
n
w
n
)
{\displaystyle \max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}
有理関数 2つの同次 多項式の比として形成される 有理関数は、その 定義域 、つまり 分母の 零点 によって形成される 線型円錐 の外では同次関数である。したがって、 が 次数 同次で が 次数 同次である場合 、 の零点から離れたところでは 次数 同次である。
f
{\displaystyle f}
m
{\displaystyle m}
g
{\displaystyle g}
n
,
{\displaystyle n,}
f
/
g
{\displaystyle f/g}
m
−
n
{\displaystyle m-n}
g
.
{\displaystyle g.}
非例 単一変数の 同次 実関数は 、ある定数 c に対して の形を持ちます。したがって、 アフィン関数、 自然 対数 、 指数関数は 同次ではありません。
x
↦
c
x
k
{\displaystyle x\mapsto cx^{k}}
x
↦
x
+
5
,
{\displaystyle x\mapsto x+5,}
x
↦
ln
(
x
)
,
{\displaystyle x\mapsto \ln(x),}
x
↦
e
x
{\displaystyle x\mapsto e^{x}}
オイラーの定理 大まかに言えば、 オイラーの同次関数定理は、与えられた次数の正同次関数が特定の 偏微分方程式 の解とまったく同じであることを主張しています 。より正確には、
オイラーの同次関数定理 — f が n 個 の実変数の (部分) 関数 で、 k 次同次であり 、 の開集合内で 連続的に微分可能である 場合 、この開集合内で 偏微分方程式を満たす。
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
k
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
∂
f
∂
x
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
.
{\displaystyle k\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}
逆に、この偏微分可能方程式のすべての最大連続微分可能解は 、正の錐上で定義される k次正同次関数です (ここで、 最大 とは、解がより大きな領域を持つ関数に延長できないことを意味します)。
結果として、 が連続的に微分可能で 次同次である場合、 その 1 次 偏導関数 は 次同次です
。これは、偏微分方程式を 1 つの変数に関して微分することによって得られるオイラーの定理の結果です。
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
k
,
{\displaystyle k,}
∂
f
/
∂
x
i
{\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}
k
−
1.
{\displaystyle k-1.}
実変数が 1 つの関数 ( ) の場合 、定理は、連続的に微分可能で k 次の正同次関数が、に対しての 形を持ち 、 に対して の形を持つことを意味します。 定数と は、 絶対値 の場合と同様 、必ずしも同じではありません 。
n
=
1
{\displaystyle n=1}
f
(
x
)
=
c
+
x
k
{\displaystyle f(x)=c_{+}x^{k}}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
f
(
x
)
=
c
−
x
k
{\displaystyle f(x)=c_{-}x^{k}}
x
<
0.
{\displaystyle x<0.}
c
+
{\displaystyle c_{+}}
c
−
{\displaystyle c_{-}}
微分方程式への応用 この置換により、 とが 同じ次数の同次関数である常微分方程式が、分離可能な微分方程式に
変換 さ れる 。
v
=
y
/
x
{\displaystyle v=y/x}
I
(
x
,
y
)
d
y
d
x
+
J
(
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}
I
{\displaystyle I}
J
{\displaystyle J}
x
d
v
d
x
=
−
J
(
1
,
v
)
I
(
1
,
v
)
−
v
.
{\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v.}
一般化
モノイド作用による同次性 上記の定義はすべて、 が 任意の集合（ベクトル空間ではなく）であり、実数が モノイド のより一般的な概念に置き換えられる、次のより一般的な同次性の概念の特殊なケースです。
X
{\displaystyle X}
を 単位元とする モノイドと し 、 を集合とし、との両方に のモノイド作用が定義されているとします 。 を 非負 の整数とし、を写像とします 。 すると、 任意の および に対して が 次数同次 で あると言える。
さらに、 によって表される関数が 絶対値 と 呼ばれる場合、任意の および に対してが 次数絶対同次 で あると言える 。
M
{\displaystyle M}
1
∈
M
,
{\displaystyle 1\in M,}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
M
.
{\displaystyle M.}
k
{\displaystyle k}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
f
{\displaystyle f}
k
{\displaystyle k}
M
{\displaystyle M}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
m
∈
M
,
{\displaystyle m\in M,}
f
(
m
x
)
=
m
k
f
(
x
)
.
{\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x).}
M
→
M
,
{\displaystyle M\to M,}
m
↦
|
m
|
,
{\displaystyle m\mapsto |m|,}
f
{\displaystyle f}
k
{\displaystyle k}
M
{\displaystyle M}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
m
∈
M
,
{\displaystyle m\in M,}
f
(
m
x
)
=
|
m
|
k
f
(
x
)
.
{\displaystyle f(mx)=|m|^{k}f(x).}
関数が 上で同次
M
{\displaystyle M}
(または 上で絶対同次
M
{\displaystyle M}
) であるとは、それが上 で次数同次(または 上で 次数絶対同次 ) である場合に限ります。
1
{\displaystyle 1}
M
{\displaystyle M}
1
{\displaystyle 1}
M
{\displaystyle M}
より一般的には、が整数以外の値である とき に の記号を定義する ことが可能です(たとえば、 が実数で が 非ゼロの実数である場合、 は整数で なくても定義されます )。この場合、 同じ等式が成り立つ場合、 は に対して
同 次で あると呼ばれます。
m
k
{\displaystyle m^{k}}
m
∈
M
{\displaystyle m\in M}
k
{\displaystyle k}
M
{\displaystyle M}
k
{\displaystyle k}
m
k
{\displaystyle m^{k}}
k
{\displaystyle k}
f
{\displaystyle f}
k
{\displaystyle k}
M
{\displaystyle M}
f
(
m
x
)
=
m
k
f
(
x
)
for every
x
∈
X
and
m
∈
M
.
{\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x)\quad {\text{ for every }}x\in X{\text{ and }}m\in M.}
上 の絶対同次性
k
{\displaystyle k}
M
{\displaystyle M}
の概念 も同様に一般化されます。
分布（一般化関数） 上の 連続関数が 次数同 次であるため
の必要条件は、 コンパクトにサポートされている
すべての テスト関数 に対して であり、非零の実数 である場合です。 同様に、 変数の変更 が 次数同 次であるため
の必要条件は、
すべておよび すべてのテスト関数に対して である場合です。最後の表示により、 分布 の同次性を定義することができます 。分布が次数 同次であるための必要条件は
、すべての非零の実数 およびすべてのテスト関数に対して で ある場合です
。ここで、山括弧は分布とテスト関数のペアリングを示し、は 実数によるスカラー除算のマッピングです。
f
{\displaystyle f}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
k
{\displaystyle k}
∫
R
n
f
(
t
x
)
φ
(
x
)
d
x
=
t
k
∫
R
n
f
(
x
)
φ
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}
φ
{\displaystyle \varphi }
t
.
{\displaystyle t.}
y
=
t
x
,
{\displaystyle y=tx,}
f
{\displaystyle f}
k
{\displaystyle k}
t
−
n
∫
R
n
f
(
y
)
φ
(
y
t
)
d
y
=
t
k
∫
R
n
f
(
y
)
φ
(
y
)
d
y
{\displaystyle t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy}
t
{\displaystyle t}
φ
.
{\displaystyle \varphi .}
S
{\displaystyle S}
k
{\displaystyle k}
t
−
n
⟨
S
,
φ
∘
μ
t
⟩
=
t
k
⟨
S
,
φ
⟩
{\displaystyle t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle }
t
{\displaystyle t}
φ
.
{\displaystyle \varphi .}
μ
t
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle \mu _{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
t
.
{\displaystyle t.}
名前のバリエーションの用語集 を体 （通常は 実数 または 複素数）上の2つの ベクトル空間 間の写像とする 。 が スカラー集合（たとえば または）である場合 、 は次 のように表現される。
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
S
{\displaystyle S}
Z
,
{\displaystyle \mathbb {Z} ,}
[
0
,
∞
)
,
{\displaystyle [0,\infty ),}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
S
{\displaystyle S}
任意の およびスカラー に対して、
が同次である。
たとえば、 ベクトル空間間の 任意の加法写像
f
(
s
x
)
=
s
f
(
x
)
{\textstyle f(sx)=sf(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
s
∈
S
.
{\displaystyle s\in S.}
有理数上では同次 だが、そうで はないかもしれない
S
:=
Q
{\displaystyle S:=\mathbb {Q} }
実数上で同次
S
:=
R
.
{\displaystyle S:=\mathbb {R} .}
この定義の次のような一般的な特殊なケースとバリエーションには、独自の用語があります。
（ 厳しい ） 正の同次性 ： すべての 正の 実数 に対して
f
(
r
x
)
=
r
f
(
x
)
{\displaystyle f(rx)=rf(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
r
>
0.
{\displaystyle r>0.}
関数が ベクトル空間または体で値を持つ場合、この性質は 論理的に次の式と同値である [証明1] 。
f
{\displaystyle f}
非負同次性は 、定義により次のことを意味する。 すべての およびすべての 非負の 実数 に対して このため、正同次性は非負同次性とも呼ばれることが多い。 しかし、 凸解析 などの分野で現れる 拡張実数 、乗算は 常に未定義になる ため、これらのステートメントは常に互換性があるとは限りません。 [注 1]
f
(
r
x
)
=
r
f
(
x
)
{\displaystyle f(rx)=rf(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
r
≥
0.
{\displaystyle r\geq 0.}
[
−
∞
,
∞
]
=
R
∪
{
±
∞
}
,
{\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}
0
⋅
f
(
x
)
{\displaystyle 0\cdot f(x)}
f
(
x
)
=
±
∞
{\displaystyle f(x)=\pm \infty }
この性質は、部分線形関数 の定義に使用されます 。 ミンコフスキー関数は まさにこの特性を持つ非負の拡張実数値関数です。 真の均質性 ： すべての人にとって 、そしてすべての人にとって
f
(
r
x
)
=
r
f
(
x
)
{\displaystyle f(rx)=rf(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
r
.
{\displaystyle r.}
均質性 ： すべての およびすべてのスカラー
f
(
s
x
)
=
s
f
(
x
)
{\displaystyle f(sx)=sf(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
s
∈
F
.
{\displaystyle s\in \mathbb {F} .}
この定義は、ドメインの基礎となる スカラー場に依存することが強調される。
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
X
.
{\displaystyle X.}
この性質は線型関数 や 線型写像 の定義に用いられる 。 共役同次性 ： およびすべてのスカラー に対して
f
(
s
x
)
=
s
¯
f
(
x
)
{\displaystyle f(sx)={\overline {s}}f(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
s
∈
F
.
{\displaystyle s\in \mathbb {F} .}
の 場合には、 は典型的に は の 複素共役 を表す 。しかし、より一般的には、 例えば 半線型写像 の場合のように、は の何らかの優れた自己同型の下で の の像となる可能性がある。
F
=
C
{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }
s
¯
{\displaystyle {\overline {s}}}
s
{\displaystyle s}
s
¯
{\displaystyle {\overline {s}}}
s
{\displaystyle s}
F
.
{\displaystyle \mathbb {F} .}
加法性 とともに、この性質は 反線型写像 の定義で想定されます。また、 セスクイライン形式 の 2 つの座標のうちの 1 つがこの性質を持つことも想定されます( ヒルベルト空間 の 内積 など )。 上記の定義はすべて、条件 を に置き換えることで一般化できます 。その場合、定義の前に 「 absolute 」 または 「 absolute 」という単語が付きます。
たとえば、
f
(
r
x
)
=
r
f
(
x
)
{\displaystyle f(rx)=rf(x)}
f
(
r
x
)
=
|
r
|
f
(
x
)
,
{\displaystyle f(rx)=|r|f(x),}
絶対同次性 ： すべての およびすべてのスカラー
f
(
s
x
)
=
|
s
|
f
(
x
)
{\displaystyle f(sx)=|s|f(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
s
∈
F
.
{\displaystyle s\in \mathbb {F} .}
が固定された実数である 場合、条件 を に置き換えることによって （同様に、絶対値を使用する条件などについては に置き換えることによって）上記の定義をさらに一般化することができます。その場合、同次性は 「 次数 」 であると言われます （特に、上記の定義はすべて 「 次数 」 です）。たとえば、
k
{\displaystyle k}
f
(
r
x
)
=
r
f
(
x
)
{\displaystyle f(rx)=rf(x)}
f
(
r
x
)
=
r
k
f
(
x
)
{\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}
f
(
r
x
)
=
|
r
|
f
(
x
)
{\displaystyle f(rx)=|r|f(x)}
f
(
r
x
)
=
|
r
|
k
f
(
x
)
{\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}
k
{\displaystyle k}
1
{\displaystyle 1}
実数の同次性
k
{\displaystyle k}
： の実数 に対して
f
(
r
x
)
=
r
k
f
(
x
)
{\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
r
.
{\displaystyle r.}
次数の同次性
k
{\displaystyle k}
： およびすべてのスカラー に対して
f
(
s
x
)
=
s
k
f
(
x
)
{\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
s
∈
F
.
{\displaystyle s\in \mathbb {F} .}
絶対的な実数同次性
k
{\displaystyle k}
： 実数 に対して
f
(
r
x
)
=
|
r
|
k
f
(
x
)
{\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
r
.
{\displaystyle r.}
絶対的な同次性
k
{\displaystyle k}
： およびすべてのスカラー に対して
f
(
s
x
)
=
|
s
|
k
f
(
x
)
{\displaystyle f(sx)=|s|^{k}f(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
s
∈
F
.
{\displaystyle s\in \mathbb {F} .}
の次数同次で ある 非ゼロ 連続関数は、 連続的に に拡張され 、その場合のみ、
k
{\displaystyle k}
R
n
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace }
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
k
>
0.
{\displaystyle k>0.}
参照 均質空間 三角形の中心関数 - 特定の基準で三角形の中心とみなせる点 Pages displaying short descriptions of redirect targets
注記
^ しかし、そのようなが 全てに対して 成り立つならば 、 必然的に 、そして が両方とも実数であるときは、 全てに対して成り立つ。
f
{\displaystyle f}
f
(
r
x
)
=
r
f
(
x
)
{\displaystyle f(rx)=rf(x)}
r
>
0
{\displaystyle r>0}
x
∈
X
,
{\displaystyle x\in X,}
f
(
0
)
∈
{
±
∞
,
0
}
{\displaystyle f(0)\in \{\pm \infty ,0\}}
f
(
0
)
,
f
(
x
)
∈
R
{\displaystyle f(0),f(x)\in \mathbb {R} }
f
(
r
x
)
=
r
f
(
x
)
{\displaystyle f(rx)=rf(x)}
r
≥
0.
{\displaystyle r\geq 0.}
証明
^ が 厳密に正同次であり、ベクトル空間または体で値を持つと仮定します。 すると 両辺から を引くとであることが示されます。 すると 任意の に対して と 書く ことで が非負同次であることがわかります 。
f
{\displaystyle f}
f
(
0
)
=
f
(
2
⋅
0
)
=
2
f
(
0
)
{\displaystyle f(0)=f(2\cdot 0)=2f(0)}
f
(
0
)
{\displaystyle f(0)}
f
(
0
)
=
0.
{\displaystyle f(0)=0.}
r
:=
0
,
{\displaystyle r:=0,}
x
∈
X
,
{\displaystyle x\in X,}
f
(
r
x
)
=
f
(
0
)
=
0
=
0
f
(
x
)
=
r
f
(
x
)
,
{\displaystyle f(rx)=f(0)=0=0f(x)=rf(x),}
f
{\displaystyle f}
参考文献
出典 クリスチャン・ブラッター (1979)。 「20. MehrDimensione Differentialrechnung、アウフガーベン、1.」。 分析 II (ドイツ語) (第 2 版)。スプリンガー・フェルラーグ。 p. 188.ISBN 3-540-09484-9 。 Kubrusly, Carlos S. (2011). 『作用素論の要素』 （第2版）. ボストン: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4998-2 . OCLC 710154895. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135. シェクター、エリック （1996）。 分析とその基礎ハンドブック 。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミックプレス 。ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365.
外部リンク 
![{\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e74f824b5236ecd0cfa3470f6747931537cc1b)
